《电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式姆霍兹定理y》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式姆霍兹定理y（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Field and Wave Electromagnetic电磁场与电磁波电磁场与电磁波回顾：回顾：1. 标量场的梯度标量场的梯度2. 矢量场的散度矢量场的散度3. 散度定理散度定理2主要内容主要内容1. 矢量场的旋度矢量场的旋度2. 斯托克斯定理斯托克斯定理3. 两个零等式两个零等式4. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理31. 矢量场的旋度矢量场的旋度旋涡旋涡 旋涡源旋涡源 环量环量 旋度旋度静电场：有始有终静电场：有始有终 矢量场散度场描述散度源强度在空间分布矢量场散度场描述散度源强度在空间分布 静磁场：无始无终闭合线静磁场：无始无终闭合线 矢量场旋度场描述旋涡源强度在空间分布矢量场旋度场描述旋涡
2、源强度在空间分布 4（1 1）基本概念：矢量）基本概念：矢量A A沿闭合回路沿闭合回路l l的环量的环量环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关，环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关，还取决于该曲线相对于矢量还取决于该曲线相对于矢量A的取向。若环量的取向。若环量 不等于不等于零，说明闭合曲线内存在有旋源，这样的场称为旋涡场零，说明闭合曲线内存在有旋源，这样的场称为旋涡场或有旋场，若环量或有旋场，若环量 等于零，则为无旋场。可见，环量等于零，则为无旋场。可见，环量可以用来描述矢量场的可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。5绕同一点有无穷多的回路，怎么办？绕同一点有无穷多的回路，
3、怎么办？6（2）三维空间矢量场三维空间矢量场方向旋度方向旋度的概念的概念研究在同一点绕各个不同方向的旋涡强度（无穷多的绕行方向），沿每一研究在同一点绕各个不同方向的旋涡强度（无穷多的绕行方向），沿每一个回路都有一个旋度，称为个回路都有一个旋度，称为方向旋度，其方向方向旋度，其方向为回路包围面积的法线方向为回路包围面积的法线方向方向旋度：当面积趋于零时，垂直于 方向上的单位面积上的环量注意：在每一点注意：在每一点P P处都有无穷多的方向旋度处都有无穷多的方向旋度回路（回路的绕行方向）与回回路（回路的绕行方向）与回路包围面（面法线方向）这两路包围面（面法线方向）这两个方向之间的关系：右手规则个方向
4、之间的关系：右手规则 7(1)(1)在同一点绕不同方向的方向旋度不相同，在同一点绕不同方向的方向旋度不相同，(2)(2)有这样一个特殊方向，该方向的方向旋度最大有这样一个特殊方向，该方向的方向旋度最大正最大次之零负最大零空间矢场在任一点的旋空间矢场在任一点的旋度矢量的方向是该点取度矢量的方向是该点取最大方向旋度的方向，最大方向旋度的方向，它的模是该点取最大方它的模是该点取最大方向旋度的大小。向旋度的大小。最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋度最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋度？旋度的方向8我们看到：掌握了某一点的旋度我们看到：掌握了某一点的旋度，可以知道绕什么方向的方向可以知道绕什
5、么方向的方向旋度最强，并算出方向旋度的最大值；如果矢量场旋度最强，并算出方向旋度的最大值；如果矢量场F F每一点的旋每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量场的分布称为度都有定义，则形成一个矢量场的分布称为矢量矢量F F的旋度场的旋度场。总。总而言之，旋度场是源于矢场的另一矢场，它全面地刻画了矢场而言之，旋度场是源于矢场的另一矢场，它全面地刻画了矢场的涡旋特征（空间变化特征）。的涡旋特征（空间变化特征）。（3 3）方向旋度）方向旋度9(4)(4)物理意义物理意义旋度场：空间每点处涡旋源的强度旋度场：空间每点处涡旋源的强度，描述涡旋源描述涡旋源的强度在空间的分布的强度在空间的分布 如果矢量场如果矢量
6、场F F每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布（矢量场（矢量场) )称为称为矢量矢量F F的旋度场的旋度场单位面积上的源，涡旋单位面积上的源，涡旋源的强度源的强度源源10(5)(5)在正交曲面坐标系下的表达式在正交曲面坐标系下的表达式11球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系1213Example 2-21(P57-58)14一个旋度为零的矢量场称为无旋场一个旋度为零的矢量场称为无旋场一个散度为零的矢量场称为无散场一个散度为零的矢量场称为无散场152.2. 斯托克斯定理斯托克斯定理一一矢矢量量场场的的旋旋度度在在一一开开放放表表面面上上的的面面积积分分，
7、等等于于该该矢矢量量沿包围该表面的围线的封闭沿包围该表面的围线的封闭线积分线积分斯斯托托克克斯斯定定理理将将一一矢矢量量的的旋旋度度的的面面积积分分变变换换为为该该矢矢量量的的线线积积分分，或或者者作作相相反反的的变变换换。凡凡是是可可应应用用斯斯托托克克斯斯定定理理的的场场总总是是意意味味着着有有一一个个带带有有环环形形边边界界的的开开放放表表面面存存在在。最最简简单单的的开开放放表表面面是是二二维维的的平平面面或或者者带带有有圆圆周周边边界界的的圆圆盘，盘，注意注意：dldl和和dsds的方向关系服从的方向关系服从右手定则右手定则。降维：二维 一维16Example 2-22(P60)17
8、183. 两个零等式两个零等式任何标量场的梯度的旋度恒为零。（任何标量场的梯度的旋度恒为零。（V及其一阶导数处处存在）及其一阶导数处处存在） 3.1 3.1 恒等式恒等式 I I恒等式恒等式 I 的逆定理也成立：的逆定理也成立： 如果一个矢量的旋度为零，则该矢如果一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为一个标量场的梯度。量可以表示为一个标量场的梯度。例如：例如：那么那么 一个无旋（保守）矢量场总可以表示成一个标量场的梯度一个无旋（保守）矢量场总可以表示成一个标量场的梯度19直角坐标系下证明：20任何矢量场的旋度的梯度恒为零任何矢量场的旋度的梯度恒为零 3.2 恒等式恒等式 II恒恒等等式式 II
9、 的的逆逆定定理理：如如果果一一矢矢量量场场的的散散度度为为零零，它它就就可表示为另一矢量场的旋度。可表示为另一矢量场的旋度。无无散散场场又又成成为为管管形形场场。管管形形场场是是没没有有流流量量源源和和汇汇的的。管管形形场场穿穿过过任任何何封封闭闭面面的的净净流流出出通通量量为为零零，通通量量线线自自身身呈呈闭合形状。闭合形状。例如：例如：那么那么21直角坐标系下证明：224.4. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在在前前面面几几节节我我们们得得出出：散散度度为为零零的的场场是是无无散散场场（管管形形场场），而而旋旋度度为为零零的的场场是是无无旋旋场场，我我们们可可以以根根据据场场是是无无散散的的
10、或或无旋的，将矢量场进行分类，一矢量场无旋的，将矢量场进行分类，一矢量场F F是：是：1).1).无散的（管形）和无旋的，如果无散的（管形）和无旋的，如果 例如例如: : 无源区的静电场无源区的静电场3). 无旋的但有散（非管形）的，如果无旋的但有散（非管形）的，如果例如：在有源区域中的静电场例如：在有源区域中的静电场2). 无散的无散的（管形）但非无旋的，如果管形）但非无旋的，如果 例如：载流导体中的稳定磁场例如：载流导体中的稳定磁场4).4).即有散又有旋的，如果即有散又有旋的，如果例如：有电荷又有时变磁场的煤质中的电场例如：有电荷又有时变磁场的煤质中的电场23 现在我们必需考虑如下问题：
11、现在我们必需考虑如下问题：（1 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？ 最最普普遍遍的的矢矢量量场场是是同同时时具具有有非非零零的的散散度度和和非非零零的的旋旋度的，而且可以看作是一无散场和一无旋场之和。度的，而且可以看作是一无散场和一无旋场之和。24 亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理: : 假假如如一一矢矢量量场场（矢矢量量点点函函数数）的的散散度度和和旋旋度度处处处处都
12、都已已给给定定，则则这这个个矢矢量量场场（矢矢量量点点函函数数）就就确确定定了，最多只差一个附加常矢量。了，最多只差一个附加常矢量。 对对于于无无界界区区域域，我我们们假假定定矢矢量量场场的的散散度度和和旋旋度度在在无无穷穷远远处处均均为为零零，如如果果矢矢量量场场被被限限制制于于由由封封闭闭面面所所包包围围的的一一个个区区域域内内，那那么么只只要要它它在在整整个个区区域域的的散散度度和和旋旋度度以以及及在在封封闭闭面面上上的的法法向向分分量量都都已已给给定定，则则该该矢矢量量场场就就确确定定了了。这这里里，我我们假定矢量函数为单值，而且具有有限值及连续的导数。们假定矢量函数为单值，而且具有有
13、限值及连续的导数。25矢矢量量场场的的散散度度是是流流量量源源强强度度的的度度量量，而而矢矢量量场场的的旋旋度度是是旋旋涡涡源源强强度度的的度度量量。当当流流量量源源强强度度和和旋旋涡涡源源强强度度均均给给定定时时，可可知知该该矢矢量量场场将将被被确确定定。由由此此，任任何何一一个个一一般般矢矢量量场场F可可以分解为无旋部分以分解为无旋部分 Fi 和无散部分和无散部分 Fs 再由再由两个零等式两个零等式: :26二阶微分算子27例子：例子： 已知一个矢量函数已知一个矢量函数 : F=ax(3y-c1z)+ay(c2x-2z)-az(c3y+z) (a) 如果如果F F是无旋的，求解是无旋的，求
14、解 c c1 1,c,c2 2 , c c3 3 ； (b) 求标量位函数求标量位函数V V，它的负梯度等于，它的负梯度等于F F2829总结：1.1. 矢量场的旋度矢量场的旋度2.2. 斯托克斯定理斯托克斯定理303.3. 两个零等式两个零等式4.4. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理如果如果那么那么如果如果那么那么亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理: 假假如如一一矢矢量量场场（矢矢量量点点函函数数）的的散散度度和和旋旋度度处处处处都都已已给给定定，则则这这个个矢矢量量场场（矢矢量量点点函函数数）就就确确定了，最多只差一个附加常矢量。定了，最多只差一个附加常矢量。31作业作业1 1 ，4 4，5 5，7 7，8 8，191932
