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1、太原志成学校艺术类理科数学讲义- - 1 -第一讲数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：na；2、前n项和：nS3、关系：1(2)nnnaSSn二、性质：1、单调性：增数列：1nnaa；减数列：1nnaa；常数列：1nnaa2、最值：77878789+(0)0,00,=0,0,nnaSaaSSSaaaL最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值 : 与上面相反3、前n项积nT有最大值：三、几种常见数列：1、-1,7,-13,19 L2、7,77,777, L3、1 3 52 4 8L， ，4、161149L， ， ，5、2468,3 15 35 63L， ，随堂训练
2、：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- - 2 -1、已知数列na通项公式是231nnan，那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2、已知数列na满足10a，112nnaa，那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列3、已知数列na通项公式是22nankn，若对任意*nN，都有1nnaa成立，则实数k的取值范围是（）4、已知数列na通项公式是10,21nnnaTn是数列na的前n项积，即123nnTa a aaL，当nT取到最大值是，n
3、的值为（）5、设数列na的前n项和2nSn，则8a的值是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 3等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1等差数列的定义一般地， 如果一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d(nm)dp. 3等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列， 那么A叫做x和y的等差
4、中项，如果A是x和y的等差中项，则Axy2. 4等差数列的常用性质(1) 通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2) 若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*) (3) 若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4) 数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n 1(2n1)an. (6) 若n为偶数，则S偶S奇nd2；若n为奇数，则S奇S偶a中( 中间项 ) 5等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Snna1an2，或等差数列 an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为
5、Snna1nn12d. 6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2n，数列 an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数 )7最值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 4在等差数列 an 中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan 1a1，得：Snna1an2. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1) 若奇数个数成等差数列且
6、和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a 2d，.(2) 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1) 定义法：对于n2 的任意自然数，验证anan 1为同一常数；(2) 等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*) 都成立；(3) 通项公式法：验证anpnq；(4) 前n项和公式法：验证SnAn2Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列基础训练：（公式的运用，定义的把握）1已知等差数列an 中， a3=9，a9=3，则公差d 的值为（）AB1CD1 2
7、已知数列 an的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A以 7 为首项，公差为2 的等差数列B以 7 为首项，公差为5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为2 的等差数列D不 是等差数列3在等差数列an中， a1=13，a3=12，若 an=2，则 n 等于（）A23 B24 C25 D26 4两个数1 与 5 的等差中项是（）A1B3C2D5 （ 2005?黑龙江）如果数列an 是等差数列，则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 5Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5
8、C a1+a8a4+a5D a1a8=a4a5考点 1: 等差数列的通项与前n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例 1】 已知na为等差数列，20,86015aa，则75a对应练习 ：1、已知na为等差数列，qapanm,（knm,互不相等），求ka.2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数 . 题型 2：已知前n项和nS及其某项，求项数. 【解题思路】利用等差数列的通项公式dnaan)1(1求出1a及d，代入nS可求项数n；利用等差数列的前4 项和及后4 项和求出naa1，代入nS可求项数
9、n. 【例 2】 已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n对应练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 63、若一个等差数列的前4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n. 4、已知nS为等差数列na的前n项和，100,7, 141nSaa，则n . 题型 3：求等差数列的前n 项和【解题思路】 （1）利用nS求出na，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. （2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论. 【例
10、3】 已知nS为等差数列na的前n项和，212nnSn. （1）321aaa；求10321aaaa；求naaaa321. 练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 7对应练习： 5、已知nS为等差数列na的前n项和，10,10010010SS，求110S.考点 2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：daann 1（Nn，d是常数）na是等差数列；2、中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列；3、通项公式法：bknan（bk,是常数）
11、na是等差数列；4、项和公式法：BnAnSn2（BA,是常数，0A）na是等差数列 . 【例 4】已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn. 求证：数列nb是等差数列 . 对应练习： 6、设nS为数列na的前n项和，)(NnpnaSnn，.21aa（1）常数p的值；（ 2） 证：数列na是等差数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 8考点 3 : 等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【例 5】 1、已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则
12、11S；2、知nS为等差数列na的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS .对应练习： 7、含12n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）.Ann12.Bnn1.Cnn1.Dnn218. 设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba . 考点 4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用na与nS的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出nT后，判断nT的单调性 . 【例 6】 已知nS为数列na的前n项和，nnSn211212；数列nb满足：113b，nnnbbb122，其前9项和为.153 数列na、nb的通项公式；设nT为数列nc的前
13、n项和，)12)(112(6nnnbac，求使不等式57kTn对Nn都成立的最大正整数k的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 9课后练习：1.(2010广雅中学 ) 设数列na是等差数列， 且28a，155a，nS是数列na的前n项和，则A1011SS B1011SS C 910SS D910SS2. 在等差数列na中，1205a，则8642aaaa . 3. 数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n . 4. 已知等差数列na共有10项， 其奇数项
14、之和为10， 偶数项之和为30， 则其公差是 . 5. 设数列na中，112,1nnaaan，则通项na . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页太原志成学校艺术类理科数学讲义- 10对应练习： 9. 已知nS为数列na的前n项和，31a，)2(21naSSnnn.数列na的通项公式；数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
