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1、学习必备欢迎下载DCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案 ) 总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3. 角
2、平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” :遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法:有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90 的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三
3、角形, 常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角
4、平分线的性质定理或逆定理 (2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端
5、点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等例 1、 ( “希望杯” 试题)已知,如图 ABC中,AB=5 , AC=3 , 则中线 AD的取值范围是_. 解:延长AD至 E使 AE2AD ,连 BE ,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载EDFCBAEDCBAPQCBA例 2、如图, ABC中, E、F 分别在
6、AB 、AC上, DE DF , D是中点,试比较BE+CF与 EF的大小 . 解: ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF ,连 BG ,EG, 显然 BG FC ,在 EFG中,注意到DE DF,由等腰三角形的三线合一知EG EF 在 BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 故: EFBE+FC 例 3、如图, ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证:AD平分 BAE. EDCBA解:延长AE至 G使 AG 2AE ,连 BG ,DG, 显然 DG AC ,GDC= ACD 由于 DC=AC ,故ADC= DAC 在 ADB与 ADG中,
7、 BDAC=DG ,AD AD ,ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB ADG ,故有 BAD= DAG ,即 AD平分 BAE 二、截长补短1、如图,ABC中, AB=2AC ,AD平分BAC,且 AD=BD ,求证: CD AC 解: (截长法)在AB上取中点F,连 FD ADB是等腰三角形,F是底 AB中点,由三线合一知DFAB ,故 AFD 90 ADF ADC (SAS ) ACD AFD 90即: CD AC 2、如图, AD BC ,EA,EB分别平分 DAB, CBA ,CD过点 E,求证 ;ABAD+BC 解: (截长法)在AB上取点 F,使 A
8、FAD ,连 FE ADE AFE (SAS ) ADE AFE , ADE+ BCE 180 AFE+ BFE 180故 ECB EFB FBE CBE (AAS )故有 BF BC 从而 ;AB AD+BC 3、如图,已知在ABC内,060BAC,040C,P,Q分别在 BC ,CA上,并且AP ,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 解: (补短法 , 计算数值法)延长AB至 D,使 BDBP ,连 DP 在等腰 BPD中,可得 BDP 40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备
9、欢迎下载DCBAP21DCBA从而 BDP 40 ACP ADP ACP (ASA )故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD ,BD平分ABC,求证:0180CA解: (补短法)延长BA至 F,使 BFBC ,连 FD BDF BDC (SAS )故 DFB DCB ,FDDC 又 AD CD 故在等腰 BFD中DFB DAF 故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中, AB AC , 1 2,P为 AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC 解: (补短法)延长AC至
10、 F,使 AFAB ,连 PD ABP AFP (SAS )故 BP PF 由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图,在 ABC的边上取两点D、 E ,且 BD=CE ,求证: AB+ACAD+AE. 证明:取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMNEMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,
11、得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60, ABC的角平分线AD,CE相交于点O ,求证: OE=OD ,DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )B=60 度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , 则OAC+OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE= OAF .则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 则COF=AOC-AOF=60 度=COD;
12、 又 CO=CO; OCD=OCF. 故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图, ABC中, AD平分 BAC ,DG BC且平分 BC , DE AB于 E,DFAC于 F. ( 1)说明 BE=CF的理由;(2)如果 AB=a, AC=b,求 AE 、BE的长 . 解: (垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ,DC DG垂直平分BC ,故 BDDC 由于 AD平分 BAC , DE AB于 E ,DF AC于 F,故有EDDF 故 RT DBE RT DFC (HL )故有 BE CF。AB+AC 2AE AE( a+b)/
13、2 BE=(a-b)/2 应用:1、如图, OP 是 MON 的平分线, 请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:EDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载(1)如图,在 ABC 中, ACB 是直角, B=60,AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线, AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系;(2)如图,在ABC 中,如果 ACB 不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论
14、是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。解: (1)FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE(2)答:(1)中的结论FDFE仍然成立。证法一: 如图 1,在 AC 上截取AEAG,连结 FG 21,AF 为公共边,AGFAEFAFGAFE,FGFE60B, AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线603260AFGCFDAFE60CFG43及 FC 为公共边CFDCFGFDFGFDFE证法二: 如图 2,过点 F 分别作ABFG于点 G,BCFH于点 H 60B, AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线可得6032,F 是ABC的内心160GEF,FGFH又1BHDFHDFGEF
15、可证DHFEGFFDFE有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线,底边中线,底边高线例:已知,如图, AB = AC,BD AC于 D ,求证: BAC = 2DBC 证明: (方法一)作 BAC的平分线 AE ,交 BC于 E,则 1 = 2 = 12BAC 又AB = AC AE BC 2ACB = 90o BD AC DBC ACB = 90o2 = DBC BAC = 2DBC (方法二)过 A作 AE BC于 E(过程略)(方法三)取 BC中点 E,连结 AE (过程略)有底边中点时,常作底边中线例:已知,如图, ABC中,AB = AC,D 为 BC中点, DEAB于 E,DF A
16、C于 F,求证: DE = DF 证明:连结 AD. D为 BC中点,BD = CD 又AB =AC AD平分 BAC DE AB ,DF AC DE = DF 将腰延长一倍,构造直角三角形解题例:已知,如图, ABC中,AB = AC,在 BA延长线和AC上各取一点 E、F,使 AE = AF,求证: EF BC 证明:延长 BE到 N,使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC BACB ACN ANC = 180o2BCA 2ACN = 180o21EDCBAFEDCBANFECBA(第 23 题图 ) O P A M N E B
17、C D F A C E F B D 图图图F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载BCA ACN = 90o即BCN = 90o NC BC AE = AF AEF = AFE 又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2 AEF = 2ANC AEF = ANC EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例:已知,如图,在 ABC中,AB = AC,D在
18、AB上,E在 AC延长线上,且 BD = CE ,连结 DE交 BC于 F 求证: DF = EF 证明: (证法一) 过 D作 DN AE ,交 BC于 N ,则DNB = ACB ,NDE = E,AB = AC,B = ACB B =DNB BD = DN 又BD = CE DN = EC 在DNF 和ECF中1 = 2 NDF = E DN = EC DNF ECF DF = EF (证法二)过 E作 EM AB交 BC延长线于 M,则EMB = B(过程略)常过一腰上的某一已知点做底的平行线例:已知,如图, ABC 中,AB =AC ,E在 AC上,D在 BA延长线上,且 AD =
19、AE ,连结 DE 求证: DE BC 证明: (证法一)过点 E作 EF BC交 AB于 F,则AFE =B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED =ADE 又 AFE AEF AED ADE = 180o2AEF 2AED = 90o即FED = 90oDE FE 又EFBC DE BC (证法二)过点D作 DN BC交 CA的延长线于 N, (过程略)(证法三)过点A作 AM BC交 DE于 M , (过程略)常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例:已知,如图, ABC中,AB = AC,BAC = 80o ,P为形内一点,若PBC
20、 = 10oPCB = 30o求PAB的度数 . 解法一:以 AB为一边作等边三角形,连结CE 则BAE =ABE = 60oAE = AB = BE AB = AC AE = AC ABC = ACB AEC =ACE EAC =BAC BAE = 80o60o = 20oACE = 12(180oEAC)= 80ACB= 12(180oBAC)= 50oBCE =ACE ACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCE 21NFEDCBA21MFEDCBANMFEDCBAPECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
21、 -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载ABC = ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABE ABC = 60o50o=10oPBC = 10oPBC = EBC 在PBC 和EBC中PBC = EBC BC = BC PCB = BCE PBC EBC BP = BE AB = BE AB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50o10o = 40oPAB = 12(180oABP)= 70o解法二:以 AC为一边作等边三角形,证法同一。解法三:以 BC为一边作等边三角形 BCE ,连结 AE,则EB = EC = BC,BEC =EBC = 60oE
22、B = EC E在 BC的中垂线上同理 A在 BC的中垂线上EA所在的直线是 BC的中垂线EA BC AEB = 12BEC = 30o = PCB 由解法一知: ABC = 50oABE = EBC ABC = 10o =PBC ABE =PBC,BE = BC,AEB =PCB ABE PBC AB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50o10o = 40oPAB = 12(180oABP) = 12(180o40o)= 70o 1. 如图,求 A B C D E 的度数。A B E O C D A B E O C D 解:连结 CD ECD BDC= B E =1
23、80 BOE=180 COD A B ACE ADB E = A ECD BDC ACE ADB = A( ECD ACE )( BDC ADB )= A ACD ADC =1802. 如图,已知在 ABC 中,AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,且BE=AC ,延长 BE交 AC 于 F。求证: AF=EF 。A F E B D C A F E B D C G 解:延长 AD 至 G,使 DG=AD ,连结 BG BD=DC , BDG= ADC BGD CAD BG=AC=BE , G=CAD G= BEG=AEF AEF= CAD AF=EF 3. 已知 E 是正方形AB
24、CD 边 CD 上的中点,点F 在 BC 上,且 DAE= FAE。求证: AF=AD CF。解:过 E 作 EGAF 于 G PECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载A D E B F C A D E B F C G D=90, AGE=90 AE 平分 DAF ED=EG ED=EC EG=EC EGF=C=90EF=EF EGF ECF(HL)GF=FC ED=EG,AE=AE , D=AGE=90 ADE AGE (HL )AD=AG AF=AG GF=AD FC 即 AF=AD FC 4. 已知:在 ABC 中, BAC=90 , AB=AC ,BE 平分 ABC ,CEBE。求证: CE=12BD。A E B C D F D A E B C 证明:延长BA 交 CE 的延长线于F BE 平分 ABC ,CEBE CE=12CF又 AB=AC , BAC= CAF=90 ACF= ABD=90 F ACF ABD CF=BD CE=12CFBD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页