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1、学习必备欢迎下载DCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案 ) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角
2、平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三
3、角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角
4、平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端
5、点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 解：延长AD至 E使 AE2AD ，连 BE ，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载EDFCBAEDCBAPQCBA例 2、如图， ABC中， E、F 分别在
6、AB 、AC上， DE DF ， D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF ，连 BG ，EG, 显然 BG FC ，在 EFG中，注意到DE DF，由等腰三角形的三线合一知EG EF 在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCBA解：延长AE至 G使 AG 2AE ，连 BG ，DG, 显然 DG AC ，GDC= ACD 由于 DC=AC ，故ADC= DAC 在 ADB与 ADG中，
7、 BDAC=DG ，AD AD ，ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE 二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 解： （截长法）在AB上取中点F，连 FD ADB是等腰三角形，F是底 AB中点，由三线合一知DFAB ，故 AFD 90 ADF ADC （SAS ） ACD AFD 90即： CD AC 2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB, CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 解： （截长法）在AB上取点 F，使 A
8、FAD ，连 FE ADE AFE （SAS ） ADE AFE ， ADE+ BCE 180 AFE+ BFE 180故 ECB EFB FBE CBE （AAS ）故有 BF BC 从而 ;AB AD+BC 3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BDBP ，连 DP 在等腰 BPD中，可得 BDP 40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备
9、欢迎下载DCBAP21DCBA从而 BDP 40 ACP ADP ACP （ASA ）故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长BA至 F，使 BFBC ，连 FD BDF BDC （SAS ）故 DFB DCB ，FDDC 又 AD CD 故在等腰 BFD中DFB DAF 故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 解： （补短法）延长AC至
10、 F，使 AFAB ，连 PD ABP AFP （SAS ）故 BP PF 由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在 ABC的边上取两点D、 E ，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMNEMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,
11、得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD ，DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )B=60 度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , 则OAC+OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE= OAF .则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 则COF=AOC-AOF=60 度=COD;
12、 又 CO=CO; OCD=OCF. 故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ， DE AB于 E，DFAC于 F. （ 1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a， AC=b，求 AE 、BE的长 . 解： (垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DC DG垂直平分BC ，故 BDDC 由于 AD平分 BAC ， DE AB于 E ，DF AC于 F，故有EDDF 故 RT DBE RT DFC （HL ）故有 BE CF。AB+AC 2AE AE（ a+b）/
13、2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：EDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载（1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论
14、是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解： （1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE（2）答：（1）中的结论FDFE仍然成立。证法一： 如图 1，在 AC 上截取AEAG，连结 FG 21，AF 为公共边，AGFAEFAFGAFE，FGFE60B， AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线603260AFGCFDAFE60CFG43及 FC 为公共边CFDCFGFDFGFDFE证法二： 如图 2，过点 F 分别作ABFG于点 G，BCFH于点 H 60B， AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线可得6032，F 是ABC的内心160GEF，FGFH又1BHDFHDFGEF
15、可证DHFEGFFDFE有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图， AB = AC，BD AC于 D ，求证： BAC = 2DBC 证明： （方法一）作 BAC的平分线 AE ，交 BC于 E，则 1 = 2 = 12BAC 又AB = AC AE BC 2ACB = 90o BD AC DBC ACB = 90o2 = DBC BAC = 2DBC （方法二）过 A作 AE BC于 E（过程略）（方法三）取 BC中点 E，连结 AE （过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC，D 为 BC中点， DEAB于 E，DF A
16、C于 F，求证： DE = DF 证明：连结 AD. D为 BC中点，BD = CD 又AB =AC AD平分 BAC DE AB ，DF AC DE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，AB = AC，在 BA延长线和AC上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证： EF BC 证明：延长 BE到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC BACB ACN ANC = 180o2BCA 2ACN = 180o21EDCBAFEDCBANFECBA(第 23 题图 ) O P A M N E B
17、C D F A C E F B D 图图图F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载BCA ACN = 90o即BCN = 90o NC BC AE = AF AEF = AFE 又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2 AEF = 2ANC AEF = ANC EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC，D在
18、AB上，E在 AC延长线上，且 BD = CE ，连结 DE交 BC于 F 求证： DF = EF 证明： （证法一） 过 D作 DN AE ，交 BC于 N ，则DNB = ACB ，NDE = E，AB = AC，B = ACB B =DNB BD = DN 又BD = CE DN = EC 在DNF 和ECF中1 = 2 NDF = E DN = EC DNF ECF DF = EF （证法二）过 E作 EM AB交 BC延长线于 M,则EMB = B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC 中，AB =AC ，E在 AC上，D在 BA延长线上，且 AD =
19、AE ，连结 DE 求证： DE BC 证明： （证法一）过点 E作 EF BC交 AB于 F，则AFE =B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED =ADE 又 AFE AEF AED ADE = 180o2AEF 2AED = 90o即FED = 90oDE FE 又EFBC DE BC （证法二）过点D作 DN BC交 CA的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点A作 AM BC交 DE于 M ， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图， ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P为形内一点，若PBC
20、 = 10oPCB = 30o求PAB的度数 . 解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结CE 则BAE =ABE = 60oAE = AB = BE AB = AC AE = AC ABC = ACB AEC =ACE EAC =BAC BAE = 80o60o = 20oACE = 12(180oEAC)= 80ACB= 12(180oBAC)= 50oBCE =ACE ACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCE 21NFEDCBA21MFEDCBANMFEDCBAPECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
21、 -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载ABC = ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABE ABC = 60o50o=10oPBC = 10oPBC = EBC 在PBC 和EBC中PBC = EBC BC = BC PCB = BCE PBC EBC BP = BE AB = BE AB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50o10o = 40oPAB = 12(180oABP)= 70o解法二：以 AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC为一边作等边三角形 BCE ，连结 AE,则EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oE
22、B = EC E在 BC的中垂线上同理 A在 BC的中垂线上EA所在的直线是 BC的中垂线EA BC AEB = 12BEC = 30o = PCB 由解法一知： ABC = 50oABE = EBC ABC = 10o =PBC ABE =PBC,BE = BC,AEB =PCB ABE PBC AB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50o10o = 40oPAB = 12(180oABP) = 12(180o40o)= 70o 1. 如图，求 A B C D E 的度数。A B E O C D A B E O C D 解：连结 CD ECD BDC= B E =1
23、80 BOE=180 COD A B ACE ADB E = A ECD BDC ACE ADB = A（ ECD ACE ）（ BDC ADB ）= A ACD ADC =1802. 如图，已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC ，延长 BE交 AC 于 F。求证： AF=EF 。A F E B D C A F E B D C G 解：延长 AD 至 G，使 DG=AD ，连结 BG BD=DC ， BDG= ADC BGD CAD BG=AC=BE ， G=CAD G= BEG=AEF AEF= CAD AF=EF 3. 已知 E 是正方形AB
24、CD 边 CD 上的中点，点F 在 BC 上，且 DAE= FAE。求证： AF=AD CF。解：过 E 作 EGAF 于 G PECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载A D E B F C A D E B F C G D=90， AGE=90 AE 平分 DAF ED=EG ED=EC EG=EC EGF=C=90EF=EF EGF ECF（HL）GF=FC ED=EG，AE=AE ， D=AGE=90 ADE AGE （HL ）AD=AG AF=AG GF=AD FC 即 AF=AD FC 4. 已知：在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，BE 平分 ABC ，CEBE。求证： CE=12BD。A E B C D F D A E B C 证明：延长BA 交 CE 的延长线于F BE 平分 ABC ，CEBE CE=12CF又 AB=AC ， BAC= CAF=90 ACF= ABD=90 F ACF ABD CF=BD CE=12CFBD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
