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1、1 / 5 经济数学基础（ 08春）积分部分期末复习指导第二部分一元函数积分学第一、二章，不定积分和定积分考试要求 ： 理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，知道不定积分与导数（微分）之间的关系；例如：xxxxdsindsind，而cxxsin)sind( 熟练掌握积分基本公式和直接积分法； 掌握第一换元积分法（凑微分法）、分部积分法； 知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分重点：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部积分法、无穷限积分第三章积分应用考试要求：(1) 熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；(2
2、) 了解微分方程的几个概念，掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解重点：积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程典型例题一、单项选择题1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（）A42xyB32xyC22xyD12xy答案： C 2. 下列函数中，（）是2sin xx的原函数A-2cos2xxB2cos2xxC2cos21xxD2cos21xx答案： C 3下列等式不成立的是（） A3ln)d(3d3xxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx选择 D4若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）. A.2ex
3、 B.2e21xC.2e41xD.2e41x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 / 5 答案： D 5.)d(exx（）Acxxe Bcxxxee Ccxxe Dcxxxee答案： B 6. 若cxxfxx11ede)(，则 f (x) =（）Ax1B-x1C21xD-21x答案： C 7. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba答案： B 8下列定积分中积分值为0 的
4、是（）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd)sin(2答案： A 9下列无穷积分中收敛的是（）A0dsinxx B0dexx C12d1xx D13d1xx答案： C 10下列微分方程中，（）是线性微分方程 Ayyyxln2Bxxyyye2Cyyxye Dxyyxyxlnesin答案： D 11微分方程0)()(432xyyyy的阶是（）.A. 4 B.3 C. 2 D. 1 答案： C 二、填空题1xxded2答案：xxde22_d)cos(xx。答案：cxcos3函数 f (x) = sin2x 的原函数是答案：x2cos214若cxxxfx32d)(，
5、则)(xf. 答案：32ln2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 / 5 5若cxFxxf)(d)(，则xxfx)d1 (2=. 答案：cxF)1(2126e12dx)1ln(ddxx. 答案： 0 7112d)1(sinxxx答案： 0 8无穷积分0-dexx是答案： 1 9.0e)(23yyx是阶微分方程 . 答案：二阶10微分方程2xy的通解是答案：cxy331三、计算题2. 不定积分定、积分的计算积分基本公式，牛顿莱布尼茨公式，积分计算方法：直接积分法，换元积分法和分部积分法计算下列积分（1）xxxdsi
6、n解xxxxxxxxdsin2d21sin2dsin=cxcos2xxd21=xd（2）xxxde21解：)1d(e)d1(ede12121xxxxxxxxcx1e)1(d)d1(2xxx（3）xxxdln11解：)d(lnln11d1ln11dln11xxxxxxxx=)lnd(1ln11xxcxln12)1(d)d1(2xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 / 5 (4)xxxdlne1解：e122e12e12e141e21d121ln21dlnxxxxxxxxx =)1e(412（答案：(5)xxxdln
7、e12解：91e9291e31d131ln31dln3e133e13e13e12xxxxxxxxx（6）xxxdcos20解xxxdcos20=20sin xx2020cos2dsinxxx2四、应用题用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量。平均成本最小和利润最大步骤：（ 1）找出求最值的函数（如果是平均成本最小，要先从边际成本得到成本函数，再得到平均成本函数；如果是求利润最大，经常可以直接得到边际利润）；（2）求其一阶导数，找出驻点（唯一）（3）说明1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4 百台增至6 百台时
8、总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 . 解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC， 解得6x.x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本为34)(xxC(万元/百台)，x 为产量 (百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本 . 解：因为总成本函数为xxxCd)34()(=cxx322当 x= 0时，C(0)= 18，得
9、 c =18 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 / 5 即C(x)=18322xx又平均成本函数为xxxxCxA1832)()(令0182)(2xxA， 解得 x = 3(百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低 . 最底平均成本为9318332)3(A(万元/百台) 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为R(x)=100-2x（万元 /百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？解：已
10、知C(x)=8x(万元/百台)，R(x)=100-2x，则xxL10100)(令0)(xL，解出唯一驻点10x由该题实际意义可知，x= 10 为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 10 百台时利润最大 .从利润最大时的产量再生产2 百台，利润的改变量为20220200)5100(d)10100(121021210xxxxL（万元）即利润将减少 20 万元.4设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元)，其中 x为产量，单位：百吨销售 x 百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得 x= 7 由该题实际意义可知， x= 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时利润最大 .(2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少 1 万元.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
