《2022年考研数学《概率论与数理统计》知识点总结2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年考研数学《概率论与数理统计》知识点总结2(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章概率论的基本概念定义:随机试验E 的每个结果 样本点 组成 样本空间 S,S 的子集为E 的随机事件,单个样本点为基本事件 事件关系:1AB,A 发生必导致B 发生2AB 和事件, A,B 至少一个发生, AB 发生3AB 记 AB 积事件, A,B 同时发生, AB 发生4 A B 差事件, A 发生, B 不发生, AB 发生5AB=? ,A 与 B 互不相容 (互斥 ),A 与 B 不能同时发生,基本事件两两互不相容6AB= S且 AB=? ,A 与 B 互为 逆事件 或对立事件,A 与 B 中必有且仅有一个发生,记 B=ASA事件运算:交换律、结合律、分配率略德摩根律:BABA,
2、BABA概率:概率就是 n 趋向无穷时的频率, 记 P(A) 概率性质 : 1P(?)=0 2(有限可加性 )P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),Ai互不相容3若 AB,则 P(BA)= P(B)P(A) 4对任意事件A,有)A(1)A(PP5P(AB)=P(A)+ P(B)P(AB) 古典概型:即等可能概型,满足:1S 包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式:中样本点总数中样本点数SA)A(nkP超几何分布:nNknDNkDp,其中raCra条件概率:)A()AB()AB(PPP乘法定理:)A()AB()ABC()ABC()A()AB()AB(PPPPPPP
3、全概率公式:)B()BA()B()BA()B()BA()A(2211nnPPPPPPP,其中iB为 S 的划分 贝叶斯公式:)A()B()BA()AB(PPPPiii,njjjBPBAPAP1)()()(或)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP独立性:满足 P(AB)= P(A) P(B) ,则 A,B 相互独立 ,简称 A,B 独立 定理一:A,B 独立,则 P(B|A)= P(B)定理二:A,B 独立,则A 与B,A与B,A与B也相互独立第二章随机变量及其分布(01)分布:kkppkXP1)1 (,k=0,1 (0p1) 伯努利实验:实验只有两个可能的结果:A 及
4、A二项式分布:记 Xb( n,p) ,knkknppCkXP)1( n 重伯努利实验:独立且每次试验概率保持不变其中 A 发生 k 次,即二项式分布泊松分布:记 X ( ) ,!kekXPk,,2, 1 ,0k泊松定理:!)1 (limkeppCkknkknn,其中np当20n,05.0p应用泊松定理近似效果颇佳随机变量分布函数:)(xXPxF,x)()(1221xFxFxXxP连续型随机变量:xttfxFd)()(,X 为连续型随机变量,)(xf为 X 的概率密度函数,简称 概率密度 概率密度性质:10)(xf; 21d)(xxf; 321d)()()(1221xxxxfxFxFxXxP;
5、4)()(xfxF,f(x)在 x 点连续; 5PX= a=0均匀分布:记 XU( a,b);其它,01)(bxaabxf;bxbxaabaxaxxF,10)(性质:对 a cc+l b,有abllcXcP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页指数分布:其它,001)(xexfx;其它,001)(xexFx无记忆性 :tXPsXtsXP正态分布:记),(2NX;2)(exp21)(22xxf;ttxFxd2)(exp21)(22性质:1f(x)关于 x=对称,且 P -hX = P z= ,0 0(或 g (x)x1时,
6、 F(x2,y) F(x1,y) ;y2y1时, F(x,y2) F(x,y1) 20 F(x,y) 1 且 F(- , y)=0,F( x,- )=0,F(- ,- )=0,F(+ , +)=13F( x+0,y)=F(x,y) , F(x,y+0)=F(x,y) ,即 F( x,y)关于 x 右连续,关于y 也右连续4对于任意的 (x1,y1),(x2,y2),x2x1,y2y1,有 Px1X x2,y10 有11lim1knknXnP或PX,knkXnX11定义:Y1,Y2, Y n ,是一个随机变量序列, a 是一个常数若对任意 0,有1|limaYPnn则称序列Y1,Y2,Yn ,
7、依 概 率 收 敛 于a记aYPn伯努利大数定理:对任意 0 有1limpnfPAn或0limpnfPAn其中 f A是 n次独立重复实验中事件A发生的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率中心极限定理定理一:设 X1,X2,Xn ,相互独立并服从同一分布,且E(X k)= ,D(X k)= 2 0,则 n时有nnXknk)(1N(0,1)或nXN(0,1)或XN( ,n2)定理二:设 X1,X2,X n ,相互独立且E(Xk)=k, D(Xk)=k2 0,若存在 0 使 n时,0|1212kknknXEB, 则nknkknkBX)(11N(0, 1), 记212knknB定理三:设)
8、,(pnbn,则 n时,Npnpnpn)1 ()(0,1),knknX1第六章样本及抽样分布定义:总体 :全部值; 个体 :一个值; 容量 :个体数; 有限总体 :容量有限;无限总体 :容量无限定义:样本 :X1,X2,X n 相互独立并服从同一分布F 的随机变量,称从F 得到的容量为n 的简单随机样本频率直方图:图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为 高 的 跨 越 横 轴的几个小矩形横坐标:数据区间(大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大;小区间:均分大区间,组距 =大区间 /小区间个数;小区间界限:精度比数据高一位)图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线纵坐标:频率/组距(总长度
9、:1/ ;小区间长度:频率/组距) 定义:样本 p 分位数 :记 xp,有 1样本 xi中有 np 个值 xp2样本中有n(1p)个值 xp箱线图:xp选择:记NnpxxNnpxxnpnpnpp当,当,211)()()1(分位数 x0.5,记为 Q2或 M,称为 样本中位数 分位数 x0.25,记为 Q1,称为 第一四分位数分位数 x0.75,记为 Q3,称为 第三四分位数图形:图形特点: M 为数据中心,区间min ,Q1, Q1,M,M,Q3,Q3,max数据个数各占1/4,区间越短数据密集四分位数间距:记 IQR=Q3Q1;若数据 X Q3+1.5IQR,就认为X 是疑似异常值 抽样分布
10、:样本平均值:iniXnX11样本方差:)(11)(11221212XnXnXXnSiniini样本标准差:2SS样本k 阶(原点 )矩:kinikXnA11, k 1 样本 k 阶中心矩:kinikXXnB)(11,k 2 经验分布函数:)(1)(xSnxFn,x)(xS表示 F 的一个样本X1,X2,X n 中不大于 x 的随机变量的个数自由度为n 的 2分布:记 22(n) ,222212nXXX,其中 X1,X2,X n是来自总体N(0,1)的样本 E(2 )=n,D(2 )=2n12+222(n1+n2) 其他,00)2(21)(2122yexnyfynn2分布的分位点:对于 0 4
11、0),22)12(21)(nzn,其中z是标准正态分布的上分位点自由度为n 的 t 分布:记 tt(n),nYXt/,其中 XN(0, 1),Y 2(n), X, Y相互独立2)1(2)1( 22)1( )(nntnnnthh(t)图形关于t=0 对称;当n 充分大时, t 分布近似于N(0,1)分布t 分布的分位点:对于 0 45 时, t(n) z,z是标准正态分布的上分位点自由度为(n1, n2)的 F分布:记 FF(n1,n2),21nVnUF,其中 U2(n1),V2(n2),X,Y 相互独立 1/FF(n2,n1) 其他,001)2()2()(2)( )(2)(21211)2(22
12、1212111xnynnnynnnnynnnnF 分布的分位点:对于 0 1,满足yynnFFPnnF),(2121d)(),(,则称),(21nnF为),(21nnF的上 分位点 重要性质: F1(n1,n2)=1/F(n1,n2)定理一:设 X1,X2,X n 是来自 N( ,2)的样本,则有),(2nNX,其中X是样本均值定理二:设 X1,X2,X n 是来自 N( , 2)的样本,样本均值和样本方差分别记为X,2S,则有 1) 1()1(222nSn;2X与2S相互独立定理三:设 X1,X2,X n 是来自 N( , 2)的样本,样本均值和样本方差分别记为X,2S,则有) 1(ntnS
13、X定理四:设 X1,X2,X n1与 Y1,Y2,Y n2分别是来自N(1,12)和 N(2,22)的样本,且相互独立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为X,Y,21S,22S,则有 1) 1, 1(2122212221nnFSS2 当 12=22=2时,)2()()(21121121nntnnSYXw, 其中2) 1() 1(212222112nnSnSnSw,2wwSS第七章参数估计定义:估计量:),(?21nXXX,估计值 :),(?21nxxx,统称为 估计 矩估计法:令)(llXE=linilXnA11(kl,2, 1)(k 为未知数个数 )联立方程组,求出估计?设总体 X 均值
14、 及方差 2都存在,则有XA1?,212212122)(11?XXnXXnAAiniini最大似然估计法:似然函数 :离散:);()(1inixpL或连续:);()(1inixfL,)(L化简可去掉与 无关的因式项?即 为)(L最 大 值 , 可 由 方 程0)(ddL或0)(lnddL求得当多个未知参数1,1, k时:可由方程组0ddLi或0lnddLi(ki,2, 1)求得最大似然估计的不变性 :若 u=u( )有单值反函数 = (u),则有)?(?uu,其中?为最大似然估计截尾样本取样:定时截尾样本:抽样 n 件产品, 固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0 t1 t2 tm t0)和
15、失效产品数量定数截尾样本:抽样 n 件产品,固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0 t1 t2 tm)结尾样本最大似然估计:定数截尾样本: 设产品寿命服从指数分布Xe ( ) ,即产品平均寿命产品 ti时失效概率Pt=ti f(ti)d ti,寿命超过tm的概率mtmettF, 则)()()(1imimnmmntPttFCL, 化简得)(1)(mtsmeL,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页由0)(lnddL得:mtsm)(?,其中 s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm,称为 实验总时间 定时截尾样本
16、: 与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+tm+(n m)t0,)(01)(tsmeL,mts)(?0, 无偏性:估计量),(?21nXXX的)?(E存在且)?(E,则称?是的无偏估计量 有效性:),(?211nXXX与),(?212nXXX都是的无偏估计量,若)?()?(21DD,则1?较2?有效 相合性:设),(?21nXXX的估计量, 若对于任意0有1|?|lim Pn,则称?是的相合估计量 置信区间:1),(),(2121nnXXXXXXP,和分别为 置信下限 和置信上限 ,则),(是的一个置信水平为1置信区间 ,1称为 置信水平 ,10正态样本置信区间:设 X1,X2, X
17、n是来自总体XN( ,2)的样本,则有的置信区间:枢轴量 W W 分布a,b 不等式置信水平置信区间)1 , 0( NnX12znXP)(2znX其中 z /2为上 分位点 置信区间的求解:1先求 枢轴量 :即函数W=W(X1,X2, Xn; ),且函数W 的分布不依赖未知参数如 上 讨 论 标注2对于给定置信水平1,定出两常数a,b使 PaW50 时,)1 ,0()1()(limNpnpnpXnn1)1()(2zpnpnpXnP0)2()(222222XnpzXnpzn若令22zna,)2(22zXnb,2Xnc,则有置信区间 (aacbb2)4(2,aacbb2)4(2) 单侧置信区间:若
18、1P或1P,称 (,)或(,)是 的置信水平为1的 单侧置信区间正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为1)待估其他枢轴量 W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体2已知)1 ,0( NnXZ)(2znXznX,znX2未知)1(ntnSXt2tnSXtnSX,tnSX2未知)1()1(2222nSn2212222)1(,)1(SnSn2122)1(Sn,222) 1(Sn两个正态总体1212,22 已知) 1 , 0()(22212121NnnYXZ2221212nnzYX2221212122212121nnzYXnnzYX1212=22=2 未知)2()()(21121121n
19、ntnnSYXtw12112nnStYXw2wwSS121121121121nnStYXnnStYXww精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页2) 1() 1(212222112nnSnSnSw12/221,2 未知)1, 1(2122212221nnFSSF212221222211,1FSSFSS1222122211FSS,FSS122212221单个总体 XN( , 2),两个总体XN(1,12),YN(2,22)第八章假设实验定义:H0:原假设 或零假设 ,为理想结果假设;H1:备择假设 ,原假设被拒绝后可供选择的
20、假设第类错误 :H0实际为真时,却拒绝H0第类错误 :H0实际为假时,却接受H0显著性检验 :只对犯第第类错误的概率加以控制,而不考虑第类错误的概率的检验P当 H0为真拒绝H0 ,称为 显著水平 拒绝域 :取值拒绝H0临界点 :拒绝域边界双边假设检验:H0: =0, H1: 0右边检验 :H0: 0,H1: 0左边检验 :H0: 0,H1: 0nXZ0z z 0 0nSXt0t t(n1) 0 222121nnYXZz z12 121211nnSYXtw2)1() 1(212222112nnSnSnSwt t(n1+n22) 12 12022022) 1(Sn2 2(n1) 2 0222222
21、21SSFF F(n11,n21) 12 22120 nSDtD0t t(n1) D 0 D0 t t(n1) D=0 D 0 |t| t2(n1) 检验方法选择:主要是 逐对比较法 (成对数据)跟两个正态总体均值差的检验的区别,如上表即7 跟 3、 4 的区别,成对数据指两样本X 和 Y 之间存在一一对应关系,而3 和 4 一般指 X 和 Y 相互对立,但针对同一实体关系:置信区间与假设检验之间的关系:未知参数的置信水平为1的置信区间 与显著水平为的接受域 相同定义:施行特征函数(OC 函数 ): ( )=P(接受 H0)功效函数 :1 ( )功效 :当 *H1时, 1 (*)的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页