排列组合问题17种方法（课堂课资）

《排列组合问题17种方法（课堂课资）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合问题17种方法（课堂课资）（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1学习材料完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有 m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2 种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法复习巩固复习巩固1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )2学习材料完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种

2、不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有：件事共有： 种不同的方法种不同的方法2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。3学习材料解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综

3、合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类, ,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行, ,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题( (有序有序) )还是还是 组合组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素. .解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必

4、须掌握一些常用的解题策略4学习材料从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。1.1.排列的定义排列的定义: :2.2.组合的定义组合的定义: :3.3.排列数公式排列数公式: :4.4.组合数公式组合数公式: :排列与组合的关键是问题与次序有无关系。5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。5学习材料特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数

5、五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元以免不合要求的元素占了这两个位置素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=2886学习材料位置分析法和元素分析法是解决排列组合位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法问题最常用也是最基本的方法,若以元素若以元素分析为主分析为主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再处理其它再处理其它元素元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需先满足特殊位需先满足特殊位置的要求置

6、的要求,再处理其它位置。若有多个约再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件时还要兼顾其它条件7学习材料1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若若两种葵花不种在中间，也不种在两端的两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位：第二步由其余元素占位：小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这

7、些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。8学习材料相邻元素捆绑策略 7 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。排。 9学习材

8、料要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可可以用以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素即将需要相邻的元素合并合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同同时时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.10学习材料不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略 一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈, ,2 2个个相相声声, ,3 3个个 独独唱唱, ,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场, ,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个

9、相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独11学习材料元素相离问题可先把没有位置要求的元素元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两进行排队再把不相邻元素插入中间和两端端12学习材料某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题201

10、3学习材料某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（ ）30练习题14学习材料定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略 7 7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素

11、与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： （空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 1思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?15学习材料（插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其

12、余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理空模型处理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？16学习材料环排问题线排策略环排问题线排策略 5 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固

13、定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！17学习材料一般地一般地, ,n n个不同元素作圆形排列个不同元素作圆形排列, ,共有共有( (n-1)!n-1)!种排法种排法. .18学习材料练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈60设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数为：(61)!/260

14、 要考虑“钻石圈”可以翻转的特点 19学习材料多排问题直排策略多排问题直排策略8 8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排

15、的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.20学习材料有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，现个座位，现安排安排2 2人就座规定前排中间的人就座规定前排中间的3 3个座位不能坐，并个座位不能坐，并且这且这2 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是人不左右相邻，那么不同排法的种数是_346练习题21学习材料重排问题求幂策略重排问题求幂策略 把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习

16、生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法，依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m22学习材料1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开

17、演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） 422. 2. 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）练习题23学习材料分组问题分组问题6本不同的书分成本不同的书分成3份份,（1）1份份3本本.1份份2本，本，1份份1本共有多少法？本共有多少法？（2）1份份4本，另本，另2份各份各1本本共有多少法？共有多少法？（3）每份）每份2本本共有多少法？共有多少法？平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况

18、,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。24学习材料分配问题分配问题有有6 6个不同的小球个不同的小球, ,装入装入ABC3ABC3个不同的盒内个不同的盒内, , (1(1）每盒各装）每盒各装2 2个个（2 2）A A中中3 3个，个，B B中中2 2个，个，C C中中1 1个个（3 3）A A中中4 4个，个，B B中中1 1个，个，C C中中1 1个个（4 4）1 1个盒子装个盒子装4 4个，另个，另2 2个盒子个装个盒子个装1 1个个（5 5）1 1个盒子装个盒子装3 3个，个，1 1个盒子装个盒子装2 2个，个， 一个盒

19、子装一个盒子装1 1个个（6 6）每个盒子至少）每个盒子至少1 1个个25学习材料练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种19219226学习材料1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？2.10名学生分成名学生分成3组组,其中一组其中一组4人人, 另两组另两组3人人 但正副

20、班长不能分在同一组但正副班长不能分在同一组,有多少种不同有多少种不同 的分组方法的分组方法 （1540）3.3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 27学习材料小集团问题先整体局部策略小集团问题先整体局部策略. .用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,这两个奇数之这两个奇数之 间间, ,这样的五位数有多少个？

21、这样的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有_种排法种排法.31524小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。28学习材料.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端

22、，那么共有陈列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种29学习材料元素相同（指标分配）问题隔板策略.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分

23、法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班30学习材料将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法个空隙中，所有分法数为数为31学习材料练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一 有多少装法？有多少装法？2 .2 .x+y+z+w=100x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解求这个方程组的自然

24、数解 的组数的组数32学习材料正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略 .从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数

25、的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 9 9013013015015017017023023025025027027041041045045043043+- 9- 9+33学习材料有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷,可以先求出它可以先求出它的反面的反面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.34学习材料我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法

26、有多少种抽法有多少种? ?练习题35学习材料5 5个人排队，甲不站头，乙不站尾有多少种个人排队，甲不站头，乙不站尾有多少种练习题36学习材料. 合理分类与分步策略 . .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进

27、行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+ + +37学习材料本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：* *以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准* *以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准* *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是

28、否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。38学习材料1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 3434 练习题2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船

29、只能乘号船只能乘1 1人人, ,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. .272739学习材料构造模型策略构造模型策略 . . 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模

30、型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决40学习材料练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？12041学习材料实际操作穷举策略实际操作穷举策略 . .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五

31、个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒34542学习材料实际操作穷举策略实际操作穷举策略

32、. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则

33、4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法, 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 43学习材料对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分

34、配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种21345727244学习材料分解与合成策略分解与合成策略 3003030030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式 30030=2 30030=23 35 5 7 7 11111313依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个个 因数中任取若干个组成乘积，所有因数中任取若

35、干个组成乘积，所有 的偶因数为：的偶因数为：例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线45学习材料解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共_每个四面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线6 6658=174分分解解与与合合成成策策略略是是排排列列组组合合问问题题的的一一种种最最基基本本的的解解题题策策略略, ,把把一一个个复复杂杂问问题题分分解解成成几几个个小小问问题题逐逐一一解解决决, ,然然后后依依据据问问题题分分解解后后的的结结构构, ,用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理将将问问题题合合成成, ,从从而而得得到到问问题题的的答答案案

36、, ,每每个个比比较较复复杂杂 的的 问问 题题 都都 要要 用用 到到 这这 种种 解解 题题 策策 略略46学习材料化归策略化归策略 . 25. 25人排成人排成5 55 5方队方队, ,现从中选现从中选3 3人人, ,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,不同的不同的 选法有多少种？选法有多少种？解： 将这个问题退化成将这个问题退化成9 9人排成人排成3 33 3方队方队, ,现现从中选从中选3 3人人, ,要求要求3 3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列, ,有多少选法有多少选法. .这样每行必有这样每行必有1 1人人从其中的一行中选取从其

37、中的一行中选取1 1人后人后, ,把这人所在把这人所在的行列都划掉，的行列都划掉，47学习材料从从5 55 5方队中选取方队中选取3 3行行3 3列有列有_选法选法所以从所以从5 55 5方队选不在同一行也不在同方队选不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_选法。选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题解决原来的问题如此继续下去如此继续下去. .从从3 33 3方队中选方队中选3 3

38、人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5 55 5方队选出方队选出3 33 3方队便可解决问题方队便可解决问题48学习材料某城市的街区由某城市的街区由1212个全等的矩形区组成个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从其中实线表示马路，从A A走到走到B B的最短路的最短路径有多少种？径有多少种？练习题B BA A49学习材料小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件掌握。根据它们的条件, ,我们就可以选取不同我们就可以选取不同的技巧来解决问题的技巧来解决问题. .对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题, ,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。后续学习打下坚实的基础。50学习材料