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1、学习必备欢迎下载2010-20XX年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十六第十六章平面几何一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成)梅涅劳斯定理设, , CBA分别是 ABC的三边 BC, CA , AB或其延长线上的点, 若, , CBA三点共线,则.1BCACABCBCABA梅涅劳斯定理的逆定理条件同上,若. 1BCACABCBCABA则, , CBA三点共线。塞 瓦定理设, , CBA分 别是 ABC 的 三边BC, CA, AB 或其延长线上的点 ,若, , CCBBAA三线平行或共点,则.1BCACABCBCABA塞瓦定理的逆定理设, , CBA分别是 ABC的三边BC,CA ,AB
2、 或其延长线上的点,若.1BCACABCBCABA则, , CCBBAA三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理, , CBA分别是 ABC 的三边BC ,CA, AB 所在直线上的点,则, , CCBBAA平行或共点的充要条件是.1sinsinsinsinsinsinBABCBBCBCACCACABAA广义托勒密定理设 ABCD为任意凸四边形,则AB ?CD+BC ?AD AC ?BD ,当且仅当A,B,C,D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设 P为ABC的边 BC上任意一点, P不同于 B,C,则有AP2=AB2?BCPC+AC2?BCBP-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶
3、点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。(到两圆的幂 (即切线长) 相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴)欧拉定理ABC的外心 O,垂心 H,重心 G三点共线,且.21GHOG二、方法与例题1同一法。 即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 ABC中, ABC=700, ACB=300,P,Q为 ABC内部两点, QBC= QCB=100,
4、PBQ= PCB=200,求证: A,P, Q三点共线。 证明 设直线 CP交 AQ于 P1, 直线 BP交 AQ于 P2, 因为 ACP= PCQ=100, 所以CQACQPAP1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载在 ABP , BPQ ,ABC中由正弦定理有222sinsinABPAPBAPAB,QBPBQQP202sin20sin,.70sin30sin00ACAB由,得2211QPAPQPAP。又因为P1,P2同在线段AQ上,所以P1,P2重合,又 BP与CP仅有一个交点,所以P1,P2即为
5、 P,所以 A,P,Q共线。2面积法。例 2 见图 16-1 , ABCD 中,E,F 分别是 CD ,BC上的点,且BE=DF ,BE交 DF于 P,求证:AP为 BPD的平分线。 证明 设 A点到 BE ,DF距离分别为h1,h2,则,21,2121hDFShBESADFABE又因为21ABESS ABCD=SADF,又 BE=DF 。所以 h1=h2,所以 PA为 BPD的平分线。3几何变换。例 3 (蝴蝶定理) 见图 16-2,AB是 O的一条弦, M为 AB中点,CD ,EF为过 M的任意弦,CF , DE分别交 AB于 P,Q。求证: PM=MQ。 证明 由题设 OM AB 。不妨
6、设BDAF。作 D关于直线OM 的对称点D。连 结FDDDMDPD, , , 则.DM QP M DDMMD要 证PM=MQ , 只 需 证MDQMPD,又 MDQ= PFM ,所以只需证F,P,M ,D共圆。因为PFD=1800-MDD=1800- DMD=1800- PMD。 (因为DDOM 。AB/DD)所以 F, P ,M ,D四点共圆。所以MPDMDQ 。所以 MP=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相似比为1995,而且每个三角形三个顶点同色。 证明 在平面上作两个同心圆,半径分别为1 和 1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝
7、两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为A,B,C,D,E,过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设为 A1,B1,C1,则 ABC与 A1B1C1都是顶点同色的三角形,且相似比为1995。4三角法。例 5 设 AD ,BE与 CF为 ABC的内角平分线,D , E,F 在ABC的边上,如果EDF=900,求 BAC的所有可能的值。 解 见图 16-3 ,记 ADE= , EDC= ,由题设 FDA=2- , BDF=2- ,由正弦定理:CDECEADEAEsinsin,2sinsin,精选学习资料 - - - - -
8、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载得2sinsinsinsinACCEAE,又由角平分线定理有BCABECAE,又ABCCABsinsin,所以ACACsinsin2sinsinsinsin,化简得2cos2sinsinA,同理2cos2sinsinAADFBDF,即.2cos2coscosA所以coscossinsin,所以 sin cos-cos sin =sin( - )=0. 又- - 3PG. 证明 因为GCGBGAPGGCPGGBPGGAPGPCPBPA3, 又 G为ABC重心,所以.0GCGBGA(事实上设AG交 BC于
9、 E,则GCGBGEAG2,所以0GCGBGA)所以PGPCPBPA3,所以. |3|PGPCPBPAPCPBPA又因为PCPBPA,不全共线,上式“=”不能成立,所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例 7 H 是ABC的垂心, P是任意一点, HLPA ,交 PA于 L,交 BC于 X,HM PB ,交 PB于 M ,交 CA于 Y, HNPC交 PC于 N,交 AB于 Z,求证: X,Y,Z 三点共线。 解 以 H为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和 y 轴,建立直角坐标系, 用(xk,yk) 表示点 k 对应的坐标, 则直线 PA的斜率为APAPxxyy, 直线 HL斜
10、率为PAAPyyxx,直线 HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线 HA的斜率为AAxy, 所以直线BC的斜率为AAyx, 直线 BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点 C在直线 BC上,所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为X 是 BC 与 HL 的交点,所以点X 坐标满足式和式,所以点X 坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB. 同理点 Y坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC. 点 Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由知,表示同一直线方程,故X,
11、Y,Z三点共线。7四点共圆。例 8 见图 16-5 ,直线 l 与 O相离, P为 l 上任意一点,PA ,PB为圆的两条切线,A,B为切点,求证:直线AB过定点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载 证明 过 O作 OCl 于 C,连结 OA ,OB ,BC ,OP ,设 OP交 AB于 M ,则 OPAB,又因为OAPA ,OBPB ,OCPC 。所以 A, B ,C都在以 OP为直径的圆上,即O , A ,P,C,B五点共圆。AB与 OC是此圆两条相交弦,设交点为Q ,又因为 OPAB,OCCP
12、,所以 P, M ,Q,C四点共圆,所以OM ?OP=OQ ?OC 。由射影定理OA2=OM ?OP ,所以 OA2=OQ ?OC ,所以 OQ=OCOA2(定值)。所以 Q为定点,即直线AB过定点。三、习题精选1 O1和 O2分别是 ABC的边 AB ,AC上的旁切圆,O1与 CB ,CA的延长线切于E ,G,O2与 BC ,BA的延长线切于F,H,直线 EG与 FH交于点 P,求证: PABC。2设 O的外切四边形ABCD 的对角线AC ,BD的中点分别为E,F,求证: E,O,F 三点共线。3已知两小圆 O1与 O2相外切且都与大圆O相内切,AB是 O1与 O2的一条外公切线,A,B 在
13、 O 上, CD是 O1与 O2的内公切线,O1与 O2相切于点P,且 P,C 在直线AB的同一侧,求证:P是 ABC的内心。4ABC内有两点M ,N,使得 MAB= NAC且 MBA= NBC ,求证:.1CBCACNCMBABCBNBMACABANAM5ABC中, O为外心,三条高AD ,BE ,CF相交于点H,直线 ED和 AB相交于点M ,直线FD和 AC相交于点N ,求证:(1)OBDF , OCDE ; (2)OHMN 。6设点 I ,H分别是锐角 ABC的内心和垂心,点B1,C1分别是边AC , AB的中点,已知射线 B1I 交边 AB于点 B2(B2B),射线 C1I 交 AC
14、的延长线于点C2,B2C2与 BC相交于点 K,A1为BHC的外心。试证:A,I ,A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等。7已知点A1,B1,C1,点 A2,B2,C2,分别在直线l1,l2上 ,B2C1交 B1C2于点 M ,C1A2交 A1C2于点 N, B1A2交 B2A1于 L。求证: M ,N,L 三点共线。8ABC中, C=900, A=300, BC=1 ,求 ABC 的内接三角形(三个顶点分别在三条边上的三角形)的最长边的最小值。9ABC的垂心为H,外心为O ,外接圆半径为R,顶点 A ,B,C关于对边BC ,CA ,AB的对称点分别为, , CBA,求证:, , CBA三点共线的充要条件是OH=2R 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页