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1、学习必备欢迎下载2010-20XX年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十六第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设, , CBA分别是 ABC的三边 BC， CA ， AB或其延长线上的点， 若, , CBA三点共线，则.1BCACABCBCABA梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若. 1BCACABCBCABA则, , CBA三点共线。塞 瓦定理设, , CBA分 别是 ABC 的 三边BC， CA， AB 或其延长线上的点 ，若, , CCBBAA三线平行或共点，则.1BCACABCBCABA塞瓦定理的逆定理设, , CBA分别是 ABC的三边BC，CA ，AB
2、 或其延长线上的点，若.1BCACABCBCABA则, , CCBBAA三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理, , CBA分别是 ABC 的三边BC ，CA， AB 所在直线上的点，则, , CCBBAA平行或共点的充要条件是.1sinsinsinsinsinsinBABCBBCBCACCACABAA广义托勒密定理设 ABCD为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD AC ?BD ，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设 P为ABC的边 BC上任意一点， P不同于 B，C，则有AP2=AB2?BCPC+AC2?BCBP-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶
3、点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂 （即切线长） 相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ABC的外心 O，垂心 H，重心 G三点共线，且.21GHOG二、方法与例题1同一法。 即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 ABC中， ABC=700， ACB=300，P，Q为 ABC内部两点， QBC= QCB=100，
4、PBQ= PCB=200，求证： A，P， Q三点共线。 证明 设直线 CP交 AQ于 P1， 直线 BP交 AQ于 P2， 因为 ACP= PCQ=100， 所以CQACQPAP1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载在 ABP ， BPQ ，ABC中由正弦定理有222sinsinABPAPBAPAB，QBPBQQP202sin20sin，.70sin30sin00ACAB由，得2211QPAPQPAP。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又 BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为
5、 P，所以 A，P，Q共线。2面积法。例 2 见图 16-1 ， ABCD 中，E，F 分别是 CD ，BC上的点，且BE=DF ，BE交 DF于 P，求证：AP为 BPD的平分线。 证明 设 A点到 BE ，DF距离分别为h1,h2，则,21,2121hDFShBESADFABE又因为21ABESS ABCD=SADF，又 BE=DF 。所以 h1=h2，所以 PA为 BPD的平分线。3几何变换。例 3 （蝴蝶定理） 见图 16-2，AB是 O的一条弦， M为 AB中点，CD ，EF为过 M的任意弦，CF ， DE分别交 AB于 P，Q。求证： PM=MQ。 证明 由题设 OM AB 。不妨
6、设BDAF。作 D关于直线OM 的对称点D。连 结FDDDMDPD, , ， 则.DM QP M DDMMD要 证PM=MQ ， 只 需 证MDQMPD，又 MDQ= PFM ，所以只需证F，P，M ，D共圆。因为PFD=1800-MDD=1800- DMD=1800- PMD。 （因为DDOM 。AB/DD）所以 F， P ，M ，D四点共圆。所以MPDMDQ 。所以 MP=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。 证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1 和 1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝
7、两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为 A1，B1，C1，则 ABC与 A1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4三角法。例 5 设 AD ，BE与 CF为 ABC的内角平分线，D ， E，F 在ABC的边上，如果EDF=900，求 BAC的所有可能的值。 解 见图 16-3 ，记 ADE= ， EDC= ，由题设 FDA=2- ， BDF=2- ，由正弦定理：CDECEADEAEsinsin,2sinsin，精选学习资料 - - - - -
8、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载得2sinsinsinsinACCEAE，又由角平分线定理有BCABECAE，又ABCCABsinsin，所以ACACsinsin2sinsinsinsin，化简得2cos2sinsinA，同理2cos2sinsinAADFBDF，即.2cos2coscosA所以coscossinsin，所以 sin cos-cos sin =sin( - )=0. 又- - 3PG. 证明 因为GCGBGAPGGCPGGBPGGAPGPCPBPA3， 又 G为ABC重心，所以.0GCGBGA（事实上设AG交 BC于
9、 E，则GCGBGEAG2，所以0GCGBGA）所以PGPCPBPA3，所以. |3|PGPCPBPAPCPBPA又因为PCPBPA,不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例 7 H 是ABC的垂心， P是任意一点， HLPA ，交 PA于 L，交 BC于 X，HM PB ，交 PB于 M ，交 CA于 Y， HNPC交 PC于 N，交 AB于 Z，求证： X，Y，Z 三点共线。 解 以 H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和 y 轴，建立直角坐标系， 用(xk,yk) 表示点 k 对应的坐标， 则直线 PA的斜率为APAPxxyy， 直线 HL斜
10、率为PAAPyyxx，直线 HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线 HA的斜率为AAxy， 所以直线BC的斜率为AAyx， 直线 BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点 C在直线 BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为X 是 BC 与 HL 的交点，所以点X 坐标满足式和式，所以点X 坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB. 同理点 Y坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC. 点 Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由知，表示同一直线方程，故X，
11、Y，Z三点共线。7四点共圆。例 8 见图 16-5 ，直线 l 与 O相离， P为 l 上任意一点，PA ，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载 证明 过 O作 OCl 于 C，连结 OA ，OB ，BC ，OP ，设 OP交 AB于 M ，则 OPAB，又因为OAPA ，OBPB ，OCPC 。所以 A， B ，C都在以 OP为直径的圆上，即O ， A ，P，C，B五点共圆。AB与 OC是此圆两条相交弦，设交点为Q ，又因为 OPAB，OCCP
12、，所以 P， M ，Q，C四点共圆，所以OM ?OP=OQ ?OC 。由射影定理OA2=OM ?OP ，所以 OA2=OQ ?OC ，所以 OQ=OCOA2（定值）。所以 Q为定点，即直线AB过定点。三、习题精选1 O1和 O2分别是 ABC的边 AB ，AC上的旁切圆，O1与 CB ，CA的延长线切于E ，G，O2与 BC ，BA的延长线切于F，H，直线 EG与 FH交于点 P，求证： PABC。2设 O的外切四边形ABCD 的对角线AC ，BD的中点分别为E，F，求证： E，O，F 三点共线。3已知两小圆 O1与 O2相外切且都与大圆O相内切，AB是 O1与 O2的一条外公切线，A，B 在
13、 O 上， CD是 O1与 O2的内公切线，O1与 O2相切于点P，且 P，C 在直线AB的同一侧，求证：P是 ABC的内心。4ABC内有两点M ，N，使得 MAB= NAC且 MBA= NBC ，求证：.1CBCACNCMBABCBNBMACABANAM5ABC中， O为外心，三条高AD ，BE ，CF相交于点H，直线 ED和 AB相交于点M ，直线FD和 AC相交于点N ，求证：（1）OBDF ， OCDE ； （2）OHMN 。6设点 I ，H分别是锐角 ABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC ， AB的中点，已知射线 B1I 交边 AB于点 B2(B2B)，射线 C1I 交 AC
14、的延长线于点C2，B2C2与 BC相交于点 K，A1为BHC的外心。试证：A，I ，A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等。7已知点A1，B1，C1，点 A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交 B1C2于点 M ，C1A2交 A1C2于点 N， B1A2交 B2A1于 L。求证： M ，N，L 三点共线。8ABC中， C=900， A=300， BC=1 ，求 ABC 的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC的垂心为H，外心为O ，外接圆半径为R，顶点 A ，B，C关于对边BC ，CA ，AB的对称点分别为, , CBA，求证：, , CBA三点共线的充要条件是OH=2R 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
