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1、学习必备欢迎下载高中数学易错题举例解析（二）高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。 也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。x0y0x + y0xy0，但x1y2与x + y3xy2不等价。【 例 1】已知 f(x) = ax + xb，若,6)2(3,0)1(3ff求)3(f的范围。错误解法由条件得622303baba 2156a 2得32338b+得.343)3(310,34333310fba即错误分析采用这种解法，
2、 忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxaxxf)(，其值是同时受ba和制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有22)2() 1(bafbaf, 解得：),2() 1(232),1()2(231ffbffa).1(95)2(91633)3(ffbaf把)1 (f和)2(f的范围代入得.337)3(316f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。【例 2】(1) 设、是方程0622kkxx的两个实根，则22) 1() 1(的最小值是不
3、存在)D(18)C(8)B(449)A(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载思路分析本例只有一个答案正确，设了3 个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：, 6,2kk.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222k有的学生一看到449，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。 如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、，0)6k(4k42.3k2k或当3k时，22)1()1(的最小值是
4、8；当2k时，22) 1()1(的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2) 已知 (x+2)2+ y24 =1, 求 x2+y2的取值范围。错解由已知得 y2=4x216x12，因此 x2+y2= 3x216x12=3(x+38)2+328，当 x=83时， x2+y2有最大值283，即 x2+y2的取值范围是( , 283 。分析没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于 (x+2)2+ y24 =1 (x+2)2=1y241 3x 1，从而当 x=1 时 x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是1, 283 。注意有界性：偶次方x20，三角
5、函数 1sinx 1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【 例 3】已知： a0 , b0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值。错解 (a+a1)2+(b+b1)2=a2+b2+21a+21b+42ab+ab2+44abab1+4=8, (a+a1)2+(b+b1)2的最小值是8. 分析上面的解答中， 两次用到了基本不等式a2+b22ab， 第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
6、 - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载是最小值。事实上，原式= a2+b2+21a+21b+4=( a2+b2)+(21a+21b)+4=(a+b)2 2ab+(a1+b1)2ab2+4 = (1 2ab)(1+221ba)+4，由 ab(2ba)2=41得： 12ab121=21, 且221ba16，1+221ba17，原式2117+4=225 ( 当且仅当a=b=21时，等号成立 ) ，(a + a1)2 + (b + b1)2的最小值是252。不进行分类讨论，导致错误【例 4】 (1) 已知数列na的前n项和12nnS，求.na错误解法.222)12()12(1
7、111nnnnnnnnSSa错误分析显然，当1n时，1231111Sa。错误原因：没有注意公式1nnnSSa成立的条件是。因此在运用1nnnSSa时，必须检验1n时的情形。 即：), 2() 1(1NnnSnSann。(2) 实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。错误解法将圆012222aaxyx与抛物线xy212联立，消去y，得).0(01)212(22xaxax因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得.01021202aa， 解之得.817a错误分析（如图 2 21；222）显然，当0a时，圆与抛物线有两个公共点。x y O 图221 x y O 图2
8、22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得. 0102a解之，得.11a因此，当817a或11a时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。思考题：实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212，(1) 有一个公共点；(2) 有三个公共点；(3) 有四个公共点；(4) 没有公共点。以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况， 致使解答不完全， 不能给出问题的全
9、部答案，从而表现出思维的不严密性。【例 5】 (1) 设等比数列na的全n项和为nS. 若9632SSS，求数列的公比q. 错误解法,2963SSSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）整理得qqq1q24q,0)1q)(1q2(.01qq20q33336或得方程由。错误分析在错解中，由qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，01qq2(q363）整理得时，应有1q0a1和。在等比数列中，01a是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1q的情况，再在1q的情况下，对式子进行整理变形。正 确 解 法若1q， 则 有.9,
10、6,3191613aSaSaS但01a， 即 得,2963SSS与题设矛盾，故1q. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载又依题意963S2SSqqaqqaqqa1)1(21)1 (1)1(91613101qq2(q363）, 即,0)1)(12(33qq因 为1q， 所 以,013q所 以.0123q解得.243q说明此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2 分。(2) 求过点)1 ,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点。错误解法
11、设所求的过点) 1 ,0(的直线为1kxy，则它与抛物线的交点为xykxy212，消去y得.02)1(2xkx整理得.01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0解得.21k所求直线为.121xy错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1kxy时，没有考虑0k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它
12、的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1 ,0(，所以,0x即y轴，它正好与抛物线xy22相切。当所求直线斜率为零时，直线为y = 1 平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点。一般地，设所求的过点) 1 ,0(的直线为1kxy)0(k, 则xykxy212，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载.01)22(22xkxk令,0解得 k = 12 , 所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：
13、. 121, 0, 1xyxy章节易错训练题1、已知集合M = 直线 ，N = 圆 ，则 M N中元素个数是 A( 集合元素的确定性) (A) 0 (B) 0或 1 (C) 0或 2 (D) 0或 1 或 2 2、 已知 A = x| x2 + tx + 1 = 0， 若 AR*= ， 则实数 t 集合 T = _。2tt( 空集)3、如果 kx2+2kx (k+2)0 恒成立，则实数k 的取值范围是C(等号 )(A) 1k0 (B) 1k0 (C) 1k0 (D) 1k0 4、命题:1A x3，命题: (2)()Bxxa0，若 A 是 B 的充分不必要条件，则a的取值范围是C(等号 )（ A
14、）(4,)（B）4,（C）(,4)（D）, 45、若不等式x2logax0 在(0, 12 ) 内恒成立，则实数a的取值范围是A(等号 )(A) 116 ,1) (B) (1, + ) (C) (116 ,1) (D) (12,1)(1,2) 6、若不等式 ( 1)na 0xx1 x0， f (x) 的反函数f1(x)= 。 2x 2 x1xx 1 0x1（漏反函数定义域即原函数值域）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载11、函数f (x) = log12 (x 2 + a x + 2) 值域为R，则
15、实数a的取值范围是D(正确使用 0 和 0 , b0 , a+b=1，则 (a + 1a )2 + (b + 1b )2的最小值是 _。252 ( 三相等 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载22、已知 x k(k Z) ，函数 y = sin2x + 4sin2x的最小值是 _。5（三相等）23、求xxy22cos8sin2的最小值。错解 1|cossin|8cos8sin22cos8sin22222xxxxxxy.16,.16|2sin|16minyx错解 2.261182221)coscos8
16、()sinsin2(2222xxxxy错误分析在解法 1 中，16y的充要条件是.1|2sin|cos8sin222xxx且即.1|xsin|21|xtan|且这是自相矛盾的。.16miny在解法 2 中，261y的充要条件是,22cos2sincoscos8sinsin2222222xxxxxx，即且这 是 不 可能的。正确解法1xxy22sec8csc2.18xtan4xcot2210)xtan4x(cot210)xtan1(8)xcot1(2222222其中，当.18y2xcotxtan4xcot222时，即.18miny正 确 解 法 2 取正常数k，易得kxkxxkxy)coscos
17、8()sinsin2(2222.268222kkkkk其中“”取“”的充要条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载.18k21xtanxcoskxcos8xsinkxsin222222且，即且因此，当,18kk26y21xtan2时，.18miny24、已知 a1 = 1 ， an = an1 + 2n1(n 2) ，则 an = _ 。2n1( 认清项数 )25、已知 9、a1、a2、 1 四个实数成等差数列，9、b1、b2、b3、 1 五个实数成等比数列，则b2 (a2a1) = A(符号 )(
18、A) 8 (B) 8 (C) 98(D) 9826、已知 an 是等比数列，Sn是其前 n 项和，判断Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列吗？当 q = 1，k 为偶数时， Sk = 0 ，则 Sk，S2kSk，S3kS2k不成等比数列；当 q 1 或 q = 1 且 k 为奇数时，则Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。（忽视公比q = 1）27、已知定义在R上的函数)(xf和数列na满足下列条件：1211),.,4, 3,2)(,aanafaaann， f(an) f(an 1) = k(anan1)(n = 2,3, ) ，其中a为常数， k 为非零常数。（1）令nnnaab1*
19、)(Nn，证明数列nb是等比数列；（ 2）求数列na的通项公式； （3）当1| k时，求nnalim。(2004 天津 ) （等比数列中的0 和 1，正确分类讨论）28、不等式 m2(m23m)i2 ，误认短轴是b = 22 ；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为 x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0 否，再考虑0，后韦达定理。 ) 41、 已知双曲线的右准线为4x，右焦点)0 ,10(F, 离心率2e, 求双曲线方程。错解1.60,40,10, 422222acbaccax故所求的双曲线方程为.1604022yx错解 2由焦点)0,10(F知,10c.75, 5
20、,2222acbaace故所求的双曲线方程为.1752522yx错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解1设),(yxP为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4x，右焦点)0 ,10(F， 离 心 率2e， 由 双 曲 线 的 定 义 知.2|4|)10(22xyx整 理 得.14816)2(22yx正解 2依题意，设双曲线的中心为)0,(m, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下
21、载则.21042acmcmca解得.284mca, 所以,481664222acb故所求双曲线方程为.14816)2(22yx42、求与y轴相切于右侧，并与06:22xyxC也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法如图 321 所示，已知C的方程为.9)3(22yx设点)0)(,(xyxP为所求轨迹上任意一点，并且P与y轴相切于M点，与 C相切于 N点。根据已知条件得3|PMCP，即3xy) 3x(22，化简得).0(122xxy错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满
22、足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以)30(0xxy且也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2= 12x(x0) 和)30(0xxy且。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。43、 （如图 322） ，具有公共y轴的两个直角坐标平面和所成的二面角轴y等于60. 已知内的曲线C的方程是)0(22pxpy， 求曲线C在内的射影的曲线方程。错误解法依题意，可知曲线C是抛物线，在内的焦点坐标是.0),0,2(ppF因为二面角轴y等于60，且轴，轴轴，轴yx
23、yx所以.60xxo设焦点F在内的射影是),(yxF，那么，F位于x轴上，从而,90,60,0FOFOFFyP C(3,0) y x O 图321 M N yO xxF图322 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载所以.421260cosppFOOF所以点)0 ,4(pF是所求射影的焦点。依题意， 射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C在内的射影的曲线方程是.2pxy错误分析上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影 ( 曲线 ) 的焦点， 其次，没有证明默认C/在内的射影 ( 曲线
24、 ) 是一条抛物线。正确解法在内，设点),(yxM是曲线上任意一点（如图 323）过点M作MN，垂足为N，过N作yNH轴，垂足为.H连接MH，则yMH轴。所以MHN是二面角轴y的平面角，依题意，MHN60. 在.2160cos,xHMHNMNHRt中又知xHM /轴（或M与O重合），xHN /轴（或H与O重合） ，设),(yxN，则.221yyxxyyxx因为点),(yxM在曲线)0(22pxpy上，所以).2(22xpy即所求射影的方程为).0(42ppxy44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率23e，已知点)23,0(P到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。错误解法依题
25、意可设椭圆方程为)0(12222babyax则43122222222ababaace，所以4122ab，即.2ba设椭圆上的点),(yx到点P的距离为d，yO xxF图323 M N H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载则222)23(yxd.34)21(3493)1 (222222byyybya所以当21y时，2d有最大值，从而d也有最大值。所以22)7(34b，由此解得：.4, 122ab于是所求椭圆的方程为.1422yx错解分析尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确
26、只是碰巧而已。由当21y时，2d有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到的取值范围。事实上，由于点),(yx在椭圆上，所以有byb，因此在求2d的最大值时，应分类讨论。即：若21b，则当by时，2d（从而d）有最大值。于是,)23()7(22b从而解得矛盾。与21,21237bb所以必有21b，此时当21y时，2d（从而d）有最大值，所以22)7(34b，解得.4, 122ab于是所求椭圆的方程为.1422yx数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中， 必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
