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1、3.3 夫琅和费多缝衍射夫琅和费多缝衍射1. 多缝衍射的实验装置多缝衍射的实验装置2. 多缝衍射的光强分布多缝衍射的光强分布3. 多缝衍射图样的基本特征多缝衍射图样的基本特征1. 多缝衍射的实验装置多缝衍射的实验装置 在一块不透光屏上，刻有在一块不透光屏上，刻有 N 条等间距、等宽度狭缝。狭条等间距、等宽度狭缝。狭缝平行于缝平行于 y1方向，沿方向，沿 x1方向缝宽为方向缝宽为 a ，相邻狭缝间距为，相邻狭缝间距为 d。x1L2L1SPP0fxd 须须注注意意：透透镜镜 L2 的的存存在在，使使得得每每个个单单缝缝的的衍衍射射条条纹纹位位置置与与缝缝位位置置无无关关，即即缝缝垂垂直直于于光光轴
2、轴方方向向平平移移时时，其其衍衍射条纹的位置不变。射条纹的位置不变。 所所以以，利利用用平平行行光光照照射射多多缝缝时时，每每一一个个单单缝缝都都要要产产生生自自己己的的衍衍射射，形形成成各各自自的的一一套套衍衍射射条条纹纹。当当每每个个单单缝缝等等宽宽时时，各各套套衍衍射射条条纹纹在在透透镜镜焦焦平平面面上上完完全全重重叠叠，其其总总光强分布为它们的干涉叠加。光强分布为它们的干涉叠加。2. 多缝衍射的光强分布多缝衍射的光强分布 假假设设 S 是是线线光光源源，N 个个狭狭缝缝受受到到平平面面光光波波的的垂垂直直照照射射。取取最最下下面面的的狭狭缝缝中中心心为为 x1 的的坐坐标标原原点点，只
3、只计计 x 方方向向的的衍衍射射，则则根根据据基基尔尔霍霍夫夫衍衍射射积积分分方方程程，可可求求得得观观察察屏屏上上任任意意 P 点点的光场复振幅为：的光场复振幅为： 表示沿表示沿 x1 方向间距为方向间距为 d 的两相邻狭缝，在的两相邻狭缝，在 P点产生光场的相点产生光场的相位差。位差。P 点的光强：点的光强：式中，式中， 是单缝衍射情况下是单缝衍射情况下 P0 点的光强。点的光强。 可可见见平平行行光光照照射射多多缝缝时时，每每个个狭狭缝缝都都将将在在 P 点点产产生生衍衍射射场场。由由于于这这些些光光场场来来自自同同一一光光源源，彼彼此此相相干干，使使观观察察屏屏上上的的光光强强度度重重
4、新新分分布布。因因此此，多多缝缝衍衍射射现现象象包包含含衍衍射射和和干干涉双重效应。涉双重效应。 N 个个狭狭缝缝的的衍衍射射光光强强关关系系式式中中包包含含有有两两个个因因子子：单单缝缝衍衍 射射 因因 子子 (sin / )2 和和 多多 光光 束束 干干 涉涉 因因 子子sin(N /2)/sin( /2)2 。 即即多多缝缝衍衍射射图图样样具具有有等等振振幅幅、等等相相位位差差的的多多光光束束干干涉涉和和单单缝缝衍衍射射的的特特征征。因因此此从从这这个个意意义义上上讲讲，多多缝缝衍衍射射实实质质上是一种受单狭缝衍射现象调制的多光束干涉现象。上是一种受单狭缝衍射现象调制的多光束干涉现象。
5、 为为简简单单起起见见，以以双双缝缝衍衍射射情情况况为为例例。此此时时，N=2，P 点点的光强分布：的光强分布：显然，因子显然，因子 sin /sin( /2)2 是等振幅是等振幅双双光束干涉因子。光束干涉因子。 可见，双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射可见，双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射的共同作用；也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射调制。的共同作用；也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射调制。 需要指出的是：需要指出的是：单缝衍射因子只与单缝本身性质有关单缝衍射因子只与单缝本身性质有关；多光束干涉因子则来源于狭缝的周期性排列、与单缝本身多光束干涉因子则来源于狭缝的
6、周期性排列、与单缝本身的性质无关的性质无关。 因此，如果有因此，如果有N个性质相同，但形状与上述狭缝有异个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排列，则在其衍射强度分布公式中，仍将有上的孔径周期排列，则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即可得到这种周期性因子求出来，乘以多光束干涉因子，即可得到这种周期性孔径衍射的光强度分布公式。孔径衍射的光强度分布公式。夫朗和费单缝、双缝和多缝衍射图样照片夫朗和费单缝、双缝和多缝衍射图样照片(a)单缝单缝(b)双缝双缝(c) 3缝
7、缝(d) 5缝缝(e) 6缝缝(f) 20缝缝3. 多缝衍射图样的基本特征多缝衍射图样的基本特征(1) 多缝衍射强度的极值多缝衍射强度的极值(2) 多缝衍射主极大角宽度多缝衍射主极大角宽度(3) 缺级现象缺级现象(1) 多缝衍射强度的极值多缝衍射强度的极值 多缝衍射主极大多缝衍射主极大 当当 =2m ( m=0, 1, 2, ) 或或 dsin =m 时，时，多光束干涉因子为主极大值，称此时的多缝衍射为主极大。多光束干涉因子为主极大值，称此时的多缝衍射为主极大。 它它们们是是单单缝缝衍衍射射在在各各级级主主极极大大位位置置上上所所产产生生强强度度的的 N2 倍倍，其中，零级主极大的强度最大、等
8、于其中，零级主极大的强度最大、等于 N2 I。所以多缝衍射主极大强度：所以多缝衍射主极大强度：由于由于 多缝衍射极小多缝衍射极小当当 N /2 等于等于 的整数倍、而的整数倍、而 /2不是不是 的整数倍，即：的整数倍，即：m=0, 1, 2, ; m=1,2,N1 或者或者多缝衍射强度最小、并且等于零。多缝衍射强度最小、并且等于零。 在在两两个个主主极极大大之之间间，有有(N 1)个个极极小小。相相邻邻两两个个极极小之间小之间 ( m =1) 的角距离的角距离 ： 多缝衍射次极大多缝衍射次极大 在在相相邻邻两两个个主主极极大大之之间间，有有(N-1)极极小小值值，所所以以在在两两个个主主极极大
9、大之之间间，应应有有(N-2)个个次次极极大大。次次极极大大的的位位置置可可通通过过求求极极值值确定，近似由下式求得。确定，近似由下式求得。例如，在例如，在m=0 和和 m=1 级主极大之间，次极大位置出现在级主极大之间，次极大位置出现在共共(N-2)个个在在 N /2 3 /2 时，衍射强度时，衍射强度为：为： 即即最最靠靠近近零零级级主主极极大大的的次次极极大大强强度度，只只有有零零级级主主极极大的大的4.5%。 此此外外，次次极极大大的的宽宽度度随随着着 N 的的增增大大而而减减小小。N 很很大大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样
10、的背景。(2) 多缝衍射主极大角宽度多缝衍射主极大角宽度 多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是 ，主，主极大的条纹角宽度为：极大的条纹角宽度为：该式表明：缝数该式表明：缝数 N 愈大，主极大的角宽度愈小。愈大，主极大的角宽度愈小。(3) 缺级现象缺级现象 对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有sin / = 0，即相应衍射角即相应衍射角 同时满足：同时满足：d sin = m m = 0, 1, 2, a sin = n n = 1, 2, 则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。则该级主极大将消失，多缝衍
11、射强度变为零，成为缺级。 随着狭缝数目的增加，多缝衍射图样的变化：随着狭缝数目的增加，多缝衍射图样的变化： 光能量向主极大位置集中光能量向主极大位置集中(为单缝衍射的为单缝衍射的N2倍倍)； 亮亮条条纹纹变变得得更更加加细细而而亮亮(约约为为双双光光束束干干涉涉线线宽宽的的 1/N )。若若N=104 ，主主极极大大光光强强将将增增大大108 倍倍，条条纹纹宽宽度度缩缩为为万万分分之之一一。 随随着着光光波波长长的的增增加加，多多缝缝衍衍射射图图样样的的变变化化：同同一一级级次次的的主主极极大大方方向向(衍衍射射角角 )，将将随随着着波波长长的的增增加加而而增增大大，并并且且，当衍射角当衍射角
12、 不大时，这种变化近于线性关系。不大时，这种变化近于线性关系。巴俾涅原理巴俾涅原理 若若两两个个衍衍射射屏屏1和和2中中，一一个个屏屏的的开开孔孔部部分分正正好好与与另另一一个屏的不透明部分对应，这样一对衍射屏称为互补屏。个屏的不透明部分对应，这样一对衍射屏称为互补屏。设设 分分别别表表示示1和和2单单独独放放在在光光源源和和观观察察屏屏之之间间时时，观观察察屏屏上上 P 点点的的光光场场复复振振幅幅， 表表示示无无衍衍射射屏屏时时P点点的的光光场场复复振振幅幅。根根据据惠惠更更斯斯菲菲涅涅耳耳原原理理： 可可表表示示成成对对1和和2开开孔孔部部分分的的积积分分。而而两两个个屏屏的的开开孔孔部
13、部分分加加起起来就相当于屏不存在，因此，来就相当于屏不存在，因此，说说明明，两两个个互互补补屏屏在在衍衍射射场场中中某某点点单单独独产产生生的的光光场场复复振振幅幅之之和和等等于于无无衍衍射射屏屏、光光波波自自由由传传播播时时在在该该点点产产生生的的光光场场复复振幅振幅 巴俾涅原理巴俾涅原理。 由巴俾涅原理可得到如下两个结论：由巴俾涅原理可得到如下两个结论： 若若 ，则，则 。这这就就意意味味着着在在 的那些点，的那些点， 和和 的的相相位位差差为为 ，而而光光强度强度 和和相相等等。这这就就是是说说，两两个个互互补补屏屏不不存存在在时时光光场场为为零零的的那那些些点点，互互补补屏屏产产生生完
14、完全全相相同的光强度分布。同的光强度分布。 若若 ，则，则 。因因此此，放放置置一一个个屏屏时时，相相应应于于光光场场为为零零的的那那些些点点，在在换换上上它它的的互互补补屏屏时时，光光场场与与没没有屏时一样；有屏时一样； 例如，窄带衍射的暗条纹间距公式为：例如，窄带衍射的暗条纹间距公式为： 在在窄窄带带( (细细丝丝) )衍衍射射的的实实验验中中，如如果果测测出出了了衍衍射射暗暗条条纹纹的的间间距距 e ，就就可可以以计计算算出出窄窄带带( (细细丝丝) )的的宽宽度度( (直直径径) )。激激光光细细丝丝测测径径仪仪，就就是是利利用用这这个个原原理理测测量量细细丝丝( (例例如如金金属属或或纤纤维维丝丝) )直径的。直径的。作作 业业15，16，19，26
