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1、学习必备欢迎下载第 2 讲分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1过双曲线x2a2y2b21 上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R,Q 两点,则 PR PQ的值为()Aa2B.b2C2abD.a2b2解析当直线 PQ 与 x 轴重合时, |PR|PQ|a,故选 A. 答案A 2设函数 f(x)log2x x0 ,log12x x0 ,若 f(a)f(a),则实数 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1) B.(, 1)(1, ) C(1,0)(1, ) D.(, 1)(0,1) 解析若 a0,则 log2alog12a,即 2log2a0,所以 a1;若 a0,则log12(a
2、)log2(a),即 2log2(a)0,所以 0a1,1a0.所以实数 a 的取值范围是 a1 或1a0,即 a (1,0) (1,)答案C 3若不等式 (a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立,则 a 的取值范围是()A(, 2 B.2,2 C(2,2 D.(, 2) 解析当 a20 即 a2 时, 不等式为 40 恒成立, 所以 a2; 当 a20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载时,则 a 满足a20, 0,解得 2a2,所以 a 的范围是 (2,2答案C 4在ABC中,|AB|3,
3、|AC|4,|BC|5.点 D 是边 BC 上的动点, ADxAByAC,当 xy 取最大值时, |AD|的值为()A4 B.3 C.52D.125解析 |AB|3,|AC|4,|BC|5, ABC 为直角三角形如图建立平面直角坐标系,A(0,0),B(3,0),C(0,4),设 D(a,b),由ADxAByAC,得a3x,b4y, xyab12. 又 D 在直线 lBC:x3y41 上,a3b41,则a3b42ab12. ab1214,即 xy14,此时 a32,b2,|AD|3222252. 答案C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
4、第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载二、填空题5若数列 an 的前 n 项和 Sn3n1,则它的通项公式an_. 解析当 n2 时,anSnSn13n1(3n11)23n1;当 n1 时,a1S12,也满足式子 an23n1,数列 an 的通项公式为 an23n1. 答案23n16.(2014 盐城调研 )如图,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为 1,E,F 分别为线段AA1,B1C 上的点,则三棱锥D1EDF 的体积为 _解析, DED1的面积为正方形AA1D1D 面积的一半,三棱锥 FDED1的高即为正方体的棱长,所以1312DD1ADAB16. 答案167方程 sin2xcos xk
5、0 有解,则 k的取值范围是 _解析求 ksin2xcos x 的值域kcos2xcos x1(cos x12)254. 当 cos x12时,kmin54,当 cosx1 时,kmax1,54k1. 答案54,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下载8设正实数 x,y,z 满足 x23xy4y2z0,则当xyz取得最大值时,2x1y2z的最大值为 _解析由已知得 zx23xy4y2(*) 则xyzxyx23xy4y21xy4yx31,当且仅当 x2y 时取等号,把 x2y 代入(*)式,得 z2y2,所
6、以2x1y2z1y1y1y21y1211. 答案1 三、解答题9已知函数 f(x)2asin2x2 3asin xcos xab(a0)的定义域是0,2,值域是5,1,求常数 a,b 的值解f(x)2a12(1cos 2x)3asin 2xab2a12cos 2x32sin 2x 2ab2asin 2x62ab,又0x2,62x676 ,12sin 2x61. 因此,由 f(x)的值域为 5,1 可得a0,2a 122ab1,2a12ab5,或a0,2a 122ab5,2a12ab1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7
7、页学习必备欢迎下载解得a2,b5或a2,b1.10已知函数 f(x)ln(1x)x1x. (1)求 f(x)的极小值;(2)若 a,b0,求证: ln aln b1ba. (1)解f (x)11x1xx1x2x1x2(x1)令 f(x)0,得 x0. 列表如下x (1,0)0(0, ) f (x)0f(x)极小值由上表可知, x0 时 f(x)取得极小值 f(0)0. (2)证明在 x0 时,f(x)取得极小值,而且是最小值,于是f(x)f(0)0,从而 ln(1x)x1x在 x1 时恒成立,令 1xab0,则x1x11x11ba,ln aln blnab1ba. 因此 ln aln blna
8、b1ba在 a0,b0 时成立ln aln b1ba. 11设 F1,F2分别是椭圆 Dx2a2y2b21(ab0)的左、右焦点,过 F2作倾斜角为3的直线交椭圆 D 于 A,B 两点,F1到直线 AB 的距离为 3,连接椭圆 D 的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆 D 的方程(2)作直线 l 与椭圆 D 交于不同的两点 P,Q,其中 P 点的坐标为 (a,0),若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习必备欢迎下载点 N(0, t)是线段 PQ 垂直平分线上的一点, 且满足 NP NQ4, 求实数 t 的值
9、解(1)设 F1,F2的坐标分别为 (c,0),(c,0),其中 c0,由题意得 AB 的方程为: y3(xc)因 F1到直线 AB 的距离为 3,所以有|3c3c|313. 解得 c3. 所以有 a2b2c23. 由题意知:122a2b4,即 ab2. 联立解得: a2,b1. 所求椭圆 D 的方程为x24y21. (2)由(1)知:P(2,0),设 Q(x1,y1),当直线 l 的斜率不存在时, 由已知显然不合要求 当直线 l 的斜率存在时, 设直线斜率为 k,则直线 l 的方程为 yk(x2),把它代入椭圆 D 的方程,消去y,整理得:(14k2)x216k2x(16k24)0. 由根与
10、系数的关系得 2x116k214k2,则 x128k214k2,y1k(x12)4k14k2,所以线段 PQ 的中点坐标为8k214k2,2k14k2. ()当 k0 时,则有 Q(2,0),线段 PQ 垂直平分线为 y轴,于是NP(2,t),NQ(2,t),由NP NQ4t24,解得: t 2 2. ()当 k0 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为; y2k14k21kx8k214k2,因为点 N(0,t)是线段 PQ 垂直平分线上的一点,令x0,得: t6k14k2,于是NP(2,t),NQ(x1,y1t),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习必备欢迎下载由NP NQ2x1t(y1t)4 16k415k2114k2 24,解得: k147,代入 t6k14k2,解得: t2 145. 综上,满足条件的实数t 的值为 2 2或2 145. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页