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1、精品资料欢迎下载第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(x)f(x),那么函数f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有 f(x) f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数 yf(x),如果存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(xT) f(x),那么就称函数yf(x)为周期函数,称T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期课前检测
2、1下列函数为偶函数的是() Aysin xByx3CyexD yln x21 解析: 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3也为奇函数 指数函数yex为非奇非偶函数令 f(x)ln x21,得 f(x)ln x21ln x21f(x)所以 ylnx21为偶函数2已知 f(x) ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数,那么ab 的值是 () A13B.13C.12D12解析: 选 B f(x)ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数,a12a 0, a13.又 f(x)f(x),b0, ab13. 3已知定义在R 上的奇函数f(x),满足 f(x4)f(
3、x),则 f(8)的值为 () A 1 B0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精品资料欢迎下载C1 D2 解析: 选 B f(x)为奇函数且f(x4) f(x),f(0)0,T4. f(8)f(0)0. 4若函数f(x)x2|xa|为偶函数,则实数a_. 解析: 法一: f(x)f(x)对于 x R 恒成立,|xa|xa|对于 x R 恒成立,两边平方整理得ax0,对于 x R 恒成立,故a 0. 法二: 由 f(1)f(1),得|a1| |a 1|,故 a0. 答案: 0 5设函数f(x)x3cos x1.若
4、f(a)11,则 f(a)_. 解析: 观察可知, yx3cos x 为奇函数,且f(a)a3cos a111,故 a3cos a10.则 f(a) a3cos a1 101 9. 答案: 9 1.奇、偶函数的有关性质:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反之亦然;(3)若奇函数f(x)在 x0 处有定义,则f(0) 0;(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同; 利用偶函数的图象关于y 轴对称可知, 偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x
5、),由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期;应注意 nT(nZ 且 n0)也是函数的周期一、函数奇偶性的判断例 1设 Q 为有理数集,函数f(x)1,xQ,1,x?RQ,g(x)ex1ex1,则函数h(x)f(x) g(x)() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精品资料欢迎下载A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 x Q 时, x Q, f(x)f(x)1;当 x ?RQ 时, x ?RQ, f(x)f(x) 1.综上,对任意x R,都有 f
6、(x)f(x),故函数 f(x)为偶函数g(x)ex1ex11ex1exex11ex g(x), 函数g(x)为奇函数 h(x)f(x) g(x)f(x) g(x) f(x)g(x) h(x),函数 h(x)f(x)g(x)是奇函数 h(1) f(1) g(1)e1e1,h(1)f(1) g( 1)1e11e111e1e,h(1)h(1),函数 h(x)不是偶函数答案 A 由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;(2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f(x) f(x)或 f( x) f(x)是否对定义域内的每一
7、个x 恒成立 (恒成立要给予证明,否则要举出反例)注意 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与 f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2x21;(2)f(x) 3x3x;(3)f(x)4x2|x 3| 3;(4)f(x)x22,x0,0,x0,x2 2,x0 时, f(x) ( x)22 (x22) f(x);当 x0 的解集为() A(2,0)(2, )B(, 2)(0,2) C(, 2) (2, ) D(2,0)(0,2) 自主解答 (1) yf(x)x2是奇函数,且x1 时, y2,当x 1 时, y 2
8、,即f(1)(1)2 2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精品资料欢迎下载得 f(1) 3,所以 g( 1) f(1) 2 1. (2) f(x)为偶函数,f x f xx2f xx0. xf(x)0. x0,f x 0或x0,f x 0.又 f(2)f(2)0,f(x)在(0, )上为减函数,故 x (0,2)或 x ( , 2)答案 (1)1(2)B 本例 (2)的条件不变, 若 n2 且 nN*,试比较 f(n),f(1n),f(n1),f(n1)的大小解: f(x)为偶函数,所以f(n)f(n),f(1n
9、)f(n 1)又函数 y f(x)在(0, )为减函数,且0n1nn1, f(n 1)f(n)f(n1) f(n 1)f(n)0为奇函数,则a b_. (2)已知定义在R 上的奇函数满足f(x)x22x(x0),若 f(3a2)f(2a),则实数a 的取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精品资料欢迎下载值范围是 _解析: (1)当 x0,所以f(x)x2x, f(x)ax2bx,而 f(x) f(x),即 x2 xax2bx,所以 a 1,b1,故 ab0. (2)因为 f(x)x22x 在0,)上是增函数, 又因
10、为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以函数f(x)是 R 上的增函数,要使f(3a2)f(2a),只需 3a22a,解得 3a1. 答案: (1)0(2)(3,1) 三、函数的周期性及其应用例 3设函数 f(x)是定义在R 上的周期为2 的偶函数, 当 x0,1时,f(x)x1,则 f32_. 自主解答 依题意得, f(2x)f(x),f(x)f(x),则 f32f 12f1212132. 答案 32由题悟法1周期性常用的结论:对 f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若 f(xa) f(x),则 T2a;(2)若 f(xa)1f x,则 T2a;(3)若 f(xa)1f x,则 T2a.
11、2周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用以题试法3设 f(x)是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2) f(x)当 x0,2时, f(x)2xx2. (1)求证: f(x)是周期函数;(2)当 x2,4时,求 f(x)的解析式解: (1)证明:f(x2) f(x), f(x 4) f(x2)f(x) f(x)是周期为4 的周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精品资料欢迎下载(2) x 2,4,x 4, 2, 4x 0,2, f(4 x)2(4x)(
12、4 x)2 x26x8. 又 f(4x)f(x) f(x), f(x) x26x 8,即 f(x)x26x8,x 2,4课堂练习1下列函数中,既是奇函数又是减函数的是() Ay x3Bysin xCyxDy12x答案: A 2设 f(x)是周期为2 的奇函数,当0x 1 时, f(x) 2x(1x),则 f52() A12B14C.14D.12解析: 选 A由题意得f 52 f52 f522 f12212 11212. 3已知函数f(x)x|x| 2x,则下列结论正确的是() Af(x)是偶函数,递增区间是(0, ) Bf(x)是偶函数,递减区间是(, 1) Cf(x)是奇函数,递减区间是(1
13、,1) Df(x)是奇函数,递增区间是(, 0) 解 析 : 选C将 函 数f(x) x|x| 2x 去 掉 绝 对 值 得f(x) x22x,x0,x22x,x0,x2x,x 0,则 f(x),h(x)的奇偶性依次为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精品资料欢迎下载A偶函数,奇函数B奇函数,偶函数C偶函数,偶函数D奇函数,奇函数解析: 选 Df(x)|xa|xa|xa|xa| f(x),故 f(x)为奇函数画出 h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当x0 时,x0,则 h(x)x2x (x2x) h(x
14、),当 x0,则 h(x) x2x (x2x) h(x)x0 时, h(0)0,故 h(x)为奇函数5已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数,当x0 时, f(x)2x2xm(m 为常数 ),则f(1)的值为 () A 3 B 1 C1 D 3 解析: 选 A函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,则 f(0)0,即 f(0)20m0,解得 m 1. 则 f(x)2x2x1,f(1)212113, f(1) f(1) 3. 6若函数f(x)x2x1 xa为奇函数,则a() A.12B.23C.34D1 解析: 选 A f(x)x2x1 xa是奇函数, f(1) f(1),12 1 1a121
15、1a, a13(1a),解得 a12. 7已知 f(x)是偶函数,当x0 时, f(x)_. 解析: x0, x0 时, f(x)x2x. 答案: x2x8.定义在 2,2上的奇函数f(x)在(0,2上的图象如图所示,则不等式f(x)x 的解集为 _解析:依题意,画出y f(x)与 yx 的图象,如图所示,注意到yf(x)的图象与直线yx 的交点坐标是23,23和 23,23,结合图象可知,f(x)x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精品资料欢迎下载的解集为2,23 0,23. 答案:2,23 0,239已知函数f
16、(x)是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为3,且 x32,0 时, f(x)log2(3x1),则 f(2 011)_. 解析: f(2 011)f(36701) f(1) f( 1) log2(31) 2. 答案: 2 10已知函数f(x)x2ax(x0,常数 aR)(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若 f(1)2,试判断f(x)在2, )上的单调性解: (1)当 a0 时, f(x)x2,f(x)f(x),函数是偶函数当 a0 时, f(x)x2ax(x0,常数 a R),取 x 1,得 f(1)f(1)20;f(1)f(1) 2a0,即 f(1)f(1),f(1)f(1)
17、故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若 f(1)2,即 1a2,解得 a1,这时 f(x)x21x. 任取 x1,x2 2, ),且 x1x2,则 f(x1)f(x2) x211x1 x221x2(x1x2)(x1x2)x2x1x1x2(x1x2) x1x21x1x2. 由于 x12,x22,且 x1x2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精品资料欢迎下载故 x1x21x1x2,所以 f(x1)0,0,x0,x2mx, x0是奇函数(1)求实数 m 的值;(2)若函数 f(x)在区间 1,a 2上单调递
18、增,求实数a 的取值范围解: (1)设 x0,所以 f(x) (x)22(x) x2 2x. 又 f(x)为奇函数,所以f(x) f(x),于是 x1,a21,所以 1a 3,故实数a 的取值范围是(1,312已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线x1 对称(1)求证: f(x)是周期为4 的周期函数;(2)若 f(x)x(0x1),求 x5, 4时,函数f(x)的解析式解: (1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x1 对称,得f(x1)f(1 x),即有 f(x)f(x2)又函数 f(x)是定义在R 上的奇函数,故有 f(x) f(x)故 f(x2) f(x)从而 f(
19、x 4) f(x2)f(x),即 f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数 f(x)是定义在R 上的奇函数,有f(0)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精品资料欢迎下载x 1,0)时, x (0,1,f(x) f(x)x,又 f(0)0,故 x 1,0时,f(x) x. x 5, 4,x4 1,0,f(x)f(x4)x4. 从而, x 5, 4时,函数 f(x)x4. 课后练习1 设 f(x)是奇函数, 且在 (0,)内是增函数, 又 f(3)0, 则 x f(x)0 的解集是 () Ax|3x3 B x|
20、x3,或 0x3 C x|x3 Dx|3x0,或 0x3 解析: 选 D由 x f(x)0,得x0或x0,f x 0,而 f(3)0,f(3)0,即xf 3或x0,f x f 3 ,所以 x f(x)0 的解集是 x|3x0,或 0x3 2 设f(x) 是 定 义 在R上 且 周 期 为2的 函 数 , 在 区 间 1,1 上 , f(x) ax1, 1x0,bx2x1,0x1,其中 a,bR.若 f12f32,则 a3b 的值为 _解析: 因为 f(x)是定义在R 上且周期为2 的函数,所以f32f 12,且 f(1)f(1),故 f12f 12,从而12b 212112a1,3a2b 2.
21、由 f(1)f(1),得 a1b22,故 b 2a.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精品资料欢迎下载由得 a2,b 4,从而 a3b 10. 答案: 10 3 已知函数 f(x)的定义域是 (0, ), 且满足 f(xy)f(x)f(y), f121, 如果对于0xf(y),(1)求 f(1);(2)解不等式f(x)f(3x) 2. 解: (1)令 xy1,则 f(1)f(1)f(1), f(1)0. (2)f(x)f(3x)2f12,f(x)f12f(3x)f120f(1), f x2f3x2f(1),fx2
22、3x2f(1),则x0,3x0,x23x2 1,解得 1xg(0)g(1)答案: f(1)g(0)g(1) 2关于 y f(x),给出下列五个命题:若 f(1x)f(1x),则 yf(x)是周期函数;若 f(1 x) f(1x),则 yf(x)为奇函数;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精品资料欢迎下载若函数 yf(x1)的图象关于x1 对称,则yf(x)为偶函数;函数 yf(1x)与函数 yf(1x)的图象关于直线x1 对称;若 f(1 x) f(1x),则 yf(x)的图象关于点(1,0)对称填写所有正确命题
23、的序号_解析: 由 f(1x)f(1x)可知,函数周期为2,正确;由f(1x) f(1 x)可知,yf(x)的对称中心为 (1,0),错; yf(x1)向左平移1 个单位得yf(x),故 yf(x)关于 y轴对称,正确;两个函数对称时,令1x1x 得 x0,故应关于y 轴对称,错;由f(1x)f(1x)得 yf(x)关于 x1 对称,错,故正确的应是. 答案: 3 已知 f(x)是偶函数, 且 f(x)在0, )上是增函数, 如果 f(ax1)f(x2)在 x12, 1上恒成立,求实数a 的取值范围解: 由于 f(x)为偶函数,且在0, )上为增函数,则在(,0上为减函数,由f(ax1)f(x2),则 |ax 1| |x2|,又 x12,1 ,故 |x2|2x,即 x2ax 12x.故 x3ax1x,13xa1x1,在12,1 上恒成立由于1x1min 0, 13xmax 2,故 2a 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页