《2022年重庆八中二次函数与平行四边形总汇》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年重庆八中二次函数与平行四边形总汇（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载二次函数与平行四边形已知抛物线y=x2-2x-3 经过 A、B、C 三点，点P（1，k）在直线BC：y=x-3 上，若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以点A、M、 N、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标解：令 y=0，则 x2-2x-3=0，解得 x1=-1， x2=3，所以， A（-1，0） ，B（3，0） ，点 P（1，k）在 y=x-3 上， k=1-3=-2，点 P（1， -2） ，设点 M 的坐标为（ a， 0） ，若点 N 在点 M 的右边，则N（a+2，-2） ，代入抛物线得， （a+2）2-2（a+2）-3=-2，a1=-1-
2、2，a2=-1+2，此时，点M1（-1-2，0） ，M2（-1+2，0） ，若点 N 在点 M 的左边，则点N（a-2， 2） ，代入抛物线得， （a-2）2-2（a-2） -3=2，a1=3-6，a2=3+6，此时，点M3（3-6，0） ，M4（3-6，0） ，综上所述，存在点M1（-1-2，0） ，M2（-1+2，0） ，M3（3-6，0） ，M4（3-6，0） ，使以点 A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形（2014 春?海曙区校级期中）如图，直线y=-x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线经过 A、B、 C 三点点C 的坐标为（ 1，0） （1）求抛物线的解析式；（
3、2）请直接写出一点D 的坐标，使以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页精品资料欢迎下载解： （1）令 y=-x+3 中的 x=0，得 y=3，B 点的坐标为（ 0，3） ，令 y=-x+3 中的 y=0，得 x=3，A 点的坐标为（ 3，0） ，设过 A（3， 0） 、B（0，3） 、C（1，0）三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c ，将 A、B、 C 三点代入上式得：9a+3b+c0，c3， a+b+c 0，解得： a1，b- 4，c3过 A、B、C 三点的抛物线解
4、析式为：y=x2-4x+3（2）以 AB 为对角线，构造平行四边形ACBD ，四边形 ACBD 是平行四边形，AC BD 且 AC=BD=2 ，D（2，3） ，以 BC 为对角线，构造平行四边形CABD ，四边形 CABD 是平行四边形，AC BD 且 AC=BD =2，D（ -2， 3） ，以 AC 为对角线，构造平行四边形ABCD ，BCAD 且 BC=AD ，在 COB 与 AED 中，BOC AED ， BCO EAD ， BCAD ， COB AED （ AAS）AE=OC=1 ， ED=BO=3 ，OE=4，D（ 4，-3） ，以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形的D 点
5、有 3 个：D（2，3） ，D（ -2， 3） ，D（ 4，-3） 如图，已知抛物线y=ax2+x+c （a 0）与 x 轴交点 A（-2，0） ，点 B（6，0） ，与 y 轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一动点，求BCD 面积的最大值；（3）已知点E（4， 3） ，且直线AE 交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P， x 轴上有一动点Q，是否存在以A，M， P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
6、 页，共 20 页精品资料欢迎下载解： （1）将 A（-2，0） ，B（6，0）代入抛物线解析式可得：4a-2+c 0，36a+6+c0，解得： a-41，c3，抛物线的解析式为y=-41x2+x+3；（2）设点 D 的坐标为（ m，n） ，则 n=-41m2+m+3，过点 D 作 DN AB 于点 N，则有： SBCCD=S梯形ONDC+SBND-SBOC=21（3+n）m+21（6-m）n-2163=23m+3n-9 =23m+3（-41m2+m+3）-9=-43m2+29m=-43（m-3）2+427，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 3 页，共 20 页精品资料欢迎下载-430，当 m=3 时， BCD 的面积最大，最大值是427；（3）存在设直线AE 的解析式为y=kx+b ，A（-2，0） ，E（4，3） ， - 2k+b 0，4k+b3，解得 k21，b1， y=21x+1，抛物线y=-41x2+x+3 的对称轴是x=-)41(21=2，当 x=2 时， y=212+1=2， M（2，2） 如图 1、图 2，当 MPAQ 且 MP=AQ 时，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形MPAQ ， P 与 M 的纵坐标相等，都是2将 y=2 代入 y=-41x2+x+3 ，整理得 -41x2+x+1=0 ，
8、解得 x=222，P 点坐标为（ 222， 2） ，M（ 2，2） ， MP=22， AQ=MP=22当 Q 在 A 右侧时， 如图 1，Q1（22-2，0） ，当 Q 在 A 左侧时， 如图 2，Q2（-22-2，0） ；如图 3，当 AM PQ 且 AM=PQ 时，以 A，M， P，Q 为顶点的四边形为平行四边形AQ 与 PM 互相平分，M，P的纵坐标互为相反数，M（ 2，2） ， P 的纵坐标为 -2将 y=-2 代入 y=-41x2+x+3， 整理得 -41x2+x+5=0 ， 解得 x=226P 点坐标为（226， -2） 当 P 在 y 轴右侧时，如图3，P（2+26，-2） A（
9、-2，0） ，M（2，2） ，将 A 先向右平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度可得M，AM PQ 且 AM=PQ ， 将 P 先向右平移4 个单位长度， 再向上平移2 个单位长度可得Q当 P 在 y 轴右侧时，如图3，P（2+26，-2） ，Q3（6+26，0） ；当 P 在 y 轴左侧时，如图4，P（2-26， -2） ，Q4（6-26，0） ；如图 5，以 AM 为对角线时，过M 作 x 轴的平行线交抛物线与P5、P6，则这两点的纵坐标是2，由知， P5（ 2-22，2） ，P6（2+22，2） ，AM 与 PQ 互相平分，AM 的中点与PQ 的中点重合A（-2，0） ，M（2，
10、2） ， AM 的中点坐标是（0，1） Q5（22-2，0） ，Q6（ -2-22，0） 综上所述，存在以A，M，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，此时点Q 的坐标是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页精品资料欢迎下载Q1（22-2， 0） ，Q2（-22-2，0） ，Q3（6+26，0） ，Q4（6-26，0） ，Q5（22-2，0） ， Q6（-2-22，0） （2014 秋?重庆校级月考）如图，抛物线y=ax2+bx+6 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，已知 A（-1，0） 、 B（3，0
11、） （1）求抛物线及直线BC 的解析式；（2）若 P为抛物线上位于直线BC 上方的一点，求PBC 面积 S 的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）直线 BC 与抛物线的对称轴交予点D，M 为抛物线上一动点，点N 在 x 轴上，若以点D、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M 的坐标解： （1）抛物线y=ax2+bx+6 与 x 轴交于 A，B 两点，-1， 3 是一元二次方程ax2+bx+6=0 的两个实数根，- 1+3ab，- 1 3a6，解得 a - 2，b 4 抛物线的方程为y=-2x2+4x+6，令 x=0，可得 yC=6 C（0，6） ，直线 BC 的方程为3
12、x+y66y=1，化为2x+y-6=0 （2）设过点P 的抛物线的与直线BC 平行的切线方程为2x+y+m=0 联立 2x+y+m 0， y- 2x2+4x+6，化为 2x2-6x-6-m=0 ，令 =36-8（ -6-m）=0，解得 m=-221 代入上述方程可得2x2-6x-6+221=0，化为（ 2x-3）2=0，解得 x=23， y=-223-（-221）=152215 P（23，215） 点 P 到直线 BC 的距离 h=1262152322=1059又|BC|=32+622263=35 PBC 面积 S 的最大值 =21|BC|h=21351059=427精选学习资料 - - -
13、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页精品资料欢迎下载（3）抛物线的对称轴x=1，代入直线BC 的方程可得y=4， D（1，4） 设 N（n，0） ，M（x， -2x2+4x+6） ，则AD=（ 2，4） ，MN=（n-x， 2x2-4x-6） 以点 DAMN 为顶点的四边形是平行四边形，AD=MN， 2n-x ，4 2x2-4x-6 ，解得 x 1+6，n3+6或 x1-6，n3-6 M（1+6，-4）或（1-6，-4） （2011?内江）如图，抛物线 y=31x2-mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点C （0 -1）
14、且对称轴 x=l （1）求出抛物线的解析式及A、B 两点的坐标；（2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC 的面积为3？若存在，求出点D 的坐标；若不存在说明理由（使用图1） ；（3）点 Q 在 y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2） 解： （1）抛物线与y 轴交于点C（0，-1） 且对称轴x=l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页精品资料欢迎下载312m1，n- 1，解得： m32，n- 1，抛物线解析式为y=31x2
15、-32x-1，令31x2-32x-1=0 ，得： x1=-1，x2=3， A（-1，0） ，B（3，0） ，（2）设在 x 轴下方的抛物线上存在D（ a，31a2-32a-1 ） （0a3）使四边形ABCD 的面积为 3作 DM x 轴于 M，则 S四边形ABDC=SAOC+S梯形OCDM+SBMD，S四边形ABDC=21|xAyC|+21（|yD|+|yC|）xM+21（xB-xM）|yD| =2111+21-（31a2-32a-1） +1a+21（3-a） -（31a2-32a-1） =-21a2+32a+2，由 -21a2+23a+2=3，解得： a1=1，a2=2，D 的纵坐标为：31
16、a2-32a-1=-34或-1，点 D 的坐标为（ 1，-34） ， （2，-1） ；（3）当 AB 为边时，只要PQ AB，且 PQ=AB=4 即可，又知点Q 在 y 轴上，所以点P的横坐标为 -4 或 4，当 x=-4 时， y=7；当 x=4 时， y=35；所以此时点P1 的坐标为（ -4，7） ，P2 的坐标为（ 4，35） ；当 AB 为对角线时， 只要线段PQ 与线段 AB 互相平分即可，线段 AB 中点为 G，PQ 必过G 点且与 y 轴交于 Q 点，过点P3作 x 轴的垂线交于点H，可证得 P3HG Q3OG， GO=GH ，线段 AB 的中点 G 的横坐标为1，此时点P 横
17、坐标为2，由此当 x=2 时， y=-1，这是有符合条件的点P3（2，-1） ，所以符合条件的点为：P1的坐标为（ -4，7） ，P2的坐标为（ 4，35） ；P3（2，-1） 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A（1， 0） ，B（-3，0）两点，与y 轴交于点C，抛物线的顶点为P，连接 AC （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得 DC 与 AC 垂直，且直线DC 与 x 轴交于点 Q，求直线 DC的解析式；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得 SMAP=2S ACP？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由3 （ 2011?衡阳）已知抛物线
18、y21x2-mx+2m-21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页精品资料欢迎下载（1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3 时，抛物线的顶点为点C，直线 y=x-1 与抛物线交于 A、B 两点，并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB 于点 M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？解： （1）该函数的判别
19、式=m2-4m+7= （m-2）2+3 3 该抛物线与x 轴总有两个不同的交点（2）由直线y=x-1 与抛物线交于A、B 两点，点 A（1， 0）代入二次函数式则m=3 故二次函数式为：y21x2- 3x+25当抛物线的对称轴为直线x=3 时，则 y=-2，即顶点 C 为（ 3，-2） ，把 x=3 代入直线y=x-1 则 y=2，即点 D（3， 2）则 AD=AC=22设点 P（x，21x2- 3x+25）由直线 AD 的斜率与直线PC 的斜率相等则32253212xxx1 解得： x=3 或 x=5 则点 P（3，-2） （与点 D 重合舍去）或（5， 0）经检验点（ 5，0）符合，所以点
20、 P（5， 0）设直线 AB 解析式为y=kx+b ，将 A（1，0） ，D（3，2）代入得直线AB ：y=x-1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页精品资料欢迎下载设 M（a， a-1） ，N（a，21a2-3a+52） ，当以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD ，即|（a-1）-（21a2-3a+52）|=4，解得 a=417或 3 或 5，故把直线 CD 向右平移1+17个单位或2 个单位，向左平移17-1 个单位，能使得以C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形4 （ 2013?碑
21、林区校级二模）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，一次函数y45x+m（m为常数）的图象与x 轴交于点 A（-3，0） ，与 y 轴交于点C以直线 x=1 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c （a，b， c 为常数， a0）经过 A、C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线 AC 的平行线交x 轴于点 F，是否存在这样的点 E，使得 A， C， E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1） y=45x+m 经过点（ -3， 0） ， 0=-
22、415+m，解得： m=415，直线解析式为：y=45x+415，C（0，415） ；（2）抛物线y=ax2+bx+c 对称轴为x=1，且与 x 轴交于 A（-3，0） ，另一交点为B（5，0） ，设抛物线解析式为y=a（x+3） （x-5） ，抛物线经过C（0，415） ，415=a?3（-5） ，解得 a=-41，抛物线解析式为y=-41x2+21x+415；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页精品资料欢迎下载（2）假设存在点E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，则 ACEF 且 AC=EF 如
23、答图1，（i）当点 E 在点 E 位置时，过点E 作 EGx 轴于点 G，AC EF， CAO= EFG，在 CAO 和 EFG 中， COA EGF， GFE CAO ，ACEF， CAO EFG（AAS ） ， EG=CO=415，即 yE=415，415=-41xE2+21xE+415，解得 xE=2（xE=0 与 C 点重合，舍去） ， E（2，415） ；（ii ）当点 E 在点 E位置时，过点E作 EG x 轴于点 G， -415=-41x2+21x+415，解得： x=131， （负数舍去） ，则 x=1+31，可得 E（31+1， -415） 5 （2011 秋 ?沙坪坝区校级
24、期中）如图，抛物线y=ax2+bx-1 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过（ -3，12a） ，对称轴是直线x=1（1）求抛物线对应的函数表达式；（2） 在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P， 使 POC 的面积和 PBC 的面积比为1： 5？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 在抛物线的对称轴上，点N 在抛物线上，要使以M、 N、 O、 B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点N 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页精品资料欢迎下载解： （1）
25、对称轴x=-ab2=1，将（ -3，12a）代入 y=ax2+bx-1 得， 12a=9a-3b-1，联立得： -ab21，12a9a-3b-1 ，解得： a13b- 23，抛物线对应的函数表达式为：y=31x2-31x-1；（2）如图 1，过点 P作 PEy 轴于点 E， 当 x=0 时，y=-1，则 C 的坐标为 （0， -1） ，即 CO=1，y=0 时， 0=31x2-31x-1； （x+1） （x-3）=0，解得： x1=-1，x2=3， A（-1，0） ， B（3，0） ，P 在直线 x=1 上， POC 的面积和 PBC 的面积比为1：5，SPOC=21COPE=211 1=21
26、，SPBC=25，连接 BC，交 x=1 于 D，SPBC =21PD BO，25=21DP3， PD=35，设 BC：y=k1x-1， 3k1-1=0， k1=31， y=31x-1，当 x=1 时， y=-32，则 D 点坐标为：（1，-32） ，PD=35，P 点可能在D 点上面， 此时 P 点坐标为 （1，1） ；也可能在D 点下面， 此时 P 点坐标为 （ 1，-37） ；存在 P，P 点坐标为（ 1， 1）或（ 1，-37） ；（3）如图2，若以 OB 为一边，设M（1，y0） ，则 N（x0，y0） ，又|MN|=|x0-1| ，|OB|=3，四边形MNOB 为平行四边形，|MN
27、|=|OB| ， |x0-1|=3， x0-1=3， x0=4 或 -2，N1（4，35） ， N2（-2，35） ；如图 3，若以 OB 为对角线，过点N 作 NFOB 于点 F，直线 x=1 交 OB 于点 E， OEM= BFN，平行四边形OMBN ，OM BN ，OM=BN ， MOE= NBF，即 MOE NBF ， NFB OEM ，MO BN ， OEM BFN （AAS ） ， OE=BF=1 ， OF=2，当 x=2 时， y=-1， N3（2，-1） 综上所述， N 点坐标为：（4，35）或（ -2，35）或（ 2，-1） 6 （2012?天台县校级模拟） 若抛物线y=ax
28、2+bx+c（ a0， 0）与 x 轴交与 A、B 两点（点A 在点 B 左边）与y 轴交于点C，我们称 ABC 为抛物线的“奠基三角形”（1）若抛物线的“奠基三角形”ABC 的三顶点坐标分别为A（1，0） 、B（5，0） 、C（ 0，5） ，求该抛物线的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页精品资料欢迎下载（2）在（1）的抛物线上是否存在一点P，使 PBC 与“奠基三角形” ABC 的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由（3）在（ 1）抛物线上是否存在一点P，在对称轴上是否存在一点D，使以
29、A，B，P，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解： （1） A（1，0） 、B（5，0） 、C（0， 5）在抛物线y=ax2+bx+c 上，设 y=a（x-1） （x-5） ， a（0-1） （0-5）=5，解得： a=1，y=（x-1） （x-5）=x2-6x+5 ，该抛物线的解析式为y=x2-6x+5 ；（2）过点 A 作直线 BC 的平行线l1，交抛物线于点P1，设直线 BC 的解析式为： y=kx+b ，B（5，0） 、C（0，5） ， 5k+b 0，b5，解得： k- 1，b5，直线 BC 的解析式为： y=-x+5 ，设直线l1的解析式为：
30、y=-x+m ，A（1，0） ， -1+m=0，解得： m=1，直线l1的解析式为： y=-x+1 ，直线l1与 y 轴的交点E（0，1） ， CE=OC-OE=5-1=4 ，联立直线l1的解析式与抛物线的解析式，可得：y- x+1， yx2- 6x+5，解得： x 4，y- 3 或 x1，y0（舍去）， P1（4，-3） ；同理：把直线BC 向上平移4 个单位，与y 轴交于点F，则直线l2的解析式为： y=-x+9 ，联立直线l2的解析式与抛物线的解析式，可得：y- x+9， yx2- 6x+5，解得： x2415，y24113或 x2415，y24113，P2（2415，24113）或 P
31、3（2415，24113） ；（3）如图，若PD AB，当 PD=AB=OB-OA=5-1=4时，以 A，B，P，D 为顶点的四边形是平行四边形，y=x2-6x+5=（x-3）2-4，此抛物线的对称轴为：直线x=3，P 的横坐标为：3+4=7 或 3-4=-1， P1（ 7，12） ，P2（-1， 12） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页精品资料欢迎下载当 P3（3， -4） ，D（3，4）时，以A，B，P，D 为顶点的四边形是平行四边形综上可得： P1（7，12） ，P2（-1，12） ，P3（3，-4）
32、7 （2014 秋 ?江都市期末） 如图， 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，且 A（-3，0） ，C（0，-3） ，对称轴为直线x=-1（1）求抛物线的函数关系式（2）若点 P 是抛物线上的一点（不与点C 重合） ， PAB 与 ABC 的面积相等，求点P 的坐标（2012?湘西州） 如图， 抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴交于点A（0，-3） ，与 x 轴交于 B、C 两点，且抛物线的对称轴方程为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）求 B、C 两点的坐标；（3）设点 P 为抛物线对称轴上第一象限内一点，若PBC 的面积为4，求点 P 的坐
33、标；（4）点 M 为抛物线上一动点，点N 为抛物线的对称轴上一动点，当M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形时（BC 为平行四边形的一条边），求此时点M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页精品资料欢迎下载解： （1）抛物线y=x2-2x+c 与 y 轴交于点A（0，-3） ， c=-3，抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2） y=x2-2x-3，当 y=0 时， x2-2x-3=0 ，解得 x=-1 或 x=3， B、C 两点的坐标分别为（-1，0） ， （3，0） ；（3）设点 P 的坐标为（ 1
34、，y） ，则 y 0B、C 两点的坐标分别为（-1，0） ， （3，0） ， BC=4 ，SPBC=21?BC ?y=2y=4 ， y=2，点 P 的坐标为（ 1，2） ；（4）当以 BC 为边时，如图，以 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=4 ，即 M1N=M2N=4， M1的横坐标为5，M2的横坐标为 -3，y=x2-2x-3，当 x=5 时， y=25-10-3=12 ；当 x=-3 时， y=9+6-3=12 ， M 点坐标为（ -3，12）或（ 5，12） （2014?潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（ a0）与 y 轴交于点C（0，4） ，与 x 轴交于
35、点A和点 B，其中点 A 的坐标为（ -2，0） ，抛物线的对称轴x=1 与抛物线交于点D，与直线BC交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为 17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于 DE 的一条动直线l 与直线 BC 相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页精品资料欢迎下载解： （1）抛物线y=ax2+bx
36、+c（ a0）过点 C（0，4） ， c=4 对称轴x=-ab2=1， b=-2a 抛物线过点A（-2， 0） ， 0=4a-2b+c ，由解得，a=-21，b=1，c=4，抛物线的解析式为y=-21x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H，FGy 轴于点 G设点 F 的坐标为（ t，-21t2+t+4） ，其中 0 t4，则 FH=-21t2+t+4，FG=t，SOBF=21OB?FH=214（ -21t2+t+4）=-t2+2t+8， SOFC=21OC?FG=214t=2t，S 四边形 ABFC=S AOC+SOBF+S
37、 OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12令-t2+4t+12=17 ，即 t2-4t+5=0 ，则 =（-4）2-45=-40，方程 t2-4t+5=0 无解，故不存在满足条件的点F；（3）设直线BC 的解析式为y=kx+n （k0） ，B（4，0） ，C（0，4） ， n4，4k+n0，解得 k - 1，n4，直线BC 的解析式为y=-x+4 由 y=-21x2+x+4=-12 （x-1）2+29，顶点 D（1，29） ，又点 E 在直线 BC 上，则点E（1，3） ，于是 DE=29-3=23若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为DEPQ，只须 DE=PQ ，
38、设点 P 的坐标是（ m， -m+4） ，则点 Q 的坐标是（ m，-21m2+m+4） 当 0 m 4 时， PQ=（-12m2+m+4 ）-（-m+4 ）=-21m2+2m，由-21m2+2m=23，解得： m=1 或 3当 m=1 时，线段PQ 与 DE 重合， m=1 舍去，m=3，P1（3，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页精品资料欢迎下载当 m0 或 m4 时， PQ=（-m+4）-（-12m2+m+4 ）=12m2-2m，由21m2-2m=23，解得 m=27，经检验适合题意，此时 P2（2+
39、7，2-7） ，P3（2-7，2+7） 综上所述，满足题意的点P有三个，分别是：P1（ 3，1） ， P2（2+7，2-7） ，P3（2-7，2+7） （2013?郑州模拟） 如图，抛物线 yax2+bx+25与直线 AB 交于点 A（-1，0） ，B （4，25） 点D 是抛物线A，B 两点间部分上的一个动点（不与点A，B 重合） ，直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB 于点 C，连接 AD ，BD（1）求抛物线的解析式；（2）设点 D 的横坐标为m， ADB 的面积为S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C 的坐标；（3）当点 D 为抛物线的顶点时，若点P是抛物线
40、上的动点，点Q 是直线 AB 上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页精品资料欢迎下载解： （1）抛物线yax2+bx+25与直线 AB 交于点 A（-1，0） ，B（4，52） 0a-b+25，2516a+4b+25， 解得， a-21，b2，抛物线的解析式是y=-21x2+2x+25（2）如图 1，过点 B 作 BFDE 于点 F点 A（-1，0） ，B（4，52） ，易求直线AB 的解析式为：y=21x+21又点
41、D 的横坐标为m，点 C 的坐标是（ m，21m+21） ，点 D 的纵坐标是（-21m2+2m+25）AE=m+1 ，BF=4-m ，CD=-21m2+23m+2， S=21CD? （AE+BF ）=12（ -21m2+23m+2）（ m+1+4-m）=-45（m-23） 2+4125（-1m4） 当 m=23时， S取最大值4125，此时 C（23，45） ；（3）假设存在这样的点P、Q 使以点 P，Q，C，D 为顶点的四边形为平行四边形点 D 是抛物线的顶点，D（2，29） ，C（2，23） 如图 2，当 PQDC， PQ=DC 时设 P（ x，-21x2+2x+25） ，则 Q（x，
42、12x+12） ， -21x2+2x+25-21x-21=3，解得， x=1 或 x=2（舍去）， Q（1，1） ；如图 3，当 CDPQ，且 CD=PQ 时设 P（ x，-21x2+2x+25） ，则 Q（x，21x+21） ，21x+21+21x2-2x-25=3，解得， x=5 或 x=-2， Q（5，3） 、Q（ -2，-21） ；如图 4，当 PCDQ，且 PC=DQ 时过点 P 作 PECD 于点 E，过点 Q 作 QFCD 于点 F则 PE=QF，DE=FC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页精品资
43、料欢迎下载设 P（ x，-21x2+2x+25） ，则 E（2，-21x2+2x+25） ，Q（4-x，25-21x） ，F（2，25-21x） ，由 DE=CF 得，29-（-21x2+2x+25）=25-21x-23，解得， x=1 或 x=2（舍去）， Q（3，2）综上所述，符合条件的点Q 的坐标有：（1，1） 、 （5，3） 、 （-2，-21） 、 （3， 2） （2014?营口模拟） 如图，直线 y=-x+3 与 x 轴交于点A， 与 y 轴交于点B， 抛物线 y=-x2+bx+c经过点 A、B（1）求抛物线的解析式；（2）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得 ABP 的面积
44、最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）点 M 在抛物线上，过点M 作 y 轴的平行线交直线AB 于点 N，是否存在以点M、N、O、B 为顶点的平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）直线 y=-x+3 ，当 y=0 时， x=3；当 x=0 时， y=3， A（ 3，0） 、 B（0，3） ，抛物线过A（3，0） 、B（0，3） ， - 9+3b+c0，c3 解得： b2c3，所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ；（2）假设存在点P（x，y）使得 ABP 的面积最大，连接 OP，则 SABP=S OPA+SOPB-SOAB=21OA?y+2
45、1OB?x-21OA ?OB =23y+23x-29=23（x-x2+2x+3）-29=-23（x2-3x）=-23（x-23）2+827当 x=23时，点 P（23，415）在第一象限，此时ABP 的面积最大，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页精品资料欢迎下载所求的点 P 的坐标为： P（23，415） （3）存在，设点M（x，y） ，所以 yM=-x2+2x+3 MN y 轴， yN=-x+3 ， MN=| （-x+3）-（-x2+2x+3）|=|x2-3x| 当 MN=BO=3 时，以 M、N、O、B 为顶
46、点的四边形是平行四边形，即|x2-3x|=3，解得： x=2213或 x=2213当 x=2213时， y=-2213，当 x=2213时， y=-2213，所以当 M（2213，-2213）或 M（2213， -2213）以 M、N、O、B 为顶点的四边形是平行四边形（2012?从化市一模） 如图（1） ，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx-3a 经过 A（-1，0） 、B（0，3）两点，与x 轴交于另一点C，顶点为D（1）求该抛物线的解析式及点C、D 的坐标；（2）经过点B、D 两点的直线与x 轴交于点E，若点 F 是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点
47、F 的坐标；（3）如图（ 2）P（2，3）是抛物线上的点，Q 是直线 AP 上方的抛物线上一动点，求APQ的最大面积和此时Q 点的坐标解： （1）抛物线y=ax2+bx-3a 经过 A（-1，0） 、B（0， 3）两点，有：a-b-3a 0，- 3a 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页精品资料欢迎下载解得 a - 1，b 2 抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 由 -x2+2x+3=0 ，解得： x1=-1， x2=3C（3， 0）由 y=-x2+2x+3=- （x-1）2+4D（1，4） （2）四边形A
48、EBF 是平行四边形，BF=AE 设直线 BD 的解析式为： y=kx+b ，则B（0，3） ，D（1，4） b3k+b4，解得k1b3直线 BD 的解析式为：y=x+3 ；当 y=0 时， x=-3E（-3，0） ， OE=3，A（-1，0） OA=1 ， AE=2， BF=2，F 的横坐标为2， y=3， F（2，3） （3）如图，设Q（a，-a2+2a+3） ，作 PS x 轴， QRx 轴于点 S、R，且 P（2， 3） ，AR=a+1 ， QR=-a2+2a+3，PS=3，RS=2-a， AS=3 SPQA=S 四边形 PSRQ+SQRA-S PSA =2QRPS RS+2QRAR-2ASPS=23232aa (2-a)+2)32)(1(2aaa-233SPQA=-23a2+23a+3=-23(a-12) 2+827当 a21时， SPQA 的最大面积为827，此时 Q(21，415)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
