《2022年重庆八中二次函数与平行四边形总汇》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年重庆八中二次函数与平行四边形总汇(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载二次函数与平行四边形已知抛物线y=x2-2x-3 经过 A、B、C 三点,点P(1,k)在直线BC:y=x-3 上,若点M 在x 轴上,点N 在抛物线上,是否存在以点A、M、 N、P 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M 的坐标解:令 y=0,则 x2-2x-3=0,解得 x1=-1, x2=3,所以, A(-1,0) ,B(3,0) ,点 P(1,k)在 y=x-3 上, k=1-3=-2,点 P(1, -2) ,设点 M 的坐标为( a, 0) ,若点 N 在点 M 的右边,则N(a+2,-2) ,代入抛物线得, (a+2)2-2(a+2)-3=-2,a1=-1-
2、2,a2=-1+2,此时,点M1(-1-2,0) ,M2(-1+2,0) ,若点 N 在点 M 的左边,则点N(a-2, 2) ,代入抛物线得, (a-2)2-2(a-2) -3=2,a1=3-6,a2=3+6,此时,点M3(3-6,0) ,M4(3-6,0) ,综上所述,存在点M1(-1-2,0) ,M2(-1+2,0) ,M3(3-6,0) ,M4(3-6,0) ,使以点 A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形(2014 春?海曙区校级期中)如图,直线y=-x+3 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,抛物线经过 A、B、 C 三点点C 的坐标为( 1,0) (1)求抛物线的解析式;(
3、2)请直接写出一点D 的坐标,使以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精品资料欢迎下载解: (1)令 y=-x+3 中的 x=0,得 y=3,B 点的坐标为( 0,3) ,令 y=-x+3 中的 y=0,得 x=3,A 点的坐标为( 3,0) ,设过 A(3, 0) 、B(0,3) 、C(1,0)三点的抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c ,将 A、B、 C 三点代入上式得:9a+3b+c0,c3, a+b+c 0,解得: a1,b- 4,c3过 A、B、C 三点的抛物线解
4、析式为:y=x2-4x+3(2)以 AB 为对角线,构造平行四边形ACBD ,四边形 ACBD 是平行四边形,AC BD 且 AC=BD=2 ,D(2,3) ,以 BC 为对角线,构造平行四边形CABD ,四边形 CABD 是平行四边形,AC BD 且 AC=BD =2,D( -2, 3) ,以 AC 为对角线,构造平行四边形ABCD ,BCAD 且 BC=AD ,在 COB 与 AED 中,BOC AED , BCO EAD , BCAD , COB AED ( AAS)AE=OC=1 , ED=BO=3 ,OE=4,D( 4,-3) ,以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形的D 点
5、有 3 个:D(2,3) ,D( -2, 3) ,D( 4,-3) 如图,已知抛物线y=ax2+x+c (a 0)与 x 轴交点 A(-2,0) ,点 B(6,0) ,与 y 轴交于点C(1)求此抛物线的解析式;(2)已知点D 是第一象限内抛物线上的一动点,求BCD 面积的最大值;(3)已知点E(4, 3) ,且直线AE 交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P, x 轴上有一动点Q,是否存在以A,M, P,Q 为顶点的四边形为平行四边形?如果存在,请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
6、 页,共 20 页精品资料欢迎下载解: (1)将 A(-2,0) ,B(6,0)代入抛物线解析式可得:4a-2+c 0,36a+6+c0,解得: a-41,c3,抛物线的解析式为y=-41x2+x+3;(2)设点 D 的坐标为( m,n) ,则 n=-41m2+m+3,过点 D 作 DN AB 于点 N,则有: SBCCD=S梯形ONDC+SBND-SBOC=21(3+n)m+21(6-m)n-2163=23m+3n-9 =23m+3(-41m2+m+3)-9=-43m2+29m=-43(m-3)2+427,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 3 页,共 20 页精品资料欢迎下载-430,当 m=3 时, BCD 的面积最大,最大值是427;(3)存在设直线AE 的解析式为y=kx+b ,A(-2,0) ,E(4,3) , - 2k+b 0,4k+b3,解得 k21,b1, y=21x+1,抛物线y=-41x2+x+3 的对称轴是x=-)41(21=2,当 x=2 时, y=212+1=2, M(2,2) 如图 1、图 2,当 MPAQ 且 MP=AQ 时,以 A,M,P,Q 为顶点的四边形为平行四边形MPAQ , P 与 M 的纵坐标相等,都是2将 y=2 代入 y=-41x2+x+3 ,整理得 -41x2+x+1=0 ,
8、解得 x=222,P 点坐标为( 222, 2) ,M( 2,2) , MP=22, AQ=MP=22当 Q 在 A 右侧时, 如图 1,Q1(22-2,0) ,当 Q 在 A 左侧时, 如图 2,Q2(-22-2,0) ;如图 3,当 AM PQ 且 AM=PQ 时,以 A,M, P,Q 为顶点的四边形为平行四边形AQ 与 PM 互相平分,M,P的纵坐标互为相反数,M( 2,2) , P 的纵坐标为 -2将 y=-2 代入 y=-41x2+x+3, 整理得 -41x2+x+5=0 , 解得 x=226P 点坐标为(226, -2) 当 P 在 y 轴右侧时,如图3,P(2+26,-2) A(
9、-2,0) ,M(2,2) ,将 A 先向右平移4 个单位长度,再向上平移2 个单位长度可得M,AM PQ 且 AM=PQ , 将 P 先向右平移4 个单位长度, 再向上平移2 个单位长度可得Q当 P 在 y 轴右侧时,如图3,P(2+26,-2) ,Q3(6+26,0) ;当 P 在 y 轴左侧时,如图4,P(2-26, -2) ,Q4(6-26,0) ;如图 5,以 AM 为对角线时,过M 作 x 轴的平行线交抛物线与P5、P6,则这两点的纵坐标是2,由知, P5( 2-22,2) ,P6(2+22,2) ,AM 与 PQ 互相平分,AM 的中点与PQ 的中点重合A(-2,0) ,M(2,
10、2) , AM 的中点坐标是(0,1) Q5(22-2,0) ,Q6( -2-22,0) 综上所述,存在以A,M,P,Q 为顶点的四边形为平行四边形,此时点Q 的坐标是:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精品资料欢迎下载Q1(22-2, 0) ,Q2(-22-2,0) ,Q3(6+26,0) ,Q4(6-26,0) ,Q5(22-2,0) , Q6(-2-22,0) (2014 秋?重庆校级月考)如图,抛物线y=ax2+bx+6 与 x 轴交于 A、B 两点,与y 轴交于点 C,已知 A(-1,0) 、 B(3,0
11、) (1)求抛物线及直线BC 的解析式;(2)若 P为抛物线上位于直线BC 上方的一点,求PBC 面积 S 的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)直线 BC 与抛物线的对称轴交予点D,M 为抛物线上一动点,点N 在 x 轴上,若以点D、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,求出所有满足条件的点M 的坐标解: (1)抛物线y=ax2+bx+6 与 x 轴交于 A,B 两点,-1, 3 是一元二次方程ax2+bx+6=0 的两个实数根,- 1+3ab,- 1 3a6,解得 a - 2,b 4 抛物线的方程为y=-2x2+4x+6,令 x=0,可得 yC=6 C(0,6) ,直线 BC 的方程为3
12、x+y66y=1,化为2x+y-6=0 (2)设过点P 的抛物线的与直线BC 平行的切线方程为2x+y+m=0 联立 2x+y+m 0, y- 2x2+4x+6,化为 2x2-6x-6-m=0 ,令 =36-8( -6-m)=0,解得 m=-221 代入上述方程可得2x2-6x-6+221=0,化为( 2x-3)2=0,解得 x=23, y=-223-(-221)=152215 P(23,215) 点 P 到直线 BC 的距离 h=1262152322=1059又|BC|=32+622263=35 PBC 面积 S 的最大值 =21|BC|h=21351059=427精选学习资料 - - -
13、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精品资料欢迎下载(3)抛物线的对称轴x=1,代入直线BC 的方程可得y=4, D(1,4) 设 N(n,0) ,M(x, -2x2+4x+6) ,则AD=( 2,4) ,MN=(n-x, 2x2-4x-6) 以点 DAMN 为顶点的四边形是平行四边形,AD=MN, 2n-x ,4 2x2-4x-6 ,解得 x 1+6,n3+6或 x1-6,n3-6 M(1+6,-4)或(1-6,-4) (2011?内江)如图,抛物线 y=31x2-mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点C (0 -1)
14、且对称轴 x=l (1)求出抛物线的解析式及A、B 两点的坐标;(2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC 的面积为3?若存在,求出点D 的坐标;若不存在说明理由(使用图1) ;(3)点 Q 在 y 轴上,点P 在抛物线上,要使Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2) 解: (1)抛物线与y 轴交于点C(0,-1) 且对称轴x=l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精品资料欢迎下载312m1,n- 1,解得: m32,n- 1,抛物线解析式为y=31x2
15、-32x-1,令31x2-32x-1=0 ,得: x1=-1,x2=3, A(-1,0) ,B(3,0) ,(2)设在 x 轴下方的抛物线上存在D( a,31a2-32a-1 ) (0a3)使四边形ABCD 的面积为 3作 DM x 轴于 M,则 S四边形ABDC=SAOC+S梯形OCDM+SBMD,S四边形ABDC=21|xAyC|+21(|yD|+|yC|)xM+21(xB-xM)|yD| =2111+21-(31a2-32a-1) +1a+21(3-a) -(31a2-32a-1) =-21a2+32a+2,由 -21a2+23a+2=3,解得: a1=1,a2=2,D 的纵坐标为:31
16、a2-32a-1=-34或-1,点 D 的坐标为( 1,-34) , (2,-1) ;(3)当 AB 为边时,只要PQ AB,且 PQ=AB=4 即可,又知点Q 在 y 轴上,所以点P的横坐标为 -4 或 4,当 x=-4 时, y=7;当 x=4 时, y=35;所以此时点P1 的坐标为( -4,7) ,P2 的坐标为( 4,35) ;当 AB 为对角线时, 只要线段PQ 与线段 AB 互相平分即可,线段 AB 中点为 G,PQ 必过G 点且与 y 轴交于 Q 点,过点P3作 x 轴的垂线交于点H,可证得 P3HG Q3OG, GO=GH ,线段 AB 的中点 G 的横坐标为1,此时点P 横
17、坐标为2,由此当 x=2 时, y=-1,这是有符合条件的点P3(2,-1) ,所以符合条件的点为:P1的坐标为( -4,7) ,P2的坐标为( 4,35) ;P3(2,-1) 如图,已知抛物线y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A(1, 0) ,B(-3,0)两点,与y 轴交于点C,抛物线的顶点为P,连接 AC (1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线上找一点D,使得 DC 与 AC 垂直,且直线DC 与 x 轴交于点 Q,求直线 DC的解析式;(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得 SMAP=2S ACP?若存在,求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由3 ( 2011?衡阳)已知抛物线
18、y21x2-mx+2m-21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精品资料欢迎下载(1)试说明:无论m 为何实数,该抛物线与x 轴总有两个不同的交点(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3 时,抛物线的顶点为点C,直线 y=x-1 与抛物线交于 A、B 两点,并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;平移直线CD,交直线AB 于点 M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形?解: (1)该函数的判别
19、式=m2-4m+7= (m-2)2+3 3 该抛物线与x 轴总有两个不同的交点(2)由直线y=x-1 与抛物线交于A、B 两点,点 A(1, 0)代入二次函数式则m=3 故二次函数式为:y21x2- 3x+25当抛物线的对称轴为直线x=3 时,则 y=-2,即顶点 C 为( 3,-2) ,把 x=3 代入直线y=x-1 则 y=2,即点 D(3, 2)则 AD=AC=22设点 P(x,21x2- 3x+25)由直线 AD 的斜率与直线PC 的斜率相等则32253212xxx1 解得: x=3 或 x=5 则点 P(3,-2) (与点 D 重合舍去)或(5, 0)经检验点( 5,0)符合,所以点
20、 P(5, 0)设直线 AB 解析式为y=kx+b ,将 A(1,0) ,D(3,2)代入得直线AB :y=x-1 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精品资料欢迎下载设 M(a, a-1) ,N(a,21a2-3a+52) ,当以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,MN=CD ,即|(a-1)-(21a2-3a+52)|=4,解得 a=417或 3 或 5,故把直线 CD 向右平移1+17个单位或2 个单位,向左平移17-1 个单位,能使得以C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形4 ( 2013?碑
21、林区校级二模)如图,在平面直角坐标系中xOy 中,一次函数y45x+m(m为常数)的图象与x 轴交于点 A(-3,0) ,与 y 轴交于点C以直线 x=1 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c (a,b, c 为常数, a0)经过 A、C 两点,并与x 轴的正半轴交于点B(1)求点 C 的坐标;(2)求抛物线的函数表达式;(3)设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点,过点E 作直线 AC 的平行线交x 轴于点 F,是否存在这样的点 E,使得 A, C, E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由解: (1) y=45x+m 经过点( -3, 0) , 0=-
22、415+m,解得: m=415,直线解析式为:y=45x+415,C(0,415) ;(2)抛物线y=ax2+bx+c 对称轴为x=1,且与 x 轴交于 A(-3,0) ,另一交点为B(5,0) ,设抛物线解析式为y=a(x+3) (x-5) ,抛物线经过C(0,415) ,415=a?3(-5) ,解得 a=-41,抛物线解析式为y=-41x2+21x+415;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精品资料欢迎下载(2)假设存在点E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形,则 ACEF 且 AC=EF 如
23、答图1,(i)当点 E 在点 E 位置时,过点E 作 EGx 轴于点 G,AC EF, CAO= EFG,在 CAO 和 EFG 中, COA EGF, GFE CAO ,ACEF, CAO EFG(AAS ) , EG=CO=415,即 yE=415,415=-41xE2+21xE+415,解得 xE=2(xE=0 与 C 点重合,舍去) , E(2,415) ;(ii )当点 E 在点 E位置时,过点E作 EG x 轴于点 G, -415=-41x2+21x+415,解得: x=131, (负数舍去) ,则 x=1+31,可得 E(31+1, -415) 5 (2011 秋 ?沙坪坝区校级
24、期中)如图,抛物线y=ax2+bx-1 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且经过( -3,12a) ,对称轴是直线x=1(1)求抛物线对应的函数表达式;(2) 在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P, 使 POC 的面积和 PBC 的面积比为1: 5?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点 M 在抛物线的对称轴上,点N 在抛物线上,要使以M、 N、 O、 B 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点N 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精品资料欢迎下载解: (1)
25、对称轴x=-ab2=1,将( -3,12a)代入 y=ax2+bx-1 得, 12a=9a-3b-1,联立得: -ab21,12a9a-3b-1 ,解得: a13b- 23,抛物线对应的函数表达式为:y=31x2-31x-1;(2)如图 1,过点 P作 PEy 轴于点 E, 当 x=0 时,y=-1,则 C 的坐标为 (0, -1) ,即 CO=1,y=0 时, 0=31x2-31x-1; (x+1) (x-3)=0,解得: x1=-1,x2=3, A(-1,0) , B(3,0) ,P 在直线 x=1 上, POC 的面积和 PBC 的面积比为1:5,SPOC=21COPE=211 1=21
26、,SPBC=25,连接 BC,交 x=1 于 D,SPBC =21PD BO,25=21DP3, PD=35,设 BC:y=k1x-1, 3k1-1=0, k1=31, y=31x-1,当 x=1 时, y=-32,则 D 点坐标为:(1,-32) ,PD=35,P 点可能在D 点上面, 此时 P 点坐标为 (1,1) ;也可能在D 点下面, 此时 P 点坐标为 ( 1,-37) ;存在 P,P 点坐标为( 1, 1)或( 1,-37) ;(3)如图2,若以 OB 为一边,设M(1,y0) ,则 N(x0,y0) ,又|MN|=|x0-1| ,|OB|=3,四边形MNOB 为平行四边形,|MN
27、|=|OB| , |x0-1|=3, x0-1=3, x0=4 或 -2,N1(4,35) , N2(-2,35) ;如图 3,若以 OB 为对角线,过点N 作 NFOB 于点 F,直线 x=1 交 OB 于点 E, OEM= BFN,平行四边形OMBN ,OM BN ,OM=BN , MOE= NBF,即 MOE NBF , NFB OEM ,MO BN , OEM BFN (AAS ) , OE=BF=1 , OF=2,当 x=2 时, y=-1, N3(2,-1) 综上所述, N 点坐标为:(4,35)或( -2,35)或( 2,-1) 6 (2012?天台县校级模拟) 若抛物线y=ax
28、2+bx+c( a0, 0)与 x 轴交与 A、B 两点(点A 在点 B 左边)与y 轴交于点C,我们称 ABC 为抛物线的“奠基三角形”(1)若抛物线的“奠基三角形”ABC 的三顶点坐标分别为A(1,0) 、B(5,0) 、C( 0,5) ,求该抛物线的解析式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精品资料欢迎下载(2)在(1)的抛物线上是否存在一点P,使 PBC 与“奠基三角形” ABC 的面积相等?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由(3)在( 1)抛物线上是否存在一点P,在对称轴上是否存在一点D,使以
29、A,B,P,D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由解: (1) A(1,0) 、B(5,0) 、C(0, 5)在抛物线y=ax2+bx+c 上,设 y=a(x-1) (x-5) , a(0-1) (0-5)=5,解得: a=1,y=(x-1) (x-5)=x2-6x+5 ,该抛物线的解析式为y=x2-6x+5 ;(2)过点 A 作直线 BC 的平行线l1,交抛物线于点P1,设直线 BC 的解析式为: y=kx+b ,B(5,0) 、C(0,5) , 5k+b 0,b5,解得: k- 1,b5,直线 BC 的解析式为: y=-x+5 ,设直线l1的解析式为:
30、y=-x+m ,A(1,0) , -1+m=0,解得: m=1,直线l1的解析式为: y=-x+1 ,直线l1与 y 轴的交点E(0,1) , CE=OC-OE=5-1=4 ,联立直线l1的解析式与抛物线的解析式,可得:y- x+1, yx2- 6x+5,解得: x 4,y- 3 或 x1,y0(舍去), P1(4,-3) ;同理:把直线BC 向上平移4 个单位,与y 轴交于点F,则直线l2的解析式为: y=-x+9 ,联立直线l2的解析式与抛物线的解析式,可得:y- x+9, yx2- 6x+5,解得: x2415,y24113或 x2415,y24113,P2(2415,24113)或 P
31、3(2415,24113) ;(3)如图,若PD AB,当 PD=AB=OB-OA=5-1=4时,以 A,B,P,D 为顶点的四边形是平行四边形,y=x2-6x+5=(x-3)2-4,此抛物线的对称轴为:直线x=3,P 的横坐标为:3+4=7 或 3-4=-1, P1( 7,12) ,P2(-1, 12) ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精品资料欢迎下载当 P3(3, -4) ,D(3,4)时,以A,B,P,D 为顶点的四边形是平行四边形综上可得: P1(7,12) ,P2(-1,12) ,P3(3,-4)
32、7 (2014 秋 ?江都市期末) 如图, 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,且 A(-3,0) ,C(0,-3) ,对称轴为直线x=-1(1)求抛物线的函数关系式(2)若点 P 是抛物线上的一点(不与点C 重合) , PAB 与 ABC 的面积相等,求点P 的坐标(2012?湘西州) 如图, 抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴交于点A(0,-3) ,与 x 轴交于 B、C 两点,且抛物线的对称轴方程为x=1(1)求抛物线的解析式;(2)求 B、C 两点的坐标;(3)设点 P 为抛物线对称轴上第一象限内一点,若PBC 的面积为4,求点 P 的坐
33、标;(4)点 M 为抛物线上一动点,点N 为抛物线的对称轴上一动点,当M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形时(BC 为平行四边形的一条边),求此时点M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精品资料欢迎下载解: (1)抛物线y=x2-2x+c 与 y 轴交于点A(0,-3) , c=-3,抛物线的解析式为y=x2-2x-3;(2) y=x2-2x-3,当 y=0 时, x2-2x-3=0 ,解得 x=-1 或 x=3, B、C 两点的坐标分别为(-1,0) , (3,0) ;(3)设点 P 的坐标为( 1
34、,y) ,则 y 0B、C 两点的坐标分别为(-1,0) , (3,0) , BC=4 ,SPBC=21?BC ?y=2y=4 , y=2,点 P 的坐标为( 1,2) ;(4)当以 BC 为边时,如图,以 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形,MN=BC=4 ,即 M1N=M2N=4, M1的横坐标为5,M2的横坐标为 -3,y=x2-2x-3,当 x=5 时, y=25-10-3=12 ;当 x=-3 时, y=9+6-3=12 , M 点坐标为( -3,12)或( 5,12) (2014?潍坊)如图,抛物线y=ax2+bx+c( a0)与 y 轴交于点C(0,4) ,与 x 轴交于
35、点A和点 B,其中点 A 的坐标为( -2,0) ,抛物线的对称轴x=1 与抛物线交于点D,与直线BC交于点 E(1)求抛物线的解析式;(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为 17,若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)平行于 DE 的一条动直线l 与直线 BC 相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精品资料欢迎下载解: (1)抛物线y=ax2+bx
36、+c( a0)过点 C(0,4) , c=4 对称轴x=-ab2=1, b=-2a 抛物线过点A(-2, 0) , 0=4a-2b+c ,由解得,a=-21,b=1,c=4,抛物线的解析式为y=-21x2+x+4;(2)假设存在满足条件的点F,如图所示,连结BF、CF、OF,过点 F 作 FHx 轴于点 H,FGy 轴于点 G设点 F 的坐标为( t,-21t2+t+4) ,其中 0 t4,则 FH=-21t2+t+4,FG=t,SOBF=21OB?FH=214( -21t2+t+4)=-t2+2t+8, SOFC=21OC?FG=214t=2t,S 四边形 ABFC=S AOC+SOBF+S
37、 OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12令-t2+4t+12=17 ,即 t2-4t+5=0 ,则 =(-4)2-45=-40,方程 t2-4t+5=0 无解,故不存在满足条件的点F;(3)设直线BC 的解析式为y=kx+n (k0) ,B(4,0) ,C(0,4) , n4,4k+n0,解得 k - 1,n4,直线BC 的解析式为y=-x+4 由 y=-21x2+x+4=-12 (x-1)2+29,顶点 D(1,29) ,又点 E 在直线 BC 上,则点E(1,3) ,于是 DE=29-3=23若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形,因为DEPQ,只须 DE=PQ ,
38、设点 P 的坐标是( m, -m+4) ,则点 Q 的坐标是( m,-21m2+m+4) 当 0 m 4 时, PQ=(-12m2+m+4 )-(-m+4 )=-21m2+2m,由-21m2+2m=23,解得: m=1 或 3当 m=1 时,线段PQ 与 DE 重合, m=1 舍去,m=3,P1(3,1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精品资料欢迎下载当 m0 或 m4 时, PQ=(-m+4)-(-12m2+m+4 )=12m2-2m,由21m2-2m=23,解得 m=27,经检验适合题意,此时 P2(2+
39、7,2-7) ,P3(2-7,2+7) 综上所述,满足题意的点P有三个,分别是:P1( 3,1) , P2(2+7,2-7) ,P3(2-7,2+7) (2013?郑州模拟) 如图,抛物线 yax2+bx+25与直线 AB 交于点 A(-1,0) ,B (4,25) 点D 是抛物线A,B 两点间部分上的一个动点(不与点A,B 重合) ,直线 CD 与 y 轴平行,交直线 AB 于点 C,连接 AD ,BD(1)求抛物线的解析式;(2)设点 D 的横坐标为m, ADB 的面积为S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C 的坐标;(3)当点 D 为抛物线的顶点时,若点P是抛物线
40、上的动点,点Q 是直线 AB 上的动点,判断有几个位置能使以点P,Q,C,D 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页精品资料欢迎下载解: (1)抛物线yax2+bx+25与直线 AB 交于点 A(-1,0) ,B(4,52) 0a-b+25,2516a+4b+25, 解得, a-21,b2,抛物线的解析式是y=-21x2+2x+25(2)如图 1,过点 B 作 BFDE 于点 F点 A(-1,0) ,B(4,52) ,易求直线AB 的解析式为:y=21x+21又点
41、D 的横坐标为m,点 C 的坐标是( m,21m+21) ,点 D 的纵坐标是(-21m2+2m+25)AE=m+1 ,BF=4-m ,CD=-21m2+23m+2, S=21CD? (AE+BF )=12( -21m2+23m+2)( m+1+4-m)=-45(m-23) 2+4125(-1m4) 当 m=23时, S取最大值4125,此时 C(23,45) ;(3)假设存在这样的点P、Q 使以点 P,Q,C,D 为顶点的四边形为平行四边形点 D 是抛物线的顶点,D(2,29) ,C(2,23) 如图 2,当 PQDC, PQ=DC 时设 P( x,-21x2+2x+25) ,则 Q(x,
42、12x+12) , -21x2+2x+25-21x-21=3,解得, x=1 或 x=2(舍去), Q(1,1) ;如图 3,当 CDPQ,且 CD=PQ 时设 P( x,-21x2+2x+25) ,则 Q(x,21x+21) ,21x+21+21x2-2x-25=3,解得, x=5 或 x=-2, Q(5,3) 、Q( -2,-21) ;如图 4,当 PCDQ,且 PC=DQ 时过点 P 作 PECD 于点 E,过点 Q 作 QFCD 于点 F则 PE=QF,DE=FC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精品资
43、料欢迎下载设 P( x,-21x2+2x+25) ,则 E(2,-21x2+2x+25) ,Q(4-x,25-21x) ,F(2,25-21x) ,由 DE=CF 得,29-(-21x2+2x+25)=25-21x-23,解得, x=1 或 x=2(舍去), Q(3,2)综上所述,符合条件的点Q 的坐标有:(1,1) 、 (5,3) 、 (-2,-21) 、 (3, 2) (2014?营口模拟) 如图,直线 y=-x+3 与 x 轴交于点A, 与 y 轴交于点B, 抛物线 y=-x2+bx+c经过点 A、B(1)求抛物线的解析式;(2)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得 ABP 的面积
44、最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由(3)点 M 在抛物线上,过点M 作 y 轴的平行线交直线AB 于点 N,是否存在以点M、N、O、B 为顶点的平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由解: (1)直线 y=-x+3 ,当 y=0 时, x=3;当 x=0 时, y=3, A( 3,0) 、 B(0,3) ,抛物线过A(3,0) 、B(0,3) , - 9+3b+c0,c3 解得: b2c3,所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ;(2)假设存在点P(x,y)使得 ABP 的面积最大,连接 OP,则 SABP=S OPA+SOPB-SOAB=21OA?y+2
45、1OB?x-21OA ?OB =23y+23x-29=23(x-x2+2x+3)-29=-23(x2-3x)=-23(x-23)2+827当 x=23时,点 P(23,415)在第一象限,此时ABP 的面积最大,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页精品资料欢迎下载所求的点 P 的坐标为: P(23,415) (3)存在,设点M(x,y) ,所以 yM=-x2+2x+3 MN y 轴, yN=-x+3 , MN=| (-x+3)-(-x2+2x+3)|=|x2-3x| 当 MN=BO=3 时,以 M、N、O、B 为顶
46、点的四边形是平行四边形,即|x2-3x|=3,解得: x=2213或 x=2213当 x=2213时, y=-2213,当 x=2213时, y=-2213,所以当 M(2213,-2213)或 M(2213, -2213)以 M、N、O、B 为顶点的四边形是平行四边形(2012?从化市一模) 如图(1) ,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx-3a 经过 A(-1,0) 、B(0,3)两点,与x 轴交于另一点C,顶点为D(1)求该抛物线的解析式及点C、D 的坐标;(2)经过点B、D 两点的直线与x 轴交于点E,若点 F 是抛物线上一点,以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点
47、F 的坐标;(3)如图( 2)P(2,3)是抛物线上的点,Q 是直线 AP 上方的抛物线上一动点,求APQ的最大面积和此时Q 点的坐标解: (1)抛物线y=ax2+bx-3a 经过 A(-1,0) 、B(0, 3)两点,有:a-b-3a 0,- 3a 3,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精品资料欢迎下载解得 a - 1,b 2 抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3 由 -x2+2x+3=0 ,解得: x1=-1, x2=3C(3, 0)由 y=-x2+2x+3=- (x-1)2+4D(1,4) (2)四边形A
48、EBF 是平行四边形,BF=AE 设直线 BD 的解析式为: y=kx+b ,则B(0,3) ,D(1,4) b3k+b4,解得k1b3直线 BD 的解析式为:y=x+3 ;当 y=0 时, x=-3E(-3,0) , OE=3,A(-1,0) OA=1 , AE=2, BF=2,F 的横坐标为2, y=3, F(2,3) (3)如图,设Q(a,-a2+2a+3) ,作 PS x 轴, QRx 轴于点 S、R,且 P(2, 3) ,AR=a+1 , QR=-a2+2a+3,PS=3,RS=2-a, AS=3 SPQA=S 四边形 PSRQ+SQRA-S PSA =2QRPS RS+2QRAR-2ASPS=23232aa (2-a)+2)32)(1(2aaa-233SPQA=-23a2+23a+3=-23(a-12) 2+827当 a21时, SPQA 的最大面积为827,此时 Q(21,415)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页