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1、名师精编优秀教案函数的简单性质单调性（第一课时）一、教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学1 （苏教版）第二章函数概念与基本初等函数 中第三节函数的简单性质的第一课时。函数的性质是研究函数的基础，而函数的单调性首当其冲，该课时主要学习增函数、 减函数的定义， 以及应用定义证明函数单调性的步骤，并能运用单调性只是解决一些简单的实际问题。通过对本节课的学习， 加深学生对函数概念的认识。函数的单调性是后面研究指数函数、 对数函数、三角函数等基本初等函数的单调性的基础，也在比较数的大小、 函数的定性分析及数学综合问题有广泛的应用，更是学生在以前学习函数的感念的延续和拓展，因此，函数的单调性
2、在整个高中数学中起着承上启下的作用，并且本节的教学过程中还渗透了数形结合、化归转化等数学思想方法。二、学生学习情况分析从学生的知识层次来看， 他们在初中已经学过简单的函数比如一次函数、二次函数、反比例函数等，对于函数的概念及函数的表示、函数的图像都有了初步的认识。 从图像的变化上， 学生能体会函数的增减性的定义，对于引入单调性的定义是水到渠成的。从学生的学习层次来看， 在初中对函数的认识与实验， 他们已具备一定的观察事物的能力并积累了一定的研究问题的经验，从某种程度来看具备一抽象概括能力和语言转换能力。从学生的心理层次来看， 虽然学生对函数的性质有了实例，但没有上精选学习资料 - - - -
3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案升到抽象出“概念”的水平，因此定性的描述函数的性质是学生学习的重点，也是学生想关注的问题。 函数的单调性是学生比较容易发现的一个性质，通过对比感悟，学生较易产生兴趣，渴望学习的心态是学生学好本节课的情感基础。 对于学生理解起来较困难的是将自然语言转化为数学符号， 因此在教学中多加以引导， 让学生学生充分理解函数单调性的定义并能灵活转化应用。三、设计思想1、教法（1）启发式教学法：以设问和疑问的形式通过层层引导，激发、启迪学生积极思考，逐步从常识走向科学， 将感性认识上升到理性认识，培养和发展学生
4、的抽象思维能力。 这种方法有利于学生对知识进行主动建构，突出重点解决难点，调动其学习的积极性和主动性，发挥其创造性。（2）分组探究教学法：引导学生去怀疑，激励学生去探究思考，逐步培养学生的创造性思维和批判精神。这种方法有利于学生进行交流，及时发现问题、解决问题，调动学生的积极性，从而达到探究、归纳的目的。2、学法（1）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题，并寻求研究问题和解决问题的能力。（2）利用图像来直观启迪学生的思维，并通过正反例的构造，从而完成从感性认识到理性思维的一个跨度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
5、第 2 页，共 11 页名师精编优秀教案（3）在引导时，鼓励学生大胆质疑，围绕问题各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清楚。四、教学目标1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。五、教学重点与难点重点：函数单
6、调性的概念、判断及证明。难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。教学准备：计算机多媒体六、教学过程（一）创设情境1、如图为某一城市一天内的气温变化图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编优秀教案观察这张气温变化图，回答：（1）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？（2）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“随着时间的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？（3）在区间164，上，气温是否随时间增加而增大？连续提出三个相关联的问题引导学生识图、捕捉信息，启发学生思考，使学生在解决问题的过程中
7、，形成对单调性的认识。观察图形，能得到什么信息？当天的最高温度、最低温度一级何时到达；在某时刻的温度；某时段温度升高、某些时段温度降低等。 了解数据的变化规律是很有帮助的，通过对以上问题的分析，从正反两个方面领会函数的单调性。问题：你还能举出生活中其他的数据变化情况吗？归纳：从函数的角度来看， 其实就是随着自变量的变化，函数值随之变化，从而师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词。【设计意图】由生活情境引入新课，形象直观，从而激发学生学习兴趣。（二）新授课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教
8、案对于自变量变化时， 函数值是变大还是变小， 今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。1、借助图像，感知概念形成问题：分别作出函数y=x+2，y=-x+2，2xy,xy1的图像，并且观察自变量变化时函数值的变化。（学生动手画图像）【设计意图】学生讨论图像中自变量与因变量的变化趋势并试着总结生：函数 y=x+2 随x的增大而增大； 函数 y=-x+2 随x的增大而减小。师：注意 x 的范围（引导学生向概念靠拢总结）生：函数 y=x+2 在定义域内， y 随x的增大而增大；函数y=-x+2 在定义域内， y 随x的增大而减小。（学生理出近似概念，师生共同给出精确概念）单调增函数：一般地，设
9、函数y=f(x) 的定义域为A，区间AI。如果对于区间 I 内的任意两个值21xx ，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说 y=f(x) 在区间 I 上市单调增函数， I 称为 y=f(x) 的单调增区间。（学生总结出单调减函数的概念）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案师：函数2xy的图像有何变化规律？生：在 y 轴的的左侧y随x的增大而减小； 在 y 轴的的右侧y随x的增大而增大。师：那么用区间怎么描述表示？生：在，0上 y 随 x 的增大而增大，在0-，上 y 随 x 的增大而减小。
10、师：由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数在整个定义域内未必是单调函数，但在定义城内的某个子集上可以是单调函数。师：函数xy1的图像变化规律如何呢？（学生讨论并给出答案）生: （1）定义域中的减函数；（2）在，0上 y随x的增大而减小，在0-，上y随x的增大而减小师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？学生再次分组讨论。引导学生进行分类描述 ( 增函数、减函数 ) ，并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间来说的，是函数的局部性质从定义域，图像的角度考虑，也可以举反例。教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观描
11、述性的认识。【设计意图】 学生从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案2探究规律，由感性认识上升到理性认识问题：如何从解析式的角度理解2xxf在，0为增函数？生 1：在给定区间内取两个数， 例如 1 和 2，因为2221，所以2xxf在，0为增函数。生 2： 仅仅两个数的大小关系不能说明2xxf在区间，0上为单调递增函数，应该举出无数个。（由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生 2 的说法表示赞同；引导学生利用字母表示数。）师
12、： “无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5有无数个自然数都比23大，那我们能不能说所有的自然数都比23大呢？所以具体值取得再多， 也不能代表所有的， 思考如何体现区间上的所有值。对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律，判断函数单调性。 注意这里的“都有”是对应于“任意”的。【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度, 完成对概念的第二次认识。 事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫。判断题： 已知xxf1因为21ff，所以函数xf是增函数。
13、 若函数xf满足32ff则函数xf在区间32，上为增函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编优秀教案 若函数xf在区间2, 1和(2 ，3) 上均为增函数，则函数xf在区间（1,3）上为增函数。 因为函数xxf1在区间，0 ,0上都是减函数，所以1( )f xx在，0,0上是减函数。通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数 ) ，可以是定义域内某个区间( 如二次函数 )，也可以根本不单调 (如常数函
14、数)。单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间A，B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在BA上是增（或减）函数。思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。【设计意图】让学生由特殊到一般，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。（三）运用与巩固1. 例 证明函数11)(xxf在区间0，上是单调增函数。（针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
15、- - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案证明：任取)0(21，xx且21xx取值)11(11)()(2121xxxfxf作差=2111xx变形 （注意变形要彻底）=2121xxxx000212121xxxxxx，判断0)()(21xfxf定号函数函数11)(xxf在0，是减函数思考：如何证明11)(xxf在，0上的单调性。引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形（因式分解、配方、不等式等，变形必须彻底） 、判断、定号。【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。随堂练习：证明函数xxf的单调性。（引导学生在证明单调性时要考虑其定义域）设计意图：通过小组讨论并
16、练习， 进一步强化对函数单调性证明的理解及应用。（四）练习与反馈课后探究： 研究函数01xxxxf的单调性， 并结合描点法画出函数的图像。（五）课堂小结学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编优秀教案受，师生合作共同完成小结。（六）课堂作业书上 P43第 2 题第（2） （3）两小题（七）教学反思1、新课标明确指出：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学、运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算
17、求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程” 。函数的思想贯穿高中数学课程，而函数的单调性的课标教学要求：从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会生活中的间断问题。因此，本节课的教学设计在分析学生的认知发展水品和已有的知识经验的基础上， 让学生通过观察函数图象的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得较好的教学成果。2、函数的单调性是函数的一个重要性质，在理解函数单调性的定义时，要注意以下几点：（1）在讨论函数的单调性时，特别注意区间问题：一个函数在不同的区间上可以有不同的单调
18、性，要注意绝对不可以用“”表示。（2） 单调性是函数在某一区间上的 “整体”性质，因此定义中的21xx ，具有任意性，不能用特殊性取代。3、判断函数的单调性或单调区间时，可以结合函数的图像升降进行判定，对于一般函数需用函数单调性的定义加以证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案4、在用函数单调性进行证明的时候，对于“变形”这一步骤难度较大，主要存在的问题是变形不彻底。5、对于简单的函数的单调性和单调区间要熟记以便灵活应用。6、本节课对函数的单调性研究的并不充分，在下面的学习中需要进一步强化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
