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1、学习必备欢迎下载不 等 式 练习A 组1若,a b是任意的实数,且ab, 则( ) (A)22ba (B)1ab (C) lg()0ab (D)ba)21()21(2不等式32x的解集是 ( ) (A) )32,( (B) )32,(),0( (C) )0,32(),0( (D) )0 ,32(3不等式125xx的解集为 ( ) (A) ,22, (B) ,21, (C) , 32, (D) ,23,4若0n, 则232nn的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 5若 A=(3)(7)xx,B=(4)(6)xx,则 A,B的大小关系为 _.6设a,b,c是不全相等的
2、正数,求证:1)()()()8ab bccaabc;2)abcabbcca. 7.已知x,yR,求证222xy2()2xy8如图 1,把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?9已知a,b,0c,且不全相等,求证222222()()()6a bcb acc ababc. 10 已知1a,2a,Ran,且121naaa,求证nnaaa2)1 ()1)(1(21. B 组11. 已知x,0y,且2yx. 试证:yx1,xy1中至少有一个小于2. 精选学习资料 - - - - - - - -
3、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载12. 求函数xxy21015的最大值 . 13. 已知122ba,求证sincosba1. 14. 已知12yx,求22yx的最小值 . 15. 已知10432zyx,求222zyx的最小值 . 16. 已知a,b,c是正数,求证2229abbccaabc. 17. 证明:)(53Nnnn能够被 6 整除 . 18.设, ,a b cR,求证:32abcbccaab. 不 等 式 答 案1. D. 提示:注意函数1( )2xy的单调性;2. B. 提示:先移项,再通分,再化简;3. D. 提示:当x 2 时,
4、原不等式可以化为(1)(2)xx 5,解得x 3,即不等式组2125xxx的解集是(,3. 当21x时,原不等式可以化为(1)(2)xx5,即 35,矛盾 . 所以不等式组21125xxx,的解集为,当x1 时,原不等式可以化为(1)(2)xx 5,解得x2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载即不等式组1125xxx的解集是2 ,). 综上所述,原不等式的解集是(,32 ,);4. C.提示:22323222nnnnn;5. AB. 提示:通过考察它们的差与0 的大小关系,得出这两个多项式的大小关系.
5、 因为(3)(7)(4)(6)xxxx22(1021)(1024)xxxx30所以(3)(7)(4)(6)xxxx; 6提示:2abab,2bcbc,2caca分别将以上三式相乘或相加即可; 7. 提示 :222222222()()2()2442xyxyxyxyxyxy; 8. 提示 : 设切去的正方形边长为x,无盖方底盒子的容积为V,则2(2 )Vaxx3311 (2 )(2 )42(2 )(2 )444327axaxxaaxaxx当且仅当224axaxx,即当6ax时,不等式取等号,此时V取最大值3227a. 即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时,盒子容积最大. 9. 分析:观察
6、欲证不等式的特点,左边3 项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积,右边是三个数的积的 6 倍. 这种结构特点启发我们采用如下方法. 证明:因为22bc2bc,0a,所以22()a bc2abc. 因为22ca2ac,0b,所以22()b ca2abc. 因为22ab2ab,0c,所以22()c ab2abc. 由 于a,b,c不 全 相 等 , 所 以 上 述 式 中 至 少 有 一 个 不 取 等 号 , 把 它 们 相 加 得222222()()()6a bcb acc ababc. 10提示:观察要证明的结论,左边是n个因式的乘积,右边是2 的n次方,再结合121naaa,发现如果能
7、将左边转化为1a,2a,na的乘积,问题就能得到解决. 证明:因为Ra1,所以111121aaa,即1121aa. 同理,2221aa,nnaa21.因为1a,2a,Ran,由不等式的性质,得nnnnaaaaaa22)1()1)(1 (2121. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载因为1ia时,iiaa21取等号,所以原式在121naaa时取等号 . 11. 提示:要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰. 另外,如果从正面证明,需要对某一个分式小于2 或两个分式都小于2 等
8、进行分类讨论,而从反面证明,则只要证明两个分式都不小于2 是不可能的即可. 于是考虑采用反证法. 证明:假设yx1,xy1都不小于2,即21yx,且21xy. 因为x,0y,所以yx21,且xy21. 把这两个不等式相加,得)(22yxyx,从而2yx. 这与已知条件2yx矛盾 . 因此,yx1,xy1都不小于2 是不可能的,即原命题成立. 12. 提示:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为bdac的形式就能利用柯西不等式求其最大值. 解:函数的定义域为5,1,且0y. xxy521522225(2)(1)(
9、5)xx36427当且仅当xx5512时,等号成立,即27127x时函数取最大值36. 13. 提示 : 2cossin( cossin )abab222222()(cossin)1abab14. 提示 : 22222221(2 )(12 )()5()xyxyxy2215xy. 15. 提示 : 2222222100(234 )(234 )()xyzxyz222100.29xyz16. 提示 :1112()()abcabbcca2111()()()()(1 11)9.2229.abbccaabbccaabbccaabc17. 提示:这是一个与整除有关的命题,它涉及全体正整数,若用数学归纳法证明
10、,第一步应证1n时命题成立;第二步要明确目标,即在假设kk53能够被 6 整除的前提下,证明)1(5) 1(3kk也能被6 整除 . 证明: 1)当1n时,653nn显然能够被6 整除,命题成立. 2)假设当)1(kkn时,命题成立,即kk53能够被 6 整除 . 当1kn时,55133)1(5) 1(233kkkkkk633)5(23kkkk6) 1(3)5(3kkkk. 由 假 设 知kk53能 够 被6 整 除 , 而) 1(kk是 偶 数 , 故)1(3kk能 够 被6 整 除 , 从 而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
11、页,共 5 页学习必备欢迎下载6)1(3)5(3kkkk即) 1(5)1(3kk能够被 6 整除 . 因此,当1kn时命题成立 . 由 1)2)知,命题对一切正整数成立,即)(53Nnnn能够被 6 整除 ; 18. 证明:(法一)要证原不等式成立,只须证:91112abcbccaab即只须证:1112()()9abcbccaab由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式成立。(法二)由对称性,不妨设:0abc,则111bccaab,所以: (顺序和)abcbcabccaabbccaab(乱序和)(顺序和)abccabbccaabbccaab(乱序和)将以上两式相加即得:32abcbccaab.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页