《2022年工程数学线性代数课后题答案_第五版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年工程数学线性代数课后题答案_第五版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载第六章线性空间与线性变换1验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间并写出各个空间的一个基(1) 2 阶矩阵的全体S1解设 A B 分别为二阶矩阵则 A B S1因为(A B)S1kA S1所以 S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间00011001020100310004是 S1的一个基 . (2)主对角线上的元素之和等于0 的 2 阶矩阵的全体S2解设acbaAdfedBA B S2因为2)(SdaacbcdaBA2SkakckbkakA所以 S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间100110010201003是 S2的一个基(3) 2 阶对称矩阵的全体S
2、3. 解设 A B S3则 ATA BTB因为(A B)TATBTA B (A B)S3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载(kA)TkATkA kA S3所以 S3对于加法和乘数运算构成线性空间. 000110110210003是 S3的一个基 . 2验证与向量 (0 0 1)T不平行的全体 3 维数组向量对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间解设 V 与向量 (001)T不平行的全体三维向量设r1(1 1 0)Tr2( 1 0 1)T则 r1r2V但 r1r2(0 0 1)TV即V 不是线性
3、空间 . 3设 U 是线性空间 V 的一个子空间试证若 U 与 V 的维数相等则 U V证明设12n为 U 的一组基它可扩充为整个空间V的一个基由于 dim(U) dim(V)从而12n也为 V 的一个基则对于 xV 可以表示为 x k1 1k2 2krr显然x U故 V U而由已知知UV有 U V4设 Vr是 n 维线性空间 Vn的一个子空间a1a2ar是 Vr的一个基试证Vn中存在元素ar 1an使 a1a2ar,ar 1an成为 Vn的一个基证明设 r n, 则在 Vn中必存在一向量ar 1Vr它不能被a1a2ar线性表示将 ar 1添加进来则 a1a2ar 1是线性精选学习资料 - -
4、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载无关的若 r 1 n则命题得证否则存在 ar 2L(a1a2ar 1)则 a1a2ar 2线性无关依此类推可找到 n 个线性无关的向量 a1a2an它们是 Vn的一个基5在 R3中求向量(3 7 1)T在基1(1 3 5)T2(6 3 2)T3(3 1 0)T下的坐标解设123是 R3的自然基则(123) (123)A(123) (123)A1其中025133361A1528981553621A因为173),(173),(1321321A173152898155362),(32115
5、48233),(321所以向量在基123下的坐标为 (3382 154)T6在 R3取两个基1(1 2 1)T2(2 3 3)T3(3 7 1)T1(3 1 4)T2(5 2 1)T3(1 16)T精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载试求坐标变换公式解设123是 R3的自然基则(121) (123)B(123) (121)B1(121) (123)A (121)B1A其中131732121A614121153B设任意向量在基123下的坐标为 (x1x2x3)T则3211321321321),(),(
6、xxxABxxx故 在基123下的坐标为3211321xxxABxxx32149910726313941811913xxx7在 R4中取两个基e1(1 0 0 0)T e2(0 1 0 0)Te3(0 0 1 0)Te4(0 0 0 1)T1(2 11 1)T2(0 3 1 0)T3(5 3 2 1)T3(6 6 1 3)T(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵解由题意知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载3101121163316502),(),(43214321eeee从而由前一个基到后一个基的
7、过渡矩阵为3101121163316502A(2)求向量 (x1x2x3x4)T在后一个基下的坐标解因为43211432143214321),(),(xxxxAxxxxeeee向量在后一个基下的坐标为4321143213166123501301112xxxxyyyy432126937180092391213327912271xxxx(3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解令4321432126937180092391213327912271xxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载解方程组
8、得11114321kxxxx(k 为常数 )8说明 xOy 平面上变换yxAyxT的几何意义其中(1)1001A解因为yxyxyxT1001所以在此变换下T( )与 关于 y 轴对称(2)1000A解因为yyxyxT01000所以在此变换下T( )是 在 y 轴上的投影(3)0110A解因为xyyxyxT0110所以在此变换下T( )与 关于直线 y x 对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载(4)0110A. 解因为xyyxyxT0110所以在此变换下T( )是将顺时针旋转29n 阶对称矩阵的全
9、体V 对于矩阵的线性运算构成一个2) 1(nn维线性空间 . 给出 n 阶矩阵 P 以 A表示 V中的任一元素变换 T(A) PTAP 称为合同变换 . 试证合同变换T 是 V 中的线性变换证明设 A B V则 ATA BTBT(A B) PT(A B)P PT(A B)TP(A B)PTP (AP BP)TP (PTA PTB)P PTAP PTBP T(A) T(B)T(kA) PT(kA)P kPTAP kT(A)从而合同变换 T 是 V 中的线性变换10函数集合V3(a2x2a1x a0)ex | a2a1a0R对于函数的线性运算构成3 维线性空间在 V3中取一个基1x2ex2xex3
10、ex求微分运算 D 在这个基下的矩阵. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载解设1D(1) 2xexx2ex2212D(2) exxex323D(3) ex3易知123线性无关故为一个基 . 由110012001),(),(321321知即 D 在基123下的矩阵为110012001P11 2 阶对称矩阵的全体,|32132213RxxxxxxxAV对于矩阵的线性运算构成3 维线性空间 . 在 V3中取一个基00011A01102A10003A. 在 V3中定义合同变换10111101)(AAT, 求 T 在基 A1A2A3下的矩阵 . 解因为101100011101)(1AT3211111AAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载101111101101)(2AT3222110AA101110001101)(3AT31000A故121011001),()(),(),(321321AAAATATAT从而 T 在基 A1A2A3下的矩阵121011001A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
