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1、英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 1 页 共 7 页第十七章反比例函数小结与复习知识梳理1. 一般地,形如kyx(k 为常数, k 0)的函数称为,其中是自变量,是函数 . 自变量 x 的取值范围是不等于的一切实数 . 2. 反比例函数y=xk(k 0)的图象是 .当 k0 时,双曲线的两支分别位于象限,在每个象限内y 值随 x 值的而;当 k0 时,双曲线的两支分别位于象限,在每个象限内y 值随 x 值的而3. 双曲线的两个分支都无限地接近于坐标轴,但永远都不会与坐标轴相交. 4. 双曲线kyx除上面的主要性质外还具有:随着|k| 的增大,双曲线的位置相对于坐标原
2、点越来越远;双曲线kyx的图象关于直线y=x 对称 . 5. 过双曲线kyx上的任意一点向两坐标轴做垂线,与两坐标轴围成的矩形面积等于 . 6. 由于反比例函数的解析式xky(k 0) 中只有一个待定系数k,所以确定了k的值,也就确定了反比例函数的解析式,因此, 只需知道x,y的一组对应值或图象上一点的坐标,便可确定反比例函数的解析式. 7. 画反比例函数图象的步骤是 . 考点呈现一、确定待定系数k 的值例 1 (20XX 年海南 )已知点A(2,3)在反比例函数xky1的图象上,则k的值是()A.-7 B.7 C.-5 D.5 解析 :将点( 2,3)代入xky1,得 3=21k,则 k=5
3、;也可直接利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标之积等于比例系数,即k+1=23,解得 k=5. 故选 D. 二、求参数的取值范围例 2 (20XX 年湖北黄石 )若双曲线y=xk12的图象经过第二、四象限,则k的取值范围是()A.k21 B. k21 C. k=21 D. 不存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 2 页 共 7 页解析 :本题考查了反比例函数的图象和性质,属于基础题. 根据反比例函数的图象和性质,当012k时,图象在第二、四象限,即可求出k21
4、. 故选 B三、同一坐标系中两种函数的图象例 3(20XX年云南昭通 )函数mmxy与xmy(0m)在同一直角坐标系中的图象可能是() A B C D 解析 : 本例主要考查一次函数、反比例函数图象的位置,解决这类问题需对m进行分类讨论 . 如果m 0, 函数mmxy的图象经过第一、三、四象限,而反比例函数在第一、三象限 , 没有合适的;如果m 0, 函数mmxy的图象经过第一、二、四象限,而反比例函数在第二、四象限. 故选 D. 四、函数值的大小比较例 4 (20XX 年湖南永州 )若点 P1(1 ,m),P2(2,n)在反比例函数)0(kxky的图象上,则m_n(填“”、 “”或“=”)
5、解析 : 因为0k, 反比例函数的图象在每个象限内y 值随 x 值的增大而增大, 又21,所以 m n. 故填“” . 五、与一次函数相结合的综合应用例 5 ( 20XX 年重庆潼南 )如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=mx (m0)的图象相交于A,B两点(1)根据图象写出A,B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出:当x为何值时,一次函数值大于反比例函数值. 分析 :(1 )将A,B两点的坐标分别代入两个函数解析式,可以转化为解方程组的问题;( 2) 1,0,2 将自变量x分为四个范围,其中,一次函数图象位于反比例函数图
6、象上方的x的范围即为( 2)的答案 .解: (1)A,B两点的坐标分别为21, 2, (-1, -1 ). y x O y x O y x O y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 3 页 共 7 页将 A21,2代入 y=mx中,得 m=2 21=1,则反比例函数解析式为y1x;将 A21,2,B(-1 ,-1 )代入y=kx+b中,得, 1,212bkbk解得.21,21bk所以一次函数解析式为y12x12. (2)观察图象得,当1x0 或x2
7、 时,一次函数值大于反比例函数值. 误区点拨例 1 下列表达式中,表示y是x的反比例函数的是()A.31xy B.xy63 C.23xy D.103xy错解 :选 C或 D. 剖析 : 产生错误的原因是对反比例函数的定义理解不透彻,反比例函数常见的有xky,xy=k ,y=kx-1(k 是不等于0 的常数 )的形式,由此知B、C、D都不对 . 正解 :选 A. 例 2 在函数xmy22( m 为常数 ) 的图象上有三点,2, 1, 3321yyy则函数值321yyy、的大小关系是 ( ) A2y3y1y B3y2y1y C 1y2y3y D 3y1y2y错解 :因为xmy22是反比例函数, 且
8、2222mm0,所以 y 值随 x值的增大而增大因为-3 -12,所以1y2y3y. 故选 C剖析: 反比例函数的增减性:y 值随 x 值的增大而增大,y 值随 x 值的增大而减小,是指在每个象限内,不是笼统的概括,上述错误的原因就是没有将两个象限内的点分别讨论,而是一概而论正 解 : 如 图1 , 因 为xmy22是 反 比 例 函 数 , 且2222mm0,所以双曲线在第二、四象限,在每个象限内, y 值随 x 值的增大而增大因为21, 1,3yy在第二象限内,且-3 -1,所以1y2yy x C O B A 2y3y1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
9、- - - - - -第 3 页,共 7 页英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 4 页 共 7 页因为3,2 y在第四象限, 所以3y1y,3y2y 因此321yyy、的大小关系是3y1y2y.故选 D例 3 一辆汽车从A城到 B城,油箱中有油40 升,每小时耗油x 升,可供y 小时用,请写出 y 与 x 之间的函数解析式,并画出图象. 错解 :y 与 x 之间的函数解析式y=x40. 列表:描点、连线得图象(如图 2). 剖析 :实际问题中的反比例函数自变量取值要使实际问题有意义,本题中的自变量x表示每小时耗油的升数,即x0, 所以函数图象只有第一象限内的. 正解:
10、 y 与 x 之间的函数解析式为y=x40(x0). 列表:描点、连线得图象(如图 3). 跟踪训练 1.已知反比例函数xy3,下列结论中不正确的是() A.图象必经过点(-1 ,3)B.y随x的增大而增大 C.图象位于第二、四象限内 D.若1x,则3y 2.函数 y=2x+1 与函数y=kx的图象相交于点(2,m), 则下列各点不在函数y=kx的图象上的是 ( ) ( 2, 5) (52,4) ( 1,10) (5,2) 3.若点( 3,4)是反比例函数xmmy122图象上的一点,则此函数图象必经过点()x -10 -5 5 10 y -4 -8 8 4 x 1 4 5 10 40 y 40
11、 10 8 4 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 5 页 共 7 页 A.(3, 4) B.(2, 6) C.(4, 3) D. (2,6) 4.已知反比例函数)0(kxky的图象上有两点A(1x,1y) ,B(2x,2y) ,且21xx,则21yy的值是() A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定 5.过反比例函数yxk(k0) 图象上一点A,分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B,C,如果ABC的面积为6,则k的值为 . 6.已知 y=( a-
12、1)22ax是反比例函数,则a=_ _ 7.一批零件300 个,一个工人每小时做15 个,则人数x?与完成任务所需的时间y 之间的函数解析式为_ 8.若函数yx4与yx1的图象有一个交点是(12, 2) ,则另一个交点坐标是_. 9.已知 y=y1+y2, y1与 x1 成正比例, y2与 x1 成反比例,当x=0 时, y=-5 ;当 x=2时, y=-7. 求 y 与 x 的函数解析式. 10.如图 1,一次函数bxy的图象经过点B(1,0) ,且与反比例函数xky(k 0)的图象在第一象限交于点A(1,n) (1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)当61x时,求反比例函数y的取值范围
13、 11.(20XX 年四川宜宾 )如图 2,一次函数的图象与反比例函数13yx(x0)的图象相交于点A,与 y 轴、 x 轴分别相交于B ,C两点,且C(2,0) ,当 x 1 时,一次函数值大于反比例函数值,当x 1 时,一次函数值小于反比例函数值(1)求一次函数的解析式;(2) 设函数2ayx(x0) 的图象与13yx(x0)的图象关于y 轴对称,在2ayx(x0)的图y O A B x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 6 页 共 7 页象上取一点P
14、(P 点的横坐标大于2) ,过 P点作 PQ x轴,垂足是Q,若四边形BCQP 的面积等于 2,求 P点的坐标第十七章反比例函数小结与复习知识梳理: 1. 反比例函数 x y 0 2. 双曲线第一、三增大减小第二、四增大增大5. |k| 7. 列表、描点、连线跟踪训练: 1.B 2.C 3.D 4.D 5.12或-12 6.-1 7.y=20x 8.(-21,-2) 9.解: 设)1(11xky,122xky,则1)1(2121xkxkyyy. 因为当 0 时, 5;当 2 时, 7, 所以,733, 52121kkkk解得.3,221kk所以y与x的函数解析式为13)1(2xxy. 10.解
15、: (1)将点B( 1,0)代入yxb,得 0 1b,则b1. 所以一次函数的解析式是yx1. 因为点A(1,n)在一次函数yx1 的图象上,将点A(1,n)代入yx1,得n2,即点A的坐标为( 1,2) ,代入xky,得12k,解得2k. 所以反比例函数的解析式是xy2. (2)对于反比例函数xy2,当0x时,y值随x值的增大而减小,且当1x时,2y;当6x时,31y. 所以当61x时,反比例函数y的取值范围是231y. 11. 解: (1)因为1x时,一次函数值大于反比例函数值,当1x时,一次函数值小于反比例函数值,所以点A的横坐标是 -1 ,则 A(-1,3 ). 设一次函数解析式为bk
16、xy, 因为直线过A (-1,3 ) ,C (2, 0) 两点,所以, 02, 3bkbk解得.2, 1bk所以一次函数的解析式为2xy( 2) 因 为)0(2xxay的 图 象 与)0(31xxy的 图 象 关 于y轴 对 称 , 所 以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页英格教育文化有限公司全新课标理念,优质课程资源学习方法报社第 7 页 共 7 页)0(32xxy. 因为点 B是直线2xy与 y 轴的交点,所以B(0,2 ) . 设 Pnn3,,2n. 因为 S四边形 BCQP=S梯形 BOQP-SBOC=2,所以222213221nn,则25n. 所以 P56,25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页