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1、学习必备欢迎下载3.1.2空间向量基本定理教案一、教学目标：1知识目标： 了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。2能力目标： 通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3情感目标： 创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数
2、学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。二、教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。三、教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。四、教学过程1复习引入：在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。 （找同学回答）由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影）注意：向量0a；abba是共线向
3、量的性质定理，baab是空间向量共线的判定定理；2、问题探究：“向量与平面平行”的概念：如果向量a的基线平行于平面或在平面内，就称a平行于平面，记作a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载平行于同一平面的向量叫做共面向量 。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。探究 1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？探究 2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。探究 3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。如果两个向量,a b不共线，则c与,a b共面
4、的充要条件是存在唯一的一对实数,x y，使得cxayb。猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、 “充分性”两方面进行）（屏幕展示证明过程）这就是共面向量定理： （板书并投影）注意：三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面,则称三个向量线性无关。可用来证明四点共面问题。3、问题探究：,ca bca bca ba b由共面向量定理知，空间向量与共面，则 可以用线性表示，当与不共面时，还能用线性表示吗？4、猜想探究：类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。空间向量的分解定理：如果三个向量a、
5、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的一个有序实数组, ,x y z，使得pxaybzc师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。板演证明：（存在性和唯一性两方面）唯一性用反证法证明： 若另有不同于x,y,z的实数 x1,y1,z1满足OP= x1a+y1b+ z1c， 则 xa+yb+ zc= x1a+y1b+ z1c，即 (x x1) a+(y y1) b+(z z1) c=0, 又a、b、c不共面，则xx1=0， yy1=0， zz1=0，所以 x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。6、深化探究：表达式xaybzc叫做,
6、 ,a b c的线性表达式，或线性组合；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载相关概念：其中a、b、c叫做空间向量的一个基底，a、b、c都叫做基向量。牛刀小试 ： （对于空间向量的基底a、b、c 的理解）1231231,00e e ee e e基底的三个向量中允许有 ，但不能全为.1232,e e e只要是不共面，就可以作为空间的一个基底.3, , ,O A B COA OB OCO A B C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底那么点必定共面。提醒学生注意：空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底
7、，基底不唯一；三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。若 a、b、c 是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。如 : a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底。思考 ：在OP= xa+yb+ zc中，特别地，当x=0, 则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若 z=0，则p与a、b共面。 当 x=0, y=0 时，p与c共线； 当 x=0, z=0 时，p与b共线； 当 y=0, z=0 时，
8、p与a共线 . 这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。7例题例 1已知平行六面体ABCDA B C D中，设AB= a，AD=b，1AA=c， 试用用基底 a、b、c表示以下向量：（1）AC， （2）BD， （3）CA（4）DB这是空间分解向量定理的直接应用，选定空间不共面的三个向量做基底，并用它们表示出指定的向量，是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量。8课堂练习：C1 A B C D A1 B1 D1 精选学习资料 -
9、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载已知平行六面体ABCDA B C D中，设AB= a，AD=b，1AA=c，OAC为的中点，试用用基底a、b、c表示以下向量： （1）AO， （2）BO，（ 3）OA（4）OB9课堂小结：引导学生从数学知识和思想方法两方面进行小结。10课后作业：必做：课本85 页练习 B： 1 2 3 思维训练：1有下列4 个命题：若 P、M、A、B 共面，则 MPxMA yMB. 若 p与 a、b 共面，则pxa yb；若 MPxMAyMB，则 P、M、A、B 共面；若 pxayb，则 p 与 a、
10、b 共面；其中真命题的个数是() A 1 B2 C3 D4 2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的向量是() A12a12bcB. 12a12bcC. 12a12bcD12a12bc3. （ 选作）已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？C1 A B C D A1 B1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
