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1、学习必备欢迎下载3.1.2空间向量基本定理教案一、教学目标:1知识目标: 了解向量与平面平行的意义,掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理,理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。2能力目标: 通过空间向量分解定理的得出过程,体会由特殊到一般,由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3情感目标: 创设适当的问题情境,从生活中的常见现象引入课题,开始就引起学生的学习兴趣,让学生容易切入课题,培养学生用数
2、学的意识,体现新课程改革的理念之一,加强数学与生活实践的联系。二、教学重点:运用空间向量基本定理表示空间任一向量,并能根据表达式判断向量与基底的关系。三、教学难点:空间向量的分解作图,用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。四、教学过程1复习引入:在平面向量中,我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理,请大家回忆一下定理的内容。 (找同学回答)由上节课的学习,我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量,那么请大家思考:平行向量基本定理在空间中是否成立?结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”(板书并投影)注意:向量0a;abba是共线向
3、量的性质定理,baab是空间向量共线的判定定理;2、问题探究:“向量与平面平行”的概念:如果向量a的基线平行于平面或在平面内,就称a平行于平面,记作a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载平行于同一平面的向量叫做共面向量 。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。探究 1:空间中任意两个向量一定共面吗?为什么?探究 2:空间中任意三个向量一定共面吗?请举例说明。探究 3:如果空间中三个向量共面,它们存在怎样的关系?演示空间中三向量共面的情况,引导学生猜想。如果两个向量,a b不共线,则c与,a b共面
4、的充要条件是存在唯一的一对实数,x y,使得cxayb。猜想的结论需要证明(提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、 “充分性”两方面进行)(屏幕展示证明过程)这就是共面向量定理: (板书并投影)注意:三个向量共面,又称三个向量线性相关,反之,三个向量不共面,则称三个向量线性无关。可用来证明四点共面问题。3、问题探究:,ca bca bca ba b由共面向量定理知,空间向量与共面,则 可以用线性表示,当与不共面时,还能用线性表示吗?4、猜想探究:类比平面向量基本定理,引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。空间向量的分解定理:如果三个向量a、
5、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的一个有序实数组, ,x y z,使得pxaybzc师:若猜想正确,则给出证明,若猜想不正确,先给出定理,再证明。板演证明:(存在性和唯一性两方面)唯一性用反证法证明: 若另有不同于x,y,z的实数 x1,y1,z1满足OP= x1a+y1b+ z1c, 则 xa+yb+ zc= x1a+y1b+ z1c,即 (x x1) a+(y y1) b+(z z1) c=0, 又a、b、c不共面,则xx1=0, yy1=0, zz1=0,所以 x,y,z是唯一的实数。这样,就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。6、深化探究:表达式xaybzc叫做,
6、 ,a b c的线性表达式,或线性组合;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载相关概念:其中a、b、c叫做空间向量的一个基底,a、b、c都叫做基向量。牛刀小试 : (对于空间向量的基底a、b、c 的理解)1231231,00e e ee e e基底的三个向量中允许有 ,但不能全为.1232,e e e只要是不共面,就可以作为空间的一个基底.3, , ,O A B COA OB OCO A B C为空间四点,且向量不构成空间的一个基底那么点必定共面。提醒学生注意:空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底
7、,基底不唯一;三个向量不共面,隐含它们都是非零向量;基底是一个集合,一个向量组,基向量是基底中的某一向量。通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。若 a、b、c 是空间向量的一个基底,则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明,结果不唯一,通过思考培养学生的发散思维。如 : a+b、a+c、b+c;2a+3b、4c、b等构成向量的基底。思考 :在OP= xa+yb+ zc中,特别地,当x=0, 则p与b、c共面;若y=0,则p与a、c共面;若 z=0,则p与a、b共面。 当 x=0, y=0 时,p与c共线; 当 x=0, z=0 时,p与b共线; 当 y=0, z=0 时,
8、p与a共线 . 这说明每一次维数增加了,高维数的定理不但发展了低维数的定理,并包含了低维数的结论,使得原来的定理仍适用,这种发展是继承的发展,是合理的发展。7例题例 1已知平行六面体ABCDA B C D中,设AB= a,AD=b,1AA=c, 试用用基底 a、b、c表示以下向量:(1)AC, (2)BD, (3)CA(4)DB这是空间分解向量定理的直接应用,选定空间不共面的三个向量做基底,并用它们表示出指定的向量,是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,表示所需向量。8课堂练习:C1 A B C D A1 B1 D1 精选学习资料 -
9、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载已知平行六面体ABCDA B C D中,设AB= a,AD=b,1AA=c,OAC为的中点,试用用基底a、b、c表示以下向量: (1)AO, (2)BO,( 3)OA(4)OB9课堂小结:引导学生从数学知识和思想方法两方面进行小结。10课后作业:必做:课本85 页练习 B: 1 2 3 思维训练:1有下列4 个命题:若 P、M、A、B 共面,则 MPxMA yMB. 若 p与 a、b 共面,则pxa yb;若 MPxMAyMB,则 P、M、A、B 共面;若 pxayb,则 p 与 a、
10、b 共面;其中真命题的个数是() A 1 B2 C3 D4 2如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1B1a,A1D1b,A1Ac,则下列向量中与B1M相等的向量是() A12a12bcB. 12a12bcC. 12a12bcD12a12bc3. ( 选作)已知甲烷(CH4)的分子结构:中心为碳原子,外围有四个氢原子,四个氢原子构成正四面体的顶点,确定了四个氢原子的位置,能找到碳原子的位置吗?能求出两个碳氢键之间的键角吗?C1 A B C D A1 B1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页