《2022年八年级轴对称与对称轴提高压轴题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八年级轴对称与对称轴提高压轴题（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载轴对称压轴题1问题背景：如图（ a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于 l 的对称点B ，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b） ，已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为_（2）知识拓展：如图（ c） ，在 RtABC 中， AB=10 ， BAC=45 ， BAC 的平分线交BC 于点 D，E、F 分别是线段AD 和 AB 上的动点，求BE+
2、EF 的最小值，并写出解答过程2 （1）观察发现如图（ 1） ：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线m 的对称点B ，连接 AB ，与直线 m 的交点就是所求的点P，线段 AB 的长度即为AP+BP 的最小值如图（ 2） ：在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为_（2）实践运用如图（ 3） ：已知 O 的
3、直径 CD 为 2，的度数为 60 ，点 B 是的中点，在直径CD 上作出点P，使 BP+AP的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为_（3）拓展延伸精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页学习必备欢迎下载如图（ 4） ：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法如图（ 1） ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现
4、什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l 看成一条直线（图（2） ） ，问题就转化为，要在直线l 上找一点P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6， BC 边上的高为 4，请你在BC 边上确定一点P，使 PDE 得周长最小（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（2）请直接写出PDE 周长的最小值：_4 （1）观察发现：如（ a）图，若点A，B 在直线 l
5、 同侧，在直线l 上找一点P，使 AP+BP 的值最小做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B，连接 AB ，与直线 l 的交点就是所求的点P再如（ b）图，在等边三角形 ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值最小做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点， 恰好与点 C 重合， 连接 CE 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点P，故 BP+PE的最小值为_（2）实践运用：如（ c）图，已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为60 ，点 B 是的中点，在直径CD 上找一点P，使 BP+AP的值最小，并求BP+AP
6、的最小值（3）拓展延伸：如（ d）图，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点 P，使 APB= APD保留作图痕迹，不必写出作法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页学习必备欢迎下载5几何模型：条件：如下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB 的值最小方法：作点A 关于直线 l 的对称点A ，连接 A B 交 l 于点 P，则 PA+PB=A B 的值最小（不必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为2，E 为 AB 的中点， P是 AC 上一动点连接B
7、D，由正方形对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称连接ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是_；（2）如图 2， O 的半径为2，点 A、B、C 在 O 上， OA OB， AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图 3， AOB=45 ，P 是 AOB 内一点， PO=10，Q、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值6如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为A（ 2， 3） ，B（4， 1） （1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当p=_时， PAB 的周长最短；（2）若 C（ a，0） ，D（a+3，0）
8、是 x 轴上的两个动点，则当a=_时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0） 、N（0，n） ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=_， n=_（不必写解答过程） ；若不存在，请说明理由7需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A， B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页学习必备欢迎下载8如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A，B，已知 AB=10 千米，直线AB 与公
9、路 MN 的夹角 AON=30 ，新开发区B 到公路 MN 的距离 BC=3 千米（1）新开发区A 到公路 MN 的距离为_；（2）现要在 MN 上某点 P处向新开发区A，B 修两条公路PA，PB，使点 P到新开发区A，B 的距离之和最短此时 PA+PB=_（千米）9.如图：（1）若把图中小人平移，使点A 平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l 上点 P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P 的位置10如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y 轴（1）请画出：点A、B 关于原点O 的对称点A2、 B2（应保
10、留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接 A1A2、 B1B2（其中 A2、B2为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段 AB 两端点的坐标分别为A（ 2，4） 、B（ 4，2） ，连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点C，使A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页学习必备欢迎下载11某大型农场拟在公路L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，
11、将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置C，使 A、B 两地到加工厂C 的运输路程之和最短 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）12阅读理解如图 1，ABC 中，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分； ；将余下部分沿BnAnC 的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角 BAC 的平
12、分线AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二： 如图 3，沿 BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿B1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点 C 重合探究发现（1）ABC 中， B=2 C，经过两次折叠，BAC 是不是 ABC 的好角？_（填 “ 是 ” 或“ 不是 ” ） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角， 请探究 B 与 C （不妨设 B C）之间的等量关系 根据以上内容猜想：若经过n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角，则 B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系为_应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15 、 60 、105
13、，发现 60 和 105 的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4 ，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角13如图， ABC 中 AB=AC ，BC=6 ，点 P 从点 B 出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，已知点P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点D（1）如图 ，当点 P 为 AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图 ，过点 P 作直线 BC 的垂线垂足为E，当点 P、 Q 在移动的过程中，线段BE、DE、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；精选学习资料 - - - -
14、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页学习必备欢迎下载14 （2012?东城区二模）已知：等边ABC 中，点 O 是边 AC ，BC 的垂直平分线的交点，M，N 分别在直线AC ，BC 上，且 MON=60 （1）如图 1，当 CM=CN 时， M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出AM 、 CN、MN 三者之间的数量关系；（2）如图 2，当 CM CN 时，M、N 分别在边AC 、BC 上时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直
15、接写出线段AM 、CN、MN 三者之间的数量关系15如图，线段CD 垂直平分线段AB， CA 的延长线交BD 的延长线于E，CB 的延长线交AD 的延长线于F，求证： DE=DF 16如图，在 ABC 和DCB 中， AB=DC ，AC=DB ，AC 与 DB 交于点 M求证：（1）ABC DCB；（2）点 M 在 BC 的垂直平分线上17如图， ABC 的边 BC 的垂直平分线DE 交 BAC 的外角平分线AD 于 D，E 为垂足， DFAB 于 F，且 ABAC，求证： BF=AC+AF 18已知 ABC 的角平分线AP 与边 BC 的垂直平分线PM 相交于点P，作 PK AB，PLAC，
16、垂足分别是K、L，求证： BK=CL 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页学习必备欢迎下载19某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B 的距离必须相等，且到两条公路m、n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（要有作图痕迹）20如图，在 ABC 中， AB=AC ， A=120 ，BC=9cm ， AB 的垂直平分线MN 交 BC 于 M，交 AB 于 N，求 BM的长21 如图，在ABC 中， BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P， 过点 P 分别
17、作 PNAB 于 N， PMAC于点 M，求证： BN=CM 22如图己知在 ABC 中， C=90 ，B=15 ，DE 垂直平分AB，E 为垂足交BC 于 D，BD=16cm ，求 AC 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页学习必备欢迎下载2013年 10 月初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共22 小题）1 （2013?日照）问题背景：如图（ a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于 l 的对称点B ，连接 A B与直线 l
18、 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b） ，已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为2（2）知识拓展：如图（ c） ，在 RtABC 中， AB=10 ， BAC=45 ， BAC 的平分线交BC 于点 D，E、F 分别是线段AD 和 AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程考点 ：轴对称 -最短路线问题分析：（1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN 的交点 P就是所求作的位置根据题意先求出CAE，再根据勾股
19、定理求出AE，即可得出PA+PB 的最小值；（2）首先在斜边AC 上截取 AB =AB ，连结 BB ，再过点 B 作 B F AB，垂足为F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段BF 的长即为所求解答：解： （1）作点 B 关于 CD 的对称点E，连接 AE 交 CD 于点 P 此时 PA+PB 最小，且等于AE作直径 AC ，连接 C E根据垂径定理得弧BD=弧 DE ACD=30 ， AOD=60 ， DOE=30 ， AOE=90 ， C AE=45 ，又 AC 为圆的直径，AEC =90 ， C =C AE=45 ，CE=AE=AC =2，即 AP+BP 的最小值是2故答案为： 2；
20、（2）如图，在斜边AC 上截取 AB =AB ，连结 BBAD 平分 BAC ，点 B 与点 B 关于直线 AD 对称过点 B作 B FAB ，垂足为F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 B F 的长即为所求 （点到直线的距离最短）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页学习必备欢迎下载在 RtAFB 中， BAC=45 ，AB=AB=10 ，BF=AB ?sin45 =AB ?sin45 =10=5，BE+EF 的最小值为点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位
21、置是解题关键2 （2013?六盘水）（1）观察发现如图（ 1） ：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线m 的对称点B ，连接 AB ，与直线 m 的交点就是所求的点P，线段 AB 的长度即为AP+BP 的最小值如图（ 2） ：在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为（2）实践运用如图（ 3） ：已知 O 的
22、直径 CD 为 2，的度数为 60 ，点 B 是的中点，在直径CD 上作出点P，使 BP+AP的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为（3）拓展延伸精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页学习必备欢迎下载如图（ 4） ：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法考点 ：圆的综合题；轴对称-最短路线问题专题 ：压轴题分析：（1）观察发现：利用作法得到CE 的长为 BP+PE 的最小值；由AB=2 ，点 E 是 AB
23、的中点，根据等边三角形的性质得到CE AB， BCE=BCA=30 ，BE=1，再根据含30 度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、 PB，根据垂径定理得到CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则AE 的长就是BP+AP 的最小值；由于的度数为60 ， 点 B 是的中点得到BOC=30 ，AOC=60 ， 所以 AOE=60 +30 =90 ，于是可判断 OAE 为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结EF，
24、EF 交 AB 于 M、交 BC 于 N解答：解： （1）观察发现如图（ 2） ，CE 的长为 BP+PE 的最小值，在等边三角形ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点CEAB ， BCE=BCA=30 ，BE=1，CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（ 3） ，过 B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P点，连结 OB、OE、OA、PB，BECD，CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，的度数为60 ，点 B 是的中点， BOC=30 ， AOC=60 ， EOC=30 ， AOE=60 +30 =90 ，OA=OE=1 ，AE=OA=，AE 的长就
25、是BP+AP 的最小值故答案为；（3）拓展延伸如图（ 4） 点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页学习必备欢迎下载3 （2012?凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题如图（ 1） ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，
26、很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l 看成一条直线（图（2） ） ，问题就转化为，要在直线l 上找一点P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6， BC 边上的高为 4，请你在BC 边上确定一点P，使 PDE 得周长最小（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（2）请直接写出PDE 周长的最小值：8考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：压轴题分析：（1）根据提供材料DE 不变， 只要求出
27、 DP+PE 的最小值即可，作D 点关于 BC 的对称点D ，连接 D E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D E 的值，即可得出答案解答：解： （1）作 D 点关于 BC 的对称点D ，连接 D E，与 BC 交于点 P，P点即为所求；（2）点 D、E 分别是 AB 、AC 边的中点，DE 为 ABC 中位线，BC=6 ，BC 边上的高为4，DE=3 ，DD =4，DE=5， PDE 周长的最小值为：DE+D E=3+5=8，故答案为： 8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31
28、 页学习必备欢迎下载点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求 PDE 周长的最小值，求出 DP+PE 的最小值即可是解题关键4 （2010?淮安） （ 1）观察发现：如（ a）图，若点A，B 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点P，使 AP+BP 的值最小做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B，连接 AB ，与直线 l 的交点就是所求的点P再如（ b）图，在等边三角形 ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值最小做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点， 恰好与点 C 重合， 连接 C
29、E 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点P，故 BP+PE的最小值为（2）实践运用：如（ c）图，已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为60 ，点 B 是的中点，在直径CD 上找一点P，使 BP+AP的值最小，并求BP+AP 的最小值（3）拓展延伸：如（ d）图，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点 P，使 APB= APD保留作图痕迹，不必写出作法考点 ：轴对称 -最短路线问题分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE AB，在直角 BCE 中， BEC=90 BC=2 ，BE=1，由勾股定理可求出 CE 的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD 上找一点 P，使 PA+P
30、B 的值最小， 设 A是 A 关于 CD 的对称点， 连接 AB，与 CD的交点即为点P此时 PA+PB=A B 是最小值，可证OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果（3）画点 B 关于 AC 的对称点B，延长 DB 交 AC 于点 P则点 P即为所求解答：解： （1）BP+PE 的最小值 =（2）作点 A 关于 CD 的对称点A ，连接 A B，交 CD 于点 P，连接 OA ，AA ，OB点 A 与 A关于 CD 对称， AOD 的度数为60 ， A OD=AOD=60 ，PA=PA ，点 B 是的中点， BOD=30 ， A OB=AOD+ BOD=90 ，精选学习资料 - - - -
31、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页学习必备欢迎下载 O 的直径 CD 为 4，OA=OA =2，AB=2PA+PB=PA +PB=A B=2（3）如图 d：首先过点B 作 BB AC 于 O，且 OB=OB ，连接 DB 并延长交 AC 于 P（由 AC 是 BB的垂直平分线，可得APB= APD ） 点评：此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边5 （2009?漳州）几何模型：条件：如下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线
32、l 上确定一点P，使 PA+PB 的值最小方法：作点A 关于直线 l 的对称点A ，连接 A B 交 l 于点 P，则 PA+PB=A B 的值最小（不必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为2，E 为 AB 的中点， P是 AC 上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称连接ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是；（2）如图 2， O 的半径为2，点 A、B、C 在 O 上， OA OB， AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图 3， AOB=45 ，P 是 AOB 内一点， PO=10，Q、R 分
33、别是 OA 、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：压轴题；动点型分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE ，在 ADE 中，根据勾股定理求得即可；（2）作 A 关于 OB 的对称点A，连接 AC，交 OB 于 P，求 A C 的长，即是PA+PC 的最小值；（3）作出点 P 关于直线OA 的对称点M，关于直线OB 的对称点N，连接 MN ，它分别与OA ，OB的交点 Q、R，这时三角形PEF 的周长 =MN ，只要求MN 的长就行了解答：解： （1）四边形ABCD 是正方形，AC 垂直平分BD ，PB=PD ，由题意易得： PB+PE=PD+P
34、E=DE ，在ADE 中，根据勾股定理得，DE=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页学习必备欢迎下载（2）作 A 关于 OB 的对称点A，连接 AC，交 OB 于 P，PA+PC 的最小值即为A C 的长， AOC=60 A OC=120作 OD A C 于 D，则 AOD=60 OA =OA=2 AD=；（3）分别作点P 关于 OA、OB 的对称点M、N，连接 OM、ON、MN ，MN 交 OA 、OB 于点 Q、R，连接 PR、PQ，此时 PQR 周长的最小值等于MN 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10
35、 ， MOA= POA ， NOB= POB， MON=2 AOB=2 45 =90 ，在 RtMON 中， MN=10即PQR 周长的最小值等于10点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识6 （2006?湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为A（2， 3） ，B（4， 1） （1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当p=时， PAB 的周长最短；（2）若 C（ a，0） ，D（a+3，0）是 x 轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请
36、问：是否存在这样的点M（m，0） 、N（0，n） ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=，n=（不必写解答过程） ；若不存在，请说明理由考点 ：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质专题 ：压轴题分析：（1）根据题意，设出并找到B（4， 1）关于 x 轴的对称点是B，其坐标为（ 4，1） ，进而可得直线 AB 的解析式，进而可得答案；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页学习必备欢迎下载（2）过 A 点作 AEx 轴于点 E，且延长AE，取 AE=AE 做点 F（1， 1） ，连接 AF利用两点间的线段最
37、短，可知四边形ABDC 的周长最短等于AF+CD+AB ，从而确定C 点的坐标值（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN 周长最短的点M、N，当且仅当m=，n=；时成立解答：解： （1）设点 B（4， 1）关于 x 轴的对称点是B，其坐标为（4，1） ，设直线 AB 的解析式为y=kx+b ，把 A（2， 3） ，B（4，1）代入得：，解得，y=2x 7，令 y=0 得 x=，即 p=（2）过 A 点作 AEx 轴于点 E，且延长 AE，取 AE=AE 做点 F（ 1， 1） ，连接 AF那么 A（2，3） 直线 AF 的解析式为，即 y=4x5，C 点的坐标为（ a，0） ，且在直线
38、AF 上，a=（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作 A 关于 y 轴的对称点A，作 B 关于 x 轴的对称点B ，连接 AB ，与 x 轴、 y 轴的交点即为点M、N，A（ 2， 3） ，B （4，1） ，直线 A B 的解析式为： y=x，M（， 0） ，N（0，） m=，n=点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页学习必备欢迎下载7 （2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到
39、A，B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：作图题分析：利用轴对称图形的性质可作点A 关于公路的对称点A ，连接 A B，与公路的交点就是点P 的位置解答：解：点 P就是飞机场所在的位置（5 分）点评：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离用到的知识：两点之间线段最短8 （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A，B，已知 AB=10 千米，直线AB 与公路 MN 的夹角 AON=30 ，新开发区B 到公路 MN 的距离 BC=3 千米（1）新开发区A 到公路 MN 的距离为8；（2）现要在 MN 上某点 P处向新开发区A
40、，B 修两条公路PA，PB，使点 P到新开发区A，B 的距离之和最短此时 PA+PB=14（千米）考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：计算题；压轴题分析：（1）先求出OB 的长，从而得出OA 的长，再根据三角函数求得到公路的距离（2）根据切线的性质得EF=CD=BC=3 ，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根据余弦概念求解解答：解： （1） BC=3 ， AOC=30 ，OB=6 过点 A 作 AEMN 于点 E， AO=AB+OB=16 ，AE=8 即新开发区A 到公路的距离为8 千米；（2）过 D 作 DFAE 的延长线（点D 是点 B 关于 MN 的对称点），垂足为 F则 EF=C
41、D=BC=3 ，AF=AE+EF=AE+BC=11，过 B 作 BGAE 于 G，BG=DF ，BG=AB ?cos30 =5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页学习必备欢迎下载，连接 PB，则 PB=PD，PA+PB=PA+PD=AD=14 （千米）点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力9 （2006?巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点A 平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l 上点 P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在
42、图中画出点P 的位置考点 ：轴对称 -最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换专题 ：作图题分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点A 的对称点，连接 A1B 与 l 相交于点P，即为所求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页学习必备欢迎下载解答：解：点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方
43、向和距离，先确定一组对应点； 确定图形中的关键点； 利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； 按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形10 （2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y 轴（1）请画出：点A、B 关于原点O 的对称点A2、 B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接 A1A2、 B1B2（其中 A2、B2为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段 AB 两端点的坐标分别为A（ 2，4） 、B（ 4，2） ，连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点C
44、，使A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由考点 ：作图 -轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题专题 ：作图题；证明题；压轴题；探究型分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2， B2，连接即可（2）设 A（ x1，y1） 、B（x2， y2）依题意与（ 1）可得 A1（ x1，y1） ，B1（ x2，y2） ， A2（ x1，y1） ，B2（ x2，y2） ，得到 A1、B1关于 x 轴的对称点是A2、B2，所以 x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2（3）根据 A1与 A2，B1与 B2均关于 x
45、 轴对称，连接A2B1交 x 轴于 C，点 C 为所求的点根据题意得 B1（4，2） ，A2（ 2， 4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页学习必备欢迎下载设直线 A2B1的解析式为y=kx+b 则利用待定系数法解得，所以可求直线A2B1的解析式为 y=3x10令 y=0， 得 x=， 所以 C 的坐标为（，0） 即点 C （， 0） 能使 A1B1C 与 A2B2C的周长之和最小解答：解： （1）如图， A2、B2为所求的点（2）设 A（ x1，y1） 、B（x2， y2）依题意与（ 1）可得 A1（ x1，y
46、1） ，B1（ x2，y2） ，A2（ x1， y1） ，B2（ x2， y2）A1、B1关于 x 轴的对称点是A2、B2，x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2（3）存在符合题意的C 点由（ 2）知 A1与 A2，B1与 B2均关于 x 轴对称，连接 A2B1交 x 轴于 C，点 C 为所求的点A（ 2，4） ，B（ 4，2）依题意及（1）得：B1（ 4，2） ， A2（2， 4） 设直线 A2B1的解析式为y=kx+b 则有解得直线 A2B1的解析式为y=3x10，令 y=0，得 x=，C 的坐标为（，0）综上所述，点C（，0）能使 A1B1C 与A2B2C 的周长之和最小点评：主要考查了轴
47、对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质要知道对称轴垂直平分对应点的连线会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键11 （2001?宜昌）某大型农场拟在公路L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置C，使 A、 B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页学习必备欢迎下载考点 ：轴对称 -最短路线问题专题
48、 ：作图题分析：作 A 关于直线L 的对称点E，连接 BE 交直线 L 于 C，则 C 为所求解答：答：如图：点评：本题主要考查对轴对称最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，12 （2012?淮安）阅读理解如图 1，ABC 中，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分； ；将余下部分沿BnAnC 的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角 BAC 的
49、平分线AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二： 如图 3，沿 BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿B1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点 C 重合探究发现（1）ABC 中， B=2 C，经过两次折叠，BAC 是不是 ABC 的好角？是（填 “ 是” 或“ 不是 ” ） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角， 请探究 B 与 C （不妨设 B C）之间的等量关系 根据以上内容猜想：若经过n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角，则 B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系为B=nC应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15 、 60 、1
50、05 ，发现 60 和 105 的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4 ，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角考点 ：翻折变换（折叠问题） 专题 ：压轴题；规律型分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=2C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2= C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知BAC+2 B2C=180，根据三角形ABC 的内角和定理知BAC+ B+C=180，由 可以求得 B=3C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=nC；（3）利用（ 2）的
51、结论知 B=nC， BAC 是ABC 的好角， C=nA， ABC 是ABC 的好精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页学习必备欢迎下载角，A=nB，BCA 是ABC 的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是 4、172；8、168；16、160；44、132；88 、88 解答：解： （1）ABC 中， B=2C，经过两次折叠，BAC 是ABC 的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，沿 BAC 的平分线AB1折叠， B=AA1B1；又将余下部分沿B1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点B1
52、与点 C 重合， A1B1C= C； AA1B1= C+A1B1C（外角定理） ， B=2C， BAC 是ABC 的好角故答案是：是；（2） B=3C；如图所示，在ABC 中，沿 BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C 的平分线A2B3折叠，点 B2与点 C 重合，则 BAC 是ABC 的好角证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1， C=A2B2C， A1 B1C=A1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知，BAC+ B+ AA1B1 A1 B1C=
53、BAC+2 B 2C=180 ，根据三角形ABC 的内角和定理知，BAC+ B+ C=180 ， B=3C；由小丽展示的情形一知，当B= C 时， BAC 是ABC 的好角；由小丽展示的情形二知，当B=2C 时， BAC 是ABC 的好角；由小丽展示的情形三知，当B=3C 时， BAC 是ABC 的好角；故若经过n 次折叠 BAC 是ABC 的好角，则B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系为B=nC；（3）由（ 2）知设 A=4 ， C 是好角， B=4n ； A 是好角， C=mB=4mn ，其中 m、 n 为正整数得4+4n+4mn=180 如果一个三角形的最小角是4 ，三角形另外两个
54、角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88 、88 点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质难度较大13 （2013?青羊区一模）如图， ABC 中 AB=AC ， BC=6，点 P 从点 B 出发沿射线BA 移动，同时，点 Q 从点 C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D（1）如图 ，当点 P 为 AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图 ，过点 P 作直线 BC 的垂线垂足为E，当点 P、 Q 在移动的过程中，线段BE、DE、CD 中是否存在长度
55、保持不变的线段？请说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页学习必备欢迎下载考点 ：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题 ：几何综合题；压轴题；分类讨论分析：（1）过点 P 做 PF 平行与 AQ ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC ，根据等边对等角得角B 和角 ACB 的相等，根据等量代换的角B 和角 PFB 的相等，根据等角对等边得BP=PF，又因点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD 和三角形QCD
56、的全等， 根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=CF，而又因 P 是 AB 的中点， PFAQ 得出 F 是 BC 的中点，进而根据已知的BC 的长，求出CF，即可得出CD 的长（2）分两种情况讨论，第一种情况点P 在线段 AB 上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF ，再又第一问的全等可知DF=CD，所以 ED=，得出线段DE 的长为定值；第二种情况， P在 BA 的延长线上，作PM 平行于 AC 交 BC 的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角 PMB 等于角 ACB ，而角 ACB 等于角 ABC ，根据等量代换得到角ABC 等于角 PMB ，根据等角对等边得到PM 等于
57、 PB，根据三线合一，得到BE 等于 EM，同理可得 PMD 全等于 QCD，得到CD 等于 DM ，根据 DE 等于 EM 减 DM ，把 EM 换为 BC 加 CM 的一半，化简后得到值为定值解答：解： （1）如图，过P点作 PF AC 交 BC 于 F，点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，BP=CQ，PFAQ， PFB=ACB ， DPF=CQD，又 AB=AC ， B=ACB ， B=PFB，BP=PF，PF=CQ，又 PDF=QDC ，证得 PFD QCD，DF=CD=CF，又因 P 是 AB 的中点， PFAQ，F 是 BC 的中点，即FC=BC=3 ，CD=CF=；（2）分两
58、种情况讨论，得ED 为定值，是不变的线段如图，如果点P 在线段 AB 上，过点 P 作 PF AC 交 BC 于 F， PBF 为等腰三角形，PB=PF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页学习必备欢迎下载BE=EF ，PF=CQ，FD=DC ，ED=，ED 为定值，同理，如图，若P在 BA 的延长线上，作 PM AC 的延长线于M， PMC=ACB ，又 AB=AC ， B=ACB ， B=PMC ，PM=PB ，根据三线合一得BE=EM ，同理可得 PMD QCD，所以 CD=DM ，综上所述，线段ED 的长度
59、保持不变点评：此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题14 （2012?东城区二模）已知：等边ABC 中，点 O 是边 AC ，BC 的垂直平分线的交点，M，N 分别在直线AC ，BC 上，且 MON=60 （1）如图 1，当 CM=CN 时， M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出AM 、 CN、MN 三者之间的数量关系；（2）如图 2，当 CM CN 时，M、N 分别在边AC 、BC 上时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，
60、请直接写出线段AM 、CN、MN 三者之间的数量关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页学习必备欢迎下载考点 ：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（1）在 AM 上截取 AN =CN，连接 ON， OC，OA ，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出OCN=OAN =30 ，OC=OA ，证 OCN OAN 推出 ON=ON ， CON=AON ，求出NOM= MON ，根据 SAS 证 MON MON ，推出 MN=MN ，即可求出答案；（2）结论还成立，证明过程与（1）类似；（3）结论是 MN=C
61、N+AM ，延长 CA 到 N ，使 AN =CN，连接 OC，OA，ON ，证 OCN OAN 推出ON=ON ， CON=AON ，求出 NOM= MON ，根据 SAS 证MON MON ，推出 MN=MN ，即可求出答案；解答：解： （1）MN=AM CN，理由是：在AM 上截取 AN =CN ，连接 ON，OC，OA ，O 是边 AC 和 BC 垂直平分线的交点，ABC 是等边三角形，OC=OA ，O 也是等边三角形三个角的平分线交点， OCA= OAB= OCN= 60 =30 ， AOC=180 30 30 =120 ， NCO=OAN ，在 OCN 和OAN 中， OCN OA
62、N （SAS） ，ON =ON，CON=AON ， COA=120 ， NOM=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页学习必备欢迎下载 CON+COM=60 ， AON +COM=60 ，即 NOM= NOM ，在 NOM 和N OM 中， NOM NOM，MN=MN ，MN =AM AN =AM CN，MN=AM CN（2）MN=AM CN，证明：理由是：在AM 上截取 AN =CN，连接 ON ，OC， OA，O 是边 AC 和 BC 垂直平分线的交点，ABC 是等边三角形，OC=OA ，由三线合一定理得
63、：OCB=OCA= OAC=30 ， AOC=180 30 30 =120 ， OCN=OAN =30 ，在 OCN 和OAN 中， OCN OAN （SAS） ，ON=ON ， CON=AON N ON=COA=120 ，又 MON=60 ， MON= MON =60在 NOM 和N OM 中， NOM NOM，MN=MN ，MN =AM AN =AM CN，MN=AM CN（3）解： MN=CN+AM ，理由是：延长CA 到 N，使 AN =CN，连接 OC，OA ，ON，O 是边 AC 和 BC 垂直平分线的交点，ABC 是等边三角形，OC=OA ，由三线合一定理得：OCA= OAB=3
64、0 ， AOC=180 30 30 =120 ， OCN=OAN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页学习必备欢迎下载在 OCN 和OAN 中， OCN OAN （SAS） ，ON =ON， CON=AON ， COA=120 ， NOM=60 ， CON+AOM=60 ， AON +AOM=60 ，即 NOM= NOM ，在 NOM 和N OM 中， NOM NOM，MN=MN ，MN =AM+AN =AM+CN ，MN=AM+CN 点评：本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能
65、力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似15 （2012?潮阳区模拟）如图，线段CD 垂直平分线段AB，CA 的延长线交BD 的延长线于E，CB 的延长线交AD的延长线于F，求证： DE=DF 考点 ：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题 ：证明题分析：根据线段垂直平分线得出AC=BC ， BD=AD ，推出 CBE= CAF ，证BCE ACF，推出 BE=AF ，即可得出答案解答：证明：线段CD 垂直平分AB ，AC=BC ，AD=BD ， CAB= CBA ， BAD= ABD ， CAB+ BAD= CBA+ ABD ，即 CBE=CAF ，在BCE 和ACF 中，
66、 BCE ACF （ASA ） ，BE=AF ，BD=AD ，BEBD=AF AD ，即 DE=DF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页学习必备欢迎下载点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用16如图，在 ABC 和DCB 中， AB=DC ，AC=DB ，AC 与 DB 交于点 M求证：（1）ABC DCB；（2）点 M 在 BC 的垂直平分线上考点 ：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题 ：证明题分析：（1）由已知和BC=BC ，根据 S
67、SS即可推出两三角形全等；（2）由全等得出DBC= ACB ，推出 MB=MC ，根据线段垂直平分线定理得出即可解答：（1）证明：在ABC 和DCB 中， ABC DCB （SSS） （2）证明：由（1）知： ABC DCB ， ACB= DBC，MB=MC ，点 M 在 BC 的垂直平分线上点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线定理的应用，关键是推出 ABC DCB ，题目比较好，难度适中17如图， ABC 的边 BC 的垂直平分线DE 交 BAC 的外角平分线AD 于 D，E 为垂足， DFAB 于 F，且 ABAC，求证： BF=AC+AF 考点 ：全等三角形的判定与性质
68、；线段垂直平分线的性质专题 ：证明题分析：过 D 作 DN AC ， 垂足为 N， 连接 DB 、 DC， 推出 DN=DF ， DB=DC ， 根据 HL 证 RtDBF RtDCN ，推出 BF=CN ，根据 HL 证 RtDFA RtDNA ，推出 AN=AF 即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页学习必备欢迎下载解答：证明：过 D 作 DNAC ，垂足为N，连接 DB 、DC，则 DN=DF （角平分线性质） ，DB=DC （线段垂直平分线性质），又 DFAB ，DNAC， DFB= DNC=90 ，在
69、RtDBF 和 RtDCN 中，Rt DBFRtDCN （HL）BF=CN ，在 RtDFA 和 RtDNA 中，Rt DFARtDNA （HL）AN=AF ，BF=AC+AN=AC+AF，即 BF=AF+AC 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键18已知 ABC 的角平分线AP 与边 BC 的垂直平分线PM 相交于点P，作 PK AB，PLAC，垂足分别是K、L，求证： BK=CL 考点 ：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题 ：证明题分析：连接 PB
70、，PC，根据 PM 垂直平分线段BC 可知 PB=PC，已知 AP 平分 BAC ，PK AB，PLAC 可知 PK=PL，从而可证 BPK CPL，可得 BK=CL 解答：证明：连接PB，PC，PM 垂直平分线段BC，PB=PC，AP 平分 BAC ，PKAB，PLAC ，PK=PL ， BPK CPL（HL ） ，BK=CL 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页学习必备欢迎下载点评：本题考查了线段的垂直平分线性质，角平分线性质，关键是明确P 点既在垂直平分线上，又在角平分线上19某私营企业要修建一个加油站，如图
71、，其设计要求是，加油站到两村A、B 的距离必须相等，且到两条公路m、n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（要有作图痕迹）考点 ：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质专题 ：应用题；作图题分析：连接 A、B，作 AB 的垂直平分线，然后作两条公路m 和 n 夹角的平分线，其交点即为加油站的位置解答：解：作图如图，点P即为所求作的点点评：此题考查学生对角平分线的性质和线段垂直平分线的性质的理解和掌握特别要注意让学生牢记角平分线的性质定理20如图，在 ABC 中， AB=AC ， A=120 ，BC=9cm ， AB 的垂直平分线MN 交 BC 于 M，交 AB 于 N
72、，求 BM的长考点 ：线段垂直平分线的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页学习必备欢迎下载分析：先连接 AM ，根据 ABC 中， AB=AC ， A=120 可求出 B=C=30 ，再由线段垂直平分线的性质可知， BM=AM ，1= B=30 ，进而可得出MAC 的度数，在RtMAC 中利用 30 的角所对的直角边等于斜边的一半即可解答解答：解：连接 AM ， ABC 中， AB=AC ， A=120 ， B=C=30 ，MN 是 AB 的垂直平分线，BM=AM ， 1=B=30 ， MAC=90 ，在 Rt
73、MAC 中， C=30 ，AM=MC ，BC=9cm ，BM=AM ，AM+CM=9cm ，AM=3cm ，即 BM=3cm 故 BM 的长为： 3cm点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键21 如图，在ABC 中， BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P， 过点 P 分别作 PNAB 于 N， PMAC于点 M，求证： BN=CM 考点 ：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质专题 ：证明题分析：连接 PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据 HL 证RtPMC
74、 RtPNB ，即可得出答案解答：证明：连接PB，PC，AP 是 BAC 的平分线， PNAB ，PMAC ，PM=PN ， PMC=PNB=90 ，P 在 BC 的垂直平分线上，PC=PB，在 RtPMC 和 RtPNB 中，Rt PMCRtPNB（HL） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页学习必备欢迎下载BN=CM 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力22如图己知在 ABC 中， C=90 ，B=15 ，DE 垂直平分AB，E
75、为垂足交BC 于 D，BD=16cm ，求 AC 长考点 ：线段垂直平分线的性质分析：根据线段垂直平分线得出BD=AD=16cm ，推出 B=BAD=15 ，根据三角形的外角性质求出ADC=30 ，根据含30 度角的直角三角形性质得出AC=AD ，代入求出即可解答：解： DE 垂直平分 AB ，BD=AD=16cm ， B=BAD=15 ， ADC=15 +15 =30 ， C=90 ，AC=AD=8cm ，点评：本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的综合运用，题目比较典型，是一道比较好的题目精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页
