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1、1 圆章节知识点复习圆的记忆口诀:常把半径直径连,有弦可做弦心距,它定垂直平分弦,直圆周角立上边。圆有内接四边形,对角互补记心间,外角等于内对角,四边形定内接圆,直角相对成共弦,试试加一个辅助圆,若是证题打转轴,四点共圆可解难,要想证明圆切线,垂直半径过外端,直线与圆有共点,证垂直来半径连直线与圆未给点,需证半径作垂线,四边形有内切圆,对边和等是条件,如果遇到圆与圆,弄清位置很关键,圆相切做公切,两圆想交连工弦。一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;2、垂直平分线:到线
2、段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;rddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
3、 - - - - -第 1 页,共 7 页2 四、圆与圆的位置关系外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理:此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即:AB是直径ABCD
4、CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧ADdrd=rrd图 1rRd图3rRd图2rRd图4rRd图 5rRd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页3 中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O中,ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理, 即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等,则可以推出其它的3 个结论,即:AOBDOE;ABDE;OCOF;弧BA弧BD七、圆周角定理1、 圆周角定
5、理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在O中,C、D都是所对的圆周角CD推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在O中,AB是直径或90C90CAB是直径OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页4 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半
6、,那么这个三角形是直角三角形。即:在ABC中,OCOAOBABC是直角三角形或90C注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在O中,四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过
7、切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等 ,CBAOEDCBANMAOPBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页5 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理(1)相交弦定理 :圆内两弦相交, 交点分得的两条线段的乘积相等。即:在O中,弦AB、CD相交于点P,PA PBPC PD(2)推论:如果弦与
8、直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即:在O中,直径ABCD,2CEAE BE(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在O中,PA是切线,PB是割线2PAPC PB(4)割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 。即:在O中,PB、PE是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:12O O垂直平分AB。即:1O、2O相交于A、B两点12O O垂直平分ABPODCBAOEDCBADECBPA
9、OBAO1O2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页6 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:12RtO O C 中,22221122ABCOOOCO;(2)外公切线长:2CO是半径之差;内公切线长:2CO是半径之和。十四、弦切角定理顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 。十五、 圆内正多边形的计算(1)正三角形在O中ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD中进行::1:3 :2ODBD OB;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE中进行
10、,:1:1:2OEAE OA:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB中进行,:1:3:2AB OB OA.CO2O1BADCBAOECBADOBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页7 十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:180n Rl;(2)扇形面积公式:213602n RSlRn:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr(2)圆柱的体积:2Vr h3、侧面展开图(1)SSS侧表底=2Rrr(2)圆锥的体积:213Vr hSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页