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1、专题 4 几何证明【知识要点】1. 进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用； 2. 通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证； 3. 证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。【概念回忆 】 1. 全等三角形的性质：对应边 ，对应角对应高线 ，对应中线 ，对应角的角平分线 。 2. 在 RtABC中，C=90，A=30，则 BC ：AC ：AB= 。【例题解析】【题1】已知在 ABC中，108A，AB AC ，BD平分ABC求证：BC AB CD 【题2】如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，且求证：.【题3】如图， AD 为ABC的角平分线且BDACFE精选学习资
2、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页BD CD 求证： AB AC. 【题4】已知：如图，点B、F、C、E 在同一直线上， BF=CE，ABED，ACFD，证明 AB=DE ，AC=DF.【题 5】已知：如图， ABC是正三角形， P是三角形内一点， PA 3，PB 4，PC 5求：APB的度数【题 6】如图： ABC中，ACB=90 ，AC=BC ，AE是 BC边上的中ECDGABA P C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页线，过 C作 C
3、F AE ，垂足是 F， 过 B作 BD BC交 CF的延长线于 D。（1）求证：AE=CD; （2）假设 AC=12，求 BD的长. 【题 7】等边三角形 CEF于菱形 ABCD 边长相等 . 求证： 1AEF= AFE(2) 角 B的度数【题 8】如图，在 ABC中，C=2B，AD是ABC的角平分线，1=B，求证： AB=AC+CD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页【题 9】如图，在三角形ABC中，AD是 BC边上的中线， E是 AD的中点， BE的延长线交 AC于点 F. 求证： AF=21FC 【题10
4、】如图，将边长为 1的正方形 ABCD 绕点 C旋转到 ABCD 的位置，假设 BCB=30 度，求 AE的长. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页【题11】AD,BE分别是等边 ABC中 BC,AC上的高。M,N分别在 AD,BE的延长线上， CBM= ACN. 求证 AM=BN. 【题 12】已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，ABEDCF. 求证：BE CF. 【稳固练习 】【练 1】 如图，已知 BE 垂直于 AD，CF 垂直于 AD，且 BE=CF.
5、（1）请你判断 AD 是三角形 ABC 的中线还是角平分线？请证明你的结论。（2）链接 BF,CE，假设四边形 BFCE 是菱形，则三角形 ABC 中应添加一个什么条件？OFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页【练 2】在等腰直角三角形ABC 中，O 是斜边 AC 的中点， P 是斜边上的一个动点，且PB=PD，DE 垂直 AC，垂足为 E。（1）求证： PE=BO （2）设 AC=3a，AP=x，四边形 PBDE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式。【练3】已知：如图，在四边形ABCD 中，A
6、DBC，M、N 分别是AB、CD的中点， AD ，BC的延长线叫 MN与 E、F 求证DEN= F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页【练4】如图，假设 C在直线 OB上，试判断 CDM 形状。【练5】已知ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD 1、【练 6】如图，等边三角形 ABC的边长为 2，点 P和点 Q分别是从A和 C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线 AB运动，Q点沿点 C在 BC延长线上运动。 设 PQ与直线 AC相
7、交于点 D ，作 PE AC于点 E，当 P和 Q运动时，线段 DE的长度是否改变？证明你的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页【提示】【题 1】分析：在上截取，连接可得BAD BED 由 已 知 可 得 ：18ABDDBE，108ABED，36CABC72DECEDC， CD CE ，BC ABCD 【题 2】分析：将 ABF视为 ADE绕顺时针旋转90即可90FABBAEEADBAEFBAEDA又90FBAEDA， ABF ADE 【题 3】分析：延长到使得 易证ABD ECD BADCADECAD【题 4
8、】此题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明： BF=CE 又BF+CF=BC CE+CF=EF BC=EF AB DE ，AC FD B=E，DFE= BCA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页又BF=CE DEF ABC ASA AB=DE ，AC=DF【题 5】顺时针旋转 ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=1500。【题 6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等
9、于90，再试其它角加这个公共角是否能等于 90，能说明它俩相等。证明： 1BD BC ，CF AE DBC= ACB= EFC=90 D+ BCD=90 FEC+ BCD=90 D= FEC 又 DBC= ACE=90 ，AC=BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页DBC ACE HL AE=CD 2由1可知BDC ACE BC=AC=12 ，BD=CE AE是 BC边上的中线BE=EC=12BC=6BD=CE BD=6【题 7】解：CB=CE,CD=CF B= CEB ，D= CFD B= D(菱形的对角相等C
10、EB= CFD CEF= CFE=60 CEB+ CEF+ AEF=180 CED+ CFE+ AFE=180 AEF= AFE (2)设B=X,则A=180 X，CEB=X AEF= AFE,A= AEF+ AFE=180 (180 X ) +2 AEF=180 AEF=X/2 CEB+ CEF+ AEF=180 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页X+60 +X/2=180X=80 B=80【题 8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段，只能证 AC 、CD这两条线段与 AB这条线段平分的两条线段A
11、E 、BE相等，从而证明出来。证明： AED是EDB的一个外角又 1=B AED=2 B AED= C=2 B AD是ABC的角平分线CAD= DAE 又 AED= C，AD=DA ACD AED AAS AC=AE ，CD=DE 1=B DE=BE CD=BE AB=AE+BE 又AC=AE ，CD=BE AB=AC+CD 【题 9】解析：作 CF的中点 G ，连接 DG ，则 FG=GC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页又BD=DC DG BF AE ED=AF FG AE=ED AF=FG FCAF=21
12、即 AF=21FC 【题 10】提示：证明三角形 ABD和三角形 CAF全等。AEBD 四点共圆。四边形 EDCF 是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【题11】证明：因为ABC为等边三角形， AD垂直于 BC 、BE垂直于 AC ，所以 BAM= CBN ，又因为 CBM= ACN 所以ABM= BCN在ABM 和BCN 中，有 AB=BC BAM= CBN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页ABM= BCN由三角形全等的判定ASA得ABM 和BCN 全等所以 AM=BN 【题 12】分析： 要证明BE CF，只要证明EF；已知ABEDCF，又由三角形的外角性质可知EBAOABE，FCDODCF，因此只要证明BAOCDO. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
