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1、专题 4 几何证明【知识要点】1. 进一步掌握直角三角形的性质,并能够熟练应用; 2. 通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证; 3. 证明要合乎逻辑,能够应用综合法熟练地证明几何命题。【概念回忆 】 1. 全等三角形的性质:对应边 ,对应角对应高线 ,对应中线 ,对应角的角平分线 。 2. 在 RtABC中,C=90,A=30,则 BC :AC :AB= 。【例题解析】【题1】已知在 ABC中,108A,AB AC ,BD平分ABC求证:BC AB CD 【题2】如图,点为正方形的边上一点,点为的延长线上的一点,且求证:.【题3】如图, AD 为ABC的角平分线且BDACFE精选学习资
2、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页BD CD 求证: AB AC. 【题4】已知:如图,点B、F、C、E 在同一直线上, BF=CE,ABED,ACFD,证明 AB=DE ,AC=DF.【题 5】已知:如图, ABC是正三角形, P是三角形内一点, PA 3,PB 4,PC 5求:APB的度数【题 6】如图: ABC中,ACB=90 ,AC=BC ,AE是 BC边上的中ECDGABA P C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页线,过 C作 C
3、F AE ,垂足是 F, 过 B作 BD BC交 CF的延长线于 D。(1)求证:AE=CD; (2)假设 AC=12,求 BD的长. 【题 7】等边三角形 CEF于菱形 ABCD 边长相等 . 求证: 1AEF= AFE(2) 角 B的度数【题 8】如图,在 ABC中,C=2B,AD是ABC的角平分线,1=B,求证: AB=AC+CD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页【题 9】如图,在三角形ABC中,AD是 BC边上的中线, E是 AD的中点, BE的延长线交 AC于点 F. 求证: AF=21FC 【题10
4、】如图,将边长为 1的正方形 ABCD 绕点 C旋转到 ABCD 的位置,假设 BCB=30 度,求 AE的长. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页【题11】AD,BE分别是等边 ABC中 BC,AC上的高。M,N分别在 AD,BE的延长线上, CBM= ACN. 求证 AM=BN. 【题 12】已知:如图,AD、BC相交于点O,OA=OD,OB=OC,点E、F在AD上,且AE=DF,ABEDCF. 求证:BE CF. 【稳固练习 】【练 1】 如图,已知 BE 垂直于 AD,CF 垂直于 AD,且 BE=CF.
5、(1)请你判断 AD 是三角形 ABC 的中线还是角平分线?请证明你的结论。(2)链接 BF,CE,假设四边形 BFCE 是菱形,则三角形 ABC 中应添加一个什么条件?OFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页【练 2】在等腰直角三角形ABC 中,O 是斜边 AC 的中点, P 是斜边上的一个动点,且PB=PD,DE 垂直 AC,垂足为 E。(1)求证: PE=BO (2)设 AC=3a,AP=x,四边形 PBDE 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式。【练3】已知:如图,在四边形ABCD 中,A
6、DBC,M、N 分别是AB、CD的中点, AD ,BC的延长线叫 MN与 E、F 求证DEN= F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页【练4】如图,假设 C在直线 OB上,试判断 CDM 形状。【练5】已知ABC ,AD是 BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证:EF=2AD 1、【练 6】如图,等边三角形 ABC的边长为 2,点 P和点 Q分别是从A和 C两点同时出发,做匀速运动,且他们的速度相同,点P沿射线 AB运动,Q点沿点 C在 BC延长线上运动。 设 PQ与直线 AC相
7、交于点 D ,作 PE AC于点 E,当 P和 Q运动时,线段 DE的长度是否改变?证明你的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页【提示】【题 1】分析:在上截取,连接可得BAD BED 由 已 知 可 得 :18ABDDBE,108ABED,36CABC72DECEDC, CD CE ,BC ABCD 【题 2】分析:将 ABF视为 ADE绕顺时针旋转90即可90FABBAEEADBAEFBAEDA又90FBAEDA, ABF ADE 【题 3】分析:延长到使得 易证ABD ECD BADCADECAD【题 4
8、】此题比较简单,难点在BF+CF=CE+CF这,一般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明: BF=CE 又BF+CF=BC CE+CF=EF BC=EF AB DE ,AC FD B=E,DFE= BCA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页又BF=CE DEF ABC ASA AB=DE ,AC=DF【题 5】顺时针旋转 ABP 600,连接 PQ ,则 PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=1500。【题 6】解析:如果遇到这类题,有时在图形中隐藏着一些不明显的条件,你就先试试一个角加公共角等
9、于90,再试其它角加这个公共角是否能等于 90,能说明它俩相等。证明: 1BD BC ,CF AE DBC= ACB= EFC=90 D+ BCD=90 FEC+ BCD=90 D= FEC 又 DBC= ACE=90 ,AC=BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页DBC ACE HL AE=CD 2由1可知BDC ACE BC=AC=12 ,BD=CE AE是 BC边上的中线BE=EC=12BC=6BD=CE BD=6【题 7】解:CB=CE,CD=CF B= CEB ,D= CFD B= D(菱形的对角相等C
10、EB= CFD CEF= CFE=60 CEB+ CEF+ AEF=180 CED+ CFE+ AFE=180 AEF= AFE (2)设B=X,则A=180 X,CEB=X AEF= AFE,A= AEF+ AFE=180 (180 X ) +2 AEF=180 AEF=X/2 CEB+ CEF+ AEF=180 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页X+60 +X/2=180X=80 B=80【题 8】解析:这种类型的题,一般是一条长的线段被分为两段,只能证 AC 、CD这两条线段与 AB这条线段平分的两条线段A
11、E 、BE相等,从而证明出来。证明: AED是EDB的一个外角又 1=B AED=2 B AED= C=2 B AD是ABC的角平分线CAD= DAE 又 AED= C,AD=DA ACD AED AAS AC=AE ,CD=DE 1=B DE=BE CD=BE AB=AE+BE 又AC=AE ,CD=BE AB=AC+CD 【题 9】解析:作 CF的中点 G ,连接 DG ,则 FG=GC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页又BD=DC DG BF AE ED=AF FG AE=ED AF=FG FCAF=21
12、即 AF=21FC 【题 10】提示:证明三角形 ABD和三角形 CAF全等。AEBD 四点共圆。四边形 EDCF 是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【题11】证明:因为ABC为等边三角形, AD垂直于 BC 、BE垂直于 AC ,所以 BAM= CBN ,又因为 CBM= ACN 所以ABM= BCN在ABM 和BCN 中,有 AB=BC BAM= CBN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页ABM= BCN由三角形全等的判定ASA得ABM 和BCN 全等所以 AM=BN 【题 12】分析: 要证明BE CF,只要证明EF;已知ABEDCF,又由三角形的外角性质可知EBAOABE,FCDODCF,因此只要证明BAOCDO. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页