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1、精品资料欢迎下载分式函数的图像与性质学习过程一、课前准备1、分式函数的概念形 如22(,)a xb xcya b c de fRd xe xf的 函 数 称 为 分 式 函 数 。 如221xyxx,212xyx,413xyx等。2、分式复合函数形如22( )( )( , , , , ,)( )( )a f xbf xcya b c d e fRd f xef xf的函数称为分式复合函数。如22112xxy,sin23sin3xyx,123xyx等。二、新课导学 学习探究探究任务一 :函数(0)byaxabx的图像与性质问题 1:( , , ,)axbya b c dRcxd的图像是怎样的?例
2、 1、画出函数211xyx的图像, 依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111xxyxxx, 即函数211xyx的图像可以经由函数1yx的图像向右平移1 个单位,再向上平移2 个单位得到。如下表所示:12111211yyyxxx右上由此可以画出函数211xyx的图像,如下:单调减区间:(,1),(1,);值域:(,2)(2,);对称中心:(1,2)。【反思】( , , ,)axbya b c dRcxd的图像绘制需要考虑哪些要素?该函数的单调性由哪些条件决定?【小结】( , , ,)axbya b c dRcxd的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移
3、得到,xOyxOy12xOy1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精品资料欢迎下载需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数( , , ,)axbya b c dRcxd的图像与性质(1)定义域:|dx xc;(2)值域:|ay yc;(3)单调性:单调区间为(,),(,+)ddcc;(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,daxycc,对称中心为点(,)dacc;(5)奇偶性:当0ad时为奇函数;(6)图象:如图所示问题 2:(0)byaxabx的图像是怎样的?例 2、根据yx与1yx的函数图像,绘制函数1yxx的图像
4、,并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性 (此点不作要求) ,关键点坐标 (最值点、 与坐标轴交点) 、辅助线 (对称轴、 渐近线)。绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限思想开展。解:函数的定义域为:|0x x;根据单调性定义,可以求出1yxx的单调区间增区间:(, 11,)减区间: 1,0),(0,1函数的值域为:(, 22,)函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:,yx0x函数的图像如下:xOyxOy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页
5、,共 11 页精品资料欢迎下载【反思】如何绘制陌生函数的图像?研究新函数性质应从哪些方面入手?【小结】分式函数( ,0)byaxa bx的图像与性质:(1)定义域:|0x x;(2)值域:|2,2y yabyab或;(3)奇偶性:奇函数;(4)单调性:在区间(,+)bbaa上是增函数,在区间(0,0)bbaa上为减函数;(5)渐近线:以y轴和直线yax为渐近线;(6)图象:如右图所示例 3、根据yx与1yx的函数图像, 绘制函数1yxx的图像, 并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验,不难绘制出1yxx的图像解:函数的定义域为:|0x x;根据单调性定义,可以判断出1yx
6、x的单调性,单调增区间为:(,0),(0,)xOyyxxOyyx1yxyaxbaba2ab2abxOy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精品资料欢迎下载函数的值域为:R函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:,yx0x函数的图像如下:【反思】结合刚才的两个例子,1yxx与1yxx的图像又是怎样的呢?思考12 +yxx与23yxx的图像是怎样的呢?( ,0)byaxa bR abx的图像呢?函数1yxx的图像如下,绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。【注】11()yxxxx,由于( )yfx与( )yf x的图像关于x
7、轴对称,所以还可以根据1yxx的图像,对称的画出1yxx的图像。同样的道理1yxx的图像与1yxx的图像关于x轴对称,所以图像如下:xOyxOyyx1yxxOyyxxOyyx1yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精品资料欢迎下载【小结】( ,0)byaxa bR abx的图像如下:(i )(0,0)byaxabx (ii) (0,0)byaxabx(iii) (0,0)byaxabxyaxxOyyaxxOyxOyxOy1yxx1yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
8、- - -第 5 页,共 11 页精品资料欢迎下载(iv) (0,0)byaxabx( ,0)byaxa bR abx的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。探究任务二 :函数22( , , , , ,)axbxcya b c d e fRdxexf的图像与性质问题 3: 函数2211xxyx的图像是怎样的?单调区间如何?【分析】22212(1)3(1)222(1)3111xxxxyxxxx22yxx122(1)1yxx左23211xxyx下所以2211xxyx的图像与22yxx的图像形状完全相同,只是位置不同。图像的对称中心为:( 1, 3)单调增区间为:(, 20,)单调减区间为
9、: 2, 1),( 1,0值域:(, 71,)图像如下:xOyyaxyaxxOy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精品资料欢迎下载【反思】函数2121xyxx的性质如何呢?单调区间是怎样的呢?【小结】对于分式函数22( , , , ,)axbxcya b c d e fRdxexf而言,分子次数高于分母时,可以采用问题3 中的方法, 将函数表达式写成部分分式,在结合函数的图像的平移,由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像,再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候,可以考虑分子分母同时除
10、以分子(确保分子不为0) ,再着力研究分母的性质与图像,间接地研究整个函数的性质。如:22111(1)221212(1)311xyxxxxxxxx 典型例题例 1、若,3x yRxyxy则xy的最小值是 _解: 由(1)3xyxyxxy,得31xyx3(1)44411221111xxxyxxxxxxxx【注】此处可以借助函数42(1)yttxt的图像与性质【变式】若,3x yRxyxy且,求xy的取值范围 .例 2、求函数2412( ),2,51xxf xxx的值域 . 解:22412(1)2(1)99( )=12111xxxxf xxxxx,令1tx,则9( )2,1,4f tttt,结合9
11、ytt图像与性质, 可知当1,3t时函数单调递减,当3,4t时函数单调递增,又17(1)8,(3)4,(4)4fff,所以( )4,8f x【注】 “换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。【变式】求函数21( ),2,5412xf xxxx的值域 .xOy12731精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精品资料欢迎下载例 3、已知( )af xxx在区间2,)单调递增,求a的取值范围 . 【分析】先定性分析,再定量研究,借助分类讨论思想展开. 解: 当0a时,( )f xx在区间2,)显
12、然单调递增;当0a时,结合( )af xxx的图像与性质,可知函数在区间2,)单调递增当0a时( )f x在区间,)a内单调递增,所以2a,所以(0,4a综上所述,实数a的取值范围为(,4. 【变式】已知( )af xxx在区间2,3)单调递减,求a的取值范围 .例 4、某工厂去年的某产品的年产量为100 万只,每只产品的销售价为10 元,固定成本为8 元今年,工厂第一次投入100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计产量年递增10 万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为1)(nkng(0,kk为常数,nZ且0n) ,若产品销售价保持不变,第n次投入后
13、的年利润为)(nf万元(1)求k的值,并求出)(nf的表达式;(2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解: (1)由1)(nkng,当0n时,由题意,可得8k,所以8( )(10010 )(10)1001f nnnn(2)由89( )(10010 )(10)100100080(1)1000802 952011f nnnnnn当且仅当1n19n,即8n时取等号,所以第 8 年工厂的利润最高,最高为520 万元 .例 5、已知221nnan,若8nan对所有的*nN均成立,求实数的取值范围 . 【分析】典型的恒成立问题,可以采用分离变量的方法,转化成函数最值问题研究解: 由题易知(
14、8)(21)2nnn,令(8)(21)( )2nnf nn,(8)(21)41725( )222nnf nnnn,当且仅当2n时取等号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精品资料欢迎下载所以252,即25(,)2. 【注】若*6( ),f nnnNn,注意取到等号的条件,关注函数的定义域,不能一味的根据基本不等式求解. 【变式】数列na满足:2156nnan,则数列na中na的最大值为 _ 学习小结学习评价 自我评价你本节课程学习情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟满分:
15、 10 分)计分:1、若,3,x yRxyy则xy的最小值是 _2、函数234xyx的值域是 _3、已知221( ),1,axxf xxx内单调递减,求实数a的取值范围。4、(1)若函数( )log4 ,(0,1)aaf xxaax的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数( )log4 ,(0,1)aaf xxaax的值域为R,求实数a的取值范围。5、设( ),0,+)1af xxxx(1)当4a时,求( )f x的最小值;(2)当(0,1)a时,判断( )f x的单调性,并写出( )f x的最小值。课后作业1、函数12( ),1,21f xxxx的值域为 _2、不等式20xax的在2,
16、 1内有实数解,则实数a的取值范围 _3、不等式20xax的在2, 1内恒成立,则实数a的取值范围 _4、函数221xxyxx的值域是 _5、定义在R上函数( )f x,集合Aa a为实数,且对于任意,( )xR f xa恒成立,且存在常数mA,对于任意nA,均有mn成立,则称m为函数( )f x在R上的“定下界”若21( )12xxf x,则函数( )f x在R上的“定下界”m_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精品资料欢迎下载6、 【11 年闸北】据测算: 2011 年,某企业如果不搞促销活动,那么某一种产品的
17、销售量只能是1 万件;如果搞促销活动,那么该产品销售量(亦即该产品的年产量)m万件与年促销费用x万元(0x)满足13xkm(k为常数)已知 2011 年生产该产品的前期投入需要8 万元,每生产1 万件该产品需要再投入 16 万元,企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍(定价不考虑促销成本) (1)若 2011 年该产品的销售量不少于2 万件,则该产品年促销费用最少是多少?(2)试将 2011 年该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用x(万元)的函数,并求2011 年的最大利润7、已知函数( )2af xxx的定义域为0,2(a为常数) . (1)证明:当8a时,函数(
18、)yf x在定义域上是减函数;(2)求函数( )yf x在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值8、【06 年上海】已知函数ayxx有如下性质: 如果常数0a, 那么该函数在(0,a上是减函数 , 在,)a上是增函数 . (1)如果函数2byxx在(0,4上是减函数 , 在4,)上是增函数 , 求实常数b的值;(2)设常数1,4c,求函数(12)cyxxx的最大值和最小值;(3)当n是正整数时 , 研究函数(0)nncyxcx的单调性 , 并说明理由 .9、 【08 年上海】已知函数| |1( )22xxf x。(1)若( )2f x,求x的值;(2)若2(2 )( )0tftmf
19、 t对于1,2t恒成立,求实数m的取值范围。10、 【11 年虹口】对于定义域为D的函数)(xfy,如果存在区间, m nD,同时满足:)(xf在, m n内是单调函数;当定义域是, m n时,)(xf的值域也是, m n则称, m n是该函数的“和谐区间” (1)求证:函数xxgy53)(不存在“和谐区间” 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精品资料欢迎下载(2)已知函数xaxaay221)((0,aRa)有“和谐区间”, m n,当a变化时,求出mn的最大值(3)易知,函数xy是以任一区间, m n为它的“和谐区间” 试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间” (不需证明,但不能用本题已讨论过的xy及形如axcbxy的函数为例)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页