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1、优秀学习资料欢迎下载初三数学复习正多形和圆一. 本周教学内容：复习正多形和圆（一）知识要点 1. 正多边形：（1）各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形，仅各角相等，（如矩形）或仅各边相等（如菱形）的多边形不是正多边形。（2）正多边形是轴对称图形，当边数 n 是偶数时， 又是中心对称图形。正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，其圆心是该正多边形的中心。（3）边数相同的正多边形是相似多边形，对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。（4）正 n 边形可以分成2n 个全等的直角三角形，有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决。 2. 有关圆的计算公式（R为半径； n
2、 为弧所对的圆心角的度数）（1）圆周长C 2R （2）圆面积S R2180)3(Rnl弧长( )4360122扇形面积扇形Sn RlR（5）弓形面积： S弓形S扇形S 3. 计算不规则图形的面积时常用割补法，利用图形的割补将问题转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算。 4. 圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长C ，宽是圆柱的母线长l ，如果圆柱的底面半径是r ，则 S圆柱侧 Cl2 rl 5. 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C ，半径等于圆锥的母线长l ，若圆锥的底面半径为r ，rlClS21圆锥侧例 1. 已知：如图，等腰ABC的顶角 A36， O
3、和底边 BC相切于中点D，并过两腰中点G、F，又和两腰相交于H、E 求证：五边形DEFGH 是正五边形。分析： 正多边形的证明，可用定义或判定定理来证明。本题欲证DEFGH是正五边形，只需证，连结 DG和 DF，所以只需证明这些弧所对的圆周角相等，即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载证明： 连结 DG和 DF D、G分别为 BC 、BA的中点，同理DGACDFAB/1212四边形AGDF 为平行四边形 1= 2=3=A=36BC是 O的切线 4= 1=36，ABACDGAC12GBABDG21
4、7221180BGDB 5=72 4=36同理 6=36 1= 2=3=5=6 五边形DEFGH 是正五边形。例 2. 等边三角形的面积为，求等边三角形外接圆的面积。48 3分析： 求等边三角形外接圆的面积，只要确定等边三角形的半径即可。我们从已知条件等边三角形的面积出发，等边三角形的面积可以用两个方法得到（一）整体考虑； （二）分割成三个全等三角形。解： （一）过A点作 AD BC于 D，等边，ABCBACBDDC11230设，则，BDDCxACxADx23SBCADxxABC12122348 31234334482ADxx正三角形的半径：边心距：高=2：1：3 精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载832123R。等边三角形外接圆面积6423R（二）设O为等边三角形的中心，连结OB 、OC ，作 OD BC于 D，BOCBOC360312011260设，则，OCRODRDCR1232RBC3SSBCODABCBOC331234823213RRR2=416 R=8 正三角形外接圆面积=64例 3.已知，圆内接正方形的面积为32，求同圆内接正六边形的面积分析：沟通圆内接正四边形和正六边形的同圆，则半径相同。显然是从正方形的面积中求出正四边形的半径，然后再利用外接圆半径求出正六边形面积解：
6、 如图，连结AC 、 OE 、OF ，OM EF于 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载24322BCBCS正四边形AC2=2BC2=64 AC=8 )82(4214BCACACR或OE=OF=R4=4 606360EOF EOF为等边三角形221EFMFEM32242222MFOFOM(tan)或利用三角函数OMMF6023正六边形SSEOF661242324 3例 4. 如图半径分别为，的两圆相交，圆心距为，求两圆组成的2231cmcm图形的外轮廓线的长度分析：外轮廓线的长度等于两圆周长和
7、去掉公共弦在两圆中所对的劣弧长之和，关键是求圆心角AO1B和 AO2B的度数。解： 连结 AB ，则 O1O2垂直平分公共弦AB ，设 AO=x 13221322221xxOOOO有解得： x=1， AB=2x=2 ， OA1=O1B=2 AO1B是等边三角形，AO1B=60所对弧长AO Bl1160218023在中，AO BAOBOAB222222222244()()AOBOABAO B22222290所对的弧长AO Bl2290218022精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载外轮廓线的总长()
8、()222212ll()209 26cm例 5. 如图，已知三个皮带轮的半径都是10cm ，圆心距AB=50cm ，AC=30cm ，BC=40cm ，求：皮带的长度。分析： 皮带的长度是由三条线段，和三段圆弧构成，分别求出它们，再求和。解： 设皮带与 C、 B、 A的切点分别是D 、E、F、G 、 M 、N，连结 CD 、CE 、BF 、 BG 、AM 、AN 则有四边形BCFD 、ACEM 、ABGN 都是矩形AC2+BC2=302+402=2500=502=AB2 ACB=90 ， CAB+ CBA=90 MAN=180 CAB ，FBG=180 CBA DCE+ MAN+ FBG =9
9、0+180 CAB+180 CBA =360+90 ( CAB+ CBA) =360又 C、 A、 B是等圆，lllRAEMNFG2皮带总长是：AB+BC+AC+2 R =50+40+30+2 10=（120+20） cm 例 6. 如图， AB是半圆的直径，C、D是半圆的三等分点，若半径为R，求阴影部分的面积。分析： 阴影部分的面积不是规则图形的面积，连结CD ，则 CD AB ，于是 ADC 的面积等于的面积，而与组成一个规则的扇形。CDOCDOCmD解： 连结 OC 、OD 、CD ，是半圆的直径ACCDDBAB COD=60 ， CDA= DAB=30 精选学习资料 - - - - -
10、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载CD AB， SACD=SOCD阴影扇形SSRROCD60360622例 7. 如图，以Rt ABC的直角边BC为直径画半圆，交斜边AB于 D，若ACBD2333，求图中阴影部分的面积分析： 阴影面积等于ABC面积减去 DBO面积，与扇形ODC 面积的和，需求出BC长， DOC 的度数解： 连结 OD ，由切割线定理知： AC2=AD AB ， AC2=（AB BD ） AB ()()23332ABAB即ABAB23430解得：，舍去ABAB1243333()在 Rt ABC中，sin BAC
11、ABB2334331230，DOC60BCACBcotcot233302，扇形Sn RODC223606013606SBDBOOBD1230sin123112 34精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载SACBCABC12122332233阴影扇形SSSSABCODCOBD2336345 3212例 8. 把一个半圆面围成一个圆锥，则该圆锥轴截面三角形底角的度数是多少？解： 设半圆 DC的半径 AC=R 半圆围成的圆锥底面O的半径 OC=r 半圆的长的周长CDO R=2r 又RrrRAOBC212
12、ACO=60 例 9. 已知 RtABC的斜边 AB=13cm ，以直线BC为轴旋转一周得到一表面积为90cm2的圆锥，求这个圆锥的高？解： 如图，设底面圆的半径AC=r，圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆面积901222rABr rr213900即rr213900精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载解得 r1=5 或 r2=18（舍去）AC=5 勾股定理得，圆锥的高BCABACcm222213512()答：圆锥高为12cm 。例 10. 如图，、是圆周上的四个点，且ABCDABCDACBD弦 A
13、B=8 ，弦 CD=4 ，求图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）解： 作直径 AE ，连结 BE A、B 、 C、D是圆周上的四个点，且 ABCDACBD的度数应等于ABCD180又 AE为 O直径的度数等于ABBE180即 ABCDABBE弓形弓形弓形弓形BECDSSSSABCDABBE ABE=90 ，AEABBE2222844 5阴影半圆SSSABEABE122 512842 ()101631416154.一、选择题 1. 已知一个正n边形的一个外角等于一个内角的2 倍，若它的边长为a，则它的半径为（） A. a B. a3C. a23D. a33 2. 正六边形
14、的半径为1，则它的面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载 A. 233B. 33C. 43D. 36 3. 正 n 边形的一个外角等于内角的51，则该多边形的边数为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（） A. 6：1 B. 16C. 3 ：1 D. 13 5. 正六边形的边心距等于6，则它的周长等于（） A. 324B. 34C. 5512D. 5572 6. 一条弧长等于12，它所对的圆心角等于120，则
15、这条弧组成的扇形面积等于（） A. 216B. 108 C. 864 D. 54 7. 圆心角等于120，半径等于3，则圆心角所对的弧与弦组成的弓形面积等于（） A. 4396B. 8396C. 4393D. 8393 8. 以下图形既是中心对称，又是轴对称的图形的是（） A. 平行四边形B. 正五边形C. 等腰梯形D. 正六边形 9. 下列各命题中正确的个数是（）（1）各边都相等的圆内接多边形是正多边形；（2）多边形的中心角随边长的增大而增大；（3）正 n 边形是中心对称图形；（4）既有内切圆又有外接圆的多边形是正多边形。 A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 10. 正三角形的边
16、长、高、外接圆半径、边心距的比是（） A. 332336B. 332331 C. 433231D. 4321 11. 等腰 RtABC中， A=Rt， BC=2 ，作其外接圆O，则长是（） A. 4B. 2C. D. 2 12. 半径为 8cm的圆的圆内有相距为8 的两条平行且相等的弦，则在圆内这两条平行弦间所夹的面积为（） A. 364332B. 312832 C. 3128316D. 316316精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载 13. 如图（ 1） ，扇形 OACB中， AOB=90 ，
17、 P与 OA ，OB都相切，并且与切于 C 点，则扇形OACB的面积与 P面积的比为（） A. 21 B. 12C. 13D. 4)223( 14. 周长相等的正方形、正六边形的面积分别为S1和 S2，则 S1和 S2之间的关系是（） A. S1S2D. S1S2 15. 已知 C，D是以 AB=2R为直径的半圆上三等分点，则弦AC，AD和 CD围成的面积等于（） A. 243RB. 52RC. 62RD. 32R 16. 半径等于a 的两个圆相交，若圆心距为a3则这两圆的公共部分的面积为（） A. 2)224(aB. 2)433(aC. 2)223(aD. 2)233(a二、填空题 1. 如
18、图（ 2） ，一个扇形的半径OA=OB=a ，圆心角为45，以 O为圆心， b 长（ ba）为半径画CD ，阴影部分面积是 _。 2. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2 倍，且它们的面积相等，则这个扇形的弧所对的圆心角为_。 3. 如图（3） ，AB是 O的一条弦， 以半径 OA为直径的 O与弦 AB相交于 E，则阴影部分面积与弓形面积之比为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载 4. 如图（ 4） ，正 ABC外切于圆，正方形DEFG 内接于圆，若AB=6 ，则 DE=_ 。 5. 一个
19、圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为_。三、解答题及证明题 1. 如图（ 5） ，正五边形ABCDE 的两条对角线AD ，BE相交于 P，求证 PD2=AP AD 。 2. 如图（ 6） ，已知 AB ，CD是 O的直径，以D为圆心， DA为半径的圆交CD于 E，证明和所围成的新月形的面积等于ABC的面积。 3. 如图（ 7） ，P是圆内接正四边形ABCD 中上一点，试求PCPDPB的值。 4. 如图（ 8） ，在 RtABC中， AC=BC ，的圆心为 A，如果图中两个阴影部分面积相等，求AD ：DB的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
20、- - - - - -第 11 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载 5. 如图（ 9） ，矩形 ABCD 中， AB=1 ，BC=2 ，以 B为圆心， BC为半径画交 AD于 F，交 BA延长线于E，求阴影部分的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载 参考答案 一、选择题 1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. A 7. C 8. D 9. A 10. A 11. B 12. A 13. D 14. C 15. A 16. D 二、填空题 1. )(8122ba 2. 90
21、 3. 3：1 4. 6 5. 1132324三、解答题及证明题1. 证明：作此五边形的外接圆O，则于是 AEB= EDA 又 PAE= EAD PAE EAD APAEAEAD即 AE2=AP AD （1）又BE CD 同理 BC AD BPDC 是平行四边形PD=BC=AE （2）由（ 1） （2）可得 PD2=APAD 2. 证明：连结AD ，BD ，设 O的半径为r ，新月形的面积为S，又知 AB是直径 ADB=90 ， AD=r2)(212ADBDAEBAEBACBSSrSSS扇形弓形半圆12141214222222rADSrrrADB()ABCSr2 3. 提示：延长PB至 E，使
22、 BE=PD ，连结 CE 易证 BCE DCP PCE为等腰 Rt22PCPDPBPCPE即 4. 提示： S扇形 ADEF=SABC而 S扇 ADEF=8AD221212ACSABC224121ABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载22418ABAD222ABAD2ABAD22ADABAD即ADDB22222 5. 解：连结 BF ABCD 是矩形 BAD=90 BF=BC=2 AB=1 322ABBFAF6023sinABFBFAFABFSBEF扇形16232而233223阴影SSABF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
