2022年第九讲-三角函数图像和性质

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1、优秀学习资料欢迎下载三角函数要求层次重难点sinyx，cosyx，tanyx的图象和性质C 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法函 数sin()yAx的图象C 会 用 “ 五 点 法 ” 画 正 弦 、 余 弦 函 数 和 函 数sin()yAx的简图，理解,A的物理意义 ， 掌 握 由 函 数sinyx的 图 象 到 函 数sin()yAx的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B 掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质C 掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决 一 些 问 题

2、,会 求 经 过 简 单 的 恒 等 变 形 可 化 为sin()yAx的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C 掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题. 高考要求第九讲三角函数的图像与性质知识精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载板块一：三角函数的图象(一) 知识内容1.三角函数的图象2. 函数sin0,0,yAxAxR的图象的作法五

3、点法确定函数的最小正周期2T；令x 0、2、32、2， 得x、1()2、1()、13()2、1(2)，于是得到五个关键点(,0)、1 (),1)2、1(),0)、1 3(), 1)2、1(2),0)；描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数sin0,0,yAxAxR的图象3.sin0,0,yAxAxR的图象函数sin0,0,yAxAxR的图象可以用下面的方法得到：先把sinyx的图象上所有点向左(0)或向右(0)平行移动|个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的1倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长

4、(1)A或缩短(01)A到 原 来 的A 倍 （ 横 坐 标 不 变 ） ， 从 而 得 到sin()yAx的 图 象 当 函 数sin()yAx表示一个振动量时：A叫做振幅；T叫做周期；1T叫做频率；x叫做相位，叫做初相上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数下面把这个过程分解一下：(1)相位变换yxO2- 2y=sinxx -2-Oy2xy=cosx-/2/23/2-3/2-Oyxy=tanx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载要得到函数sin()(

5、0)yx的图象，可以令xx，也就是原来的x变成了现在的x，相当于x 减小了(0)，即可以看做是把sinyx的图象上的各点向左(0)或向右(0)平行移动|个单位而得到的 这种由sinyx的图象变换为sin()yx的图象的变换，使相位由x变为x，我们称它为相位变换它实质上是一种左右平移变换(2)周期变换要得到函数sin(0,1)yx的图象，令xx，即现在的x缩小到了原来的倍，就可以看做是把sinyx的图象上的各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的1倍 （纵坐标不变）得到，由sinyx的图象变换为sinyx的图象，其周期由2变为2，这种变换叫周期变换周期变换是一种横向的伸缩(3)振幅变换要得到

6、sin(0,1)yAx AA且的图象，令yyA，即相当于y变为原来的A 倍，也就是把sinyx的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A或缩短(01)A到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的这种变换叫做振幅变换振幅变换是一种纵向的伸缩【说明】本题的所有变换都是针对x和y来的，也就是说所有的转换都是用在x和y身上的，他们的系数也不包括在内例如sin0,0,yAxAxR的图象，如果先把sinyx各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的1倍（纵坐标不变）变成sinyx，再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A或缩短(01)A到原来的A倍（横坐标不变），得到sinyAx，而最后才所有点向左(0)或向右(0)平行移

7、动|个单位，这样得到就是sin()yAx，而不是sin()yAx希望大家能够从中理解“坐标变换是针对x和y做的”这句话的意义 ( 二)典例分析【例 1】（2009 年全国 I）如果函数3cos 2yx的图象关于点43，0中心对称， 那么的最小值为（）A6B4C3D2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载（2008 浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数3cos(0 , 2 )22xyx的图象和直线12y的交点个数是 ( )A0 B1 C2 D4 【例 2】函数( )sin()(0,0)f xAxA的

8、部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)fff(11)f262-232Oxy【例 3】方程1sin22x在 2 , 2 内解的个数为【例 4】如图，方程sin2sinxx在区间(0 , 2 )内解的个数是 ( ) A1B2C3D42sinxsin2 xyxO【例 5】求方程lgsin0xx的解的个数；求方程 100sinxx 的解的个数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 6】( 2006 年-辽宁 )已知函数11( )(sincos )sincos22f xxxxx，求( )fx的值域【例

9、7】函数cos(sin )yx的值域为 _ 【例 8】求函数22log (1sin )log (1 sin)yxx，,64x的值域求函数223sinsinyxx( ,)xkkZ的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 9】(1sin )(3sin )2sinxxyx的最值及对应的x 的集合【例 10】已知正弦曲线sin()(0 ,0, 02 )yAxA上的一个最高点是(2 ,2)，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x轴相交于点(6 , 0)，试求这个函数的解析式. 【例 11】已知函数( )

10、sin()(0,0 , |)2f xAxA的图象在 y轴上的截距为1，它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(, 2)x和0(3,2)x. 求( )f x的解析式；用列表作图的方法画出函数( )yf x在长度为一个周期的闭区间上的图象. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 12】如图，是函数sin()(0,0)yAxA，的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式【例 13】右图是函数sin()yAx(0 ,0 , 02 )A的图象的一部分，试求此函数的解析式. -22yxO-224

11、6810精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 14】函 数sin()yAx(0 ,0 , )A的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式. -712Oxy2-2QP【例 15】(2005 年湖南高考 ) 设函数( )f x的图象与直线xa， xb及x轴围成图形的面积称为函数( )f x在,ab上的面积，已知函数sinynx在0 ,n上的面积为2n()nN，sin3yx在20 ,3上的面积为；sin(3 )1yx在4,33上的面积为【例 16】设( )sin(0)53kf xxk求当3k时，函数图

12、象的对称轴方程和对称中心坐标求最小正整数k，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值mS4S2S3S1Oyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 17】已知函数2sinsin1yxax的最小值为1，求 a 的值 . 【例 18】求证：在区间0 ,2内存在唯一的实数对( ,)cd，,0,2cd，且 cd ，使得sin(cos )cc，cos(sin)dd成立【例 19】已知函数bxaxxaxaxf22cos33cossin2sin320x的值域为23

13、，求 a、b 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 20】已知函数Rxxxxy，1cossin23cos212（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例 21】已知函数 f(x)=Asin(x )（200，A）的图象在y 轴上的截距为1，它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（ x03 ， 2） （1）求 f(x)的解析式；（2）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的

14、31， （纵坐标不变），然后再将所得图象沿x轴正方向平移3个单位，得到函数y=g(x)的图象写出函数y=g(x)的解析式并用 “ 五点法 ” 画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象板块二：三角函数图象变换 ( 一）知识内容1函数图象平移基本结论小结如下：(0)( )()aayfxyf xa左移 个单位(0)( )()aayfxyf xa右移 个单位(0)( )( )aayfxyaf x上移 个单位(0)( )( )aayfxyaf x下移 个单位1( )()yfxyfx各点横坐标变成原来的倍精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

15、10 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载( )( )yfxAyf x1各点纵坐标变成原来的倍A( )( )xyfxyf x绕 轴翻折( )()yfxyfx绕y 轴翻折设00(,)P xy为( )yf x左移a个单位后所得图象上的任意一点，则将右移a个单位得到的00(,)Pxa y必在( )yf x的图象上，故00()yf xa，又00(,)P xy点任意，故( )yf x的图象左移a个单位得到的新的函数的解析式为：()yf xa函数变换可以用下图表示：横 坐 标 缩 短1倍(1)横 坐 标 扩 大1倍(01)向 右 平 移( 0)向 下 平 移b(b0)纵 坐 标 缩 短 为A倍(0A1)y

16、=s i n( x+ )y=As i n( x+ )+by=As i n(x+ )向 下 平 移bA(b0)纵 坐 标 缩 短 为A倍(0A0)纵 坐 标 扩 大 为A倍(A1)向 右 平 移( 0)横 坐 标 缩 短1倍(1)横 坐 标 扩 大1倍(01)y=s i n(x+ )y=s i n(x+ )y=s i nxy=s i n x（二）典例分析【例 22】已知函数( )sinf xxa， aR讨论函数( )f x的奇偶性求当( )f x取最大值时，自变量x的取值集合 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页

17、优秀学习资料欢迎下载【例 23】（2007 天津文 9）设函数( )sin()3f xxxR，则( )f x（）A在区间27,36上是增函数B在区间,2上是减函数C在区间,84上是增函数D在区间5,36上是减函数【例 24】(2005 江西) 设函数( )sin3|sin3|f xxx，则( )f x为( )A周期函数，最小正周期为3B周期函数，最小正周期为23C周期函数，最小正周期为2D非周期函数【例 25】已知函数 f(x)=Asin(x )（200，A）的图象在y 轴上的截距为1，它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（ x03 ， 2） （1）求 f(x)的解析

18、式；（2）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的31， （纵坐标不变），然后再将所得图象沿x轴正方向平移3个单位，得到函数y=g(x)的图象写出函数y=g(x)的解析式并用 “ 五点法 ” 画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 26】(2005 年湖北文 )函数sincos1yxx的最小正周期与最大值的和为【例 27】已知函数( )2 sin()4f xabxabZ，当02x，时，( )f x的最大值为2 21求( )f x的解析式；由

19、( )f x的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数( )yg x的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由板块三：三角函数的性质（一）知识内容1.三角函数的性质函数sinyxcosyxtanyxcotyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载定义域RR|,2x xRxkkZ且|,x xRxkkZ且值域 1,1 1,1RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有界性有界函数| sin| 1x有界函数|cos| 1x无界函数无界函数周期性（最小正周期）2T2TTT单调性2 ,2 2232 ,2 22(

20、)kkkkZ在在(21) ,2 ,2 ,(21) ()kkkkkZ在( ,22()kkkZ在( , ()kkkZ在最值2 ,2xkmax1y; 2 2xk, min1y(kZ)2 ,xkmax1y; (21)xk, min1y(kZ)无无对称轴(2xkkZ) (xkkZ)无无对称点( ,0)()kkZ( +,0)2(kkZ)( ,0)(kkZ)( +,0)(2kkZ)2.sinyx与sinyx的性质函数sinyxsinyx定义域RR值域0 , 1 1, 1奇偶性偶函数偶函数周期T不是周期函数单调性 ,2kk为增区间，增减区间规律不明显，只能就具体区间分析精选学习资料 - - - - - - -

21、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载, 2kk为减区间()kZ（二）典例分析【例 28】求使1cos1axa有意义的a的取值范围 . 【例 29】当方程224sin4sin20xxkk有解时，求k 的取值范围 .【例 30】设 f(x)满足2( sin )3 (sin)4sincos ()44fxfxxxx ，求( )f x的表达式 . 板块四：三角函数与二次函数典例分析【例 31】求函数22sin2sin1yxx的值域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 2

22、0 页优秀学习资料欢迎下载【例 32】求函数222 cossinyaxx的最大值与最小值. 【例 33】求函数253sincos82yxaxa(0)2x的最大值【例 34】为使方程2cossin0xxa在0 ,2内有解，则a的取值范围是 ( ) A.11aB.11aC. 10aD.54a 【例 35】已知定义在(, 4上的减函数( )f x， 使得27(sin )( 12cos)4f mxfmx， 对一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 【例 36】已知,b c是实数，函数2( )f xxbxc对任意,R有：(sin)0f(2cos)0f求(1)f的值；证明：3c；设(sin)f的最大值为1

23、0，求( )f x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载板块五：三角函数的周期性（一）知识内容1. 定义：对于函数( )f x，如果存在一个不为零的数T ，使得当x取定义域中的任意一个数时，()( )f xTf x总成立， 那么称( )f x是周期函数， T 称为这个函数的周期，如果函数( )f x的所有正周期总存在最小值0T，则称0T为这个函数的最小正周期. 2. 说明：周期函数的定义域是无界的；若T 是某函数的周期，则(,0)nT nnN均为此函数的周期；若函数( )yf x的最小正周期是

24、T ，则函数()yfx的最小正周期是T. 3. 对称轴为xa的函数，对称中心为( , )a b的函数的解析式问题函数( )yf x周期为 T如果点( ,)x y在图象上，则(, )xT y也在图象上( )()yf xf xT推广：关于一般的轴对称： 函数( )yf x 关于直线xa 对称如果点 ( , )x y 在图象上则它关于直线xa 的对称点 (2, )ax y 也在图象上( )(2)yf xfax关于一般的中心对称：( )yf x 关于点 ( , )a b 对称如果点 ( , )x y 在图象上， 则它关于点 ( , )a b 的对称点 (2,2)axby 也在图象上2( )(2)bf

25、xfax4.某个函数关于点对称或轴对称，周期的特点：若定义在R上的函数( )f x 有两条对称轴xa，xb()ab ，则这个函数必定是周期函数，2()Tab 是它的周期.证：2()(2)fabxf aabx(2)(2)f aabxfbx()f bbx()( )f bbxf x( )f x 以 2()ab 为周期若函数( )f x 在R上的图象关于某点0(,)A ay与某直线xb()ab 对称，则此函数为周期函数，4Tba 是它的周期.证：图象上任一点(,( )xf x关于点0(,)A ay的对称点0(2, 2( )axyf x也在图象上，即有0(2)2( )faxyf x ，且()()f bx

26、f bx ，则0( )2(2)f xyfax02(2)yf bbax02(2)yf bbax02(22)yfbax2(22)fabax(34)f bbax(34)f bbax4()fbax( )f x 是以 4()ba 为周期的函数（二）典例分析【例 37】设函数( )2sin()25f xx,若对任意xR,都有12()( )()f xf xf x成立 ,则12xx的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载( ) A. 4B. 2C.1D.12（ 2008 辽宁高考）已知( )sin(0)36

27、3f xxff，且( )f x在区间6 3，有最小值，无最大值，则_. 【例 38】已知函数2sin()yx(0 )为偶函数，其图象与直线2y相邻的两个交点的横坐标分别为1x，2x，且12xx，则 ( ) A.2,2B.1,22C.1,24D.2,4【例 39】( 2005 年广东高考 )函数( )f x，当(,)x时，(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，在闭区间0 , 7上，只有(1)(3)0ff. 试判断函数( )f x的奇偶性 . 试求方程( )0f x在闭区间 2005, 2005上的根的个数，证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

28、- - - - - -第 18 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载【例 40】设( )f x是定义在 R 上并以 2为周期的函数，当 1, 1x时，2( )f xx. 求(1, 3x时，( )f x的表达式；作出( )f x的图象，并求( 3)f及(3.5)f的值 . 【例 41】函数sin(0)yx在区间0 , 1上恰好有 50个最大值，则的取值范围是. 【例 42】函数215cos36kyx()kN对于任意实数a，在区间,3aa上的值54出现的次数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载习题

29、1.函数( )cos(3)f xxxR，的图象关于原点中心对称，则（）.3.2kkZ，.kkZ，.2 2kkZ，习题 2.函数sin1yax的最大值是3，则它的最小值 _.函数sinyx的一个单调增区间是( )A.，B.3，C.，D.32，习题 3.（2009 年辽宁卷）已知函数cosfxAx的图象如图所示，223f，则0f（）A.23B.12C.23D.12习题 4.求下列不等式x的取值范围 . 2sin10x；2cos(3)106x. 习题 5.若函数sin()yAx，(0 ,0 , 02 )A的图象上一个最高点的坐标为（2,3） ，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x轴的交点为(4 , 0).求此函数的解析式. 习题 6.把曲线:2sin24Cyx向右平移(0)a a个单位，得到的曲线G 关于直线4x对称. 求a的最小值 . 家庭作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页