《2022年解不等式中的数学思想方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年解不等式中的数学思想方法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载解不等式中的数学思想方法一解不等式中的简易逻辑思想例 1 已知)0(012:2|311:|22mmxxqxp，；?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 . 分析 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章， 从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难. 解答 由，2|311|x得102x，由)0(01222mmx
2、x，得)0(11mmxm，?p即2x，或10x，而?q即mx1，或mx1)0(m；由?p是?q的必要不充分条件，知?q?p，设 A=102|xxx，或，B=)0(11|mmxmxx，或，则有 AB，故，010111mmm且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得30m，此即为“?p是?q的必要不充分条件”时实数m的取值范围 . 二、解不等式中的换元思想例 2解不等式11 111261xxx。分析： 若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有011116111112xxxxxxx或011111211116xxxxxxx至此，解题难以为继。若令1xt，则 x=t2-1. x-1, 且
3、x0, t0 且 t1, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载不等式化为21110,11261ttttt， 即1110,11216tttt，6t(t+1) 12(t0). 解得 2t3，从而213x, 即 4x+19。不等式的解集是3， 8。三、解不等式中的数形结合思想例 3设 a34a时，函数 y=f(x) 的图象位于函数y=g(x) 的图象的上方。不等式的解集是 (34a,+). 注：无论解什么样的题，都既要掌握基本的解题方法，又要以灵活为主。会做，还要讲求做题效率。分析由于左、 右两边有相同的地方
4、，因此可以换元， 使不等式的结构变为简单形式距为 a 的平行直线系) ，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图 1因为 y1y2，所以 (1) 当 0a1 时， 0t 1，即 0ax 1，所以 x0 ，+ ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载综上所述当a(0 ， 1) 时，解集为 0 ，+ ) ，当 a(1 ，评述在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数， 数形结合， 则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的
5、不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰四、解不等式中的函数方程思想例 4 求 a， b的值，使得关于x 的不等式 a2x +bx+2a -1 0 的解集分别是：(1)-1，2 ；(2)(- ，-1 2 ，+ ) ；(3)2；(4)-1，+ ) 分析方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通解(1)由题意可知，a0 且-1 ，2 是方程 a2x+bx+2a-1 0 的根，所以(3)由题意知， 2 是方程 a2x+bx+2a-1=0 的根，所以4a+2b+a2-1=0 又2 是不等式a2x+bx+2a-1 0 的解集，所以(4)由题意知
6、， a=0 b0，且 -1 是方程 bx+2a-1=0 的根，即 -b+2a-1=0，所以a=0，b=-1 五、解不等式中的分类类讨论思想解不等式2221011xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载分析这是一个分式型无理不等式，需要将其转化为有理不等式来求解解( 分类讨论 ) (1)当 x=0 时，原不等式显然成立(2)当 x 0 时，评述：本题类比万能公式采用三角代换更加简单。分析：由xR及2211xx的特征联想到万能公式2costan1tan122于是可构造三角函数，令 x=tan )22(求
7、解。解：令 x=tan )22(则由已知得01tantan11tantan22，从而1sin2101sinsin2226tan33,x33。六、解不等式中的构造思想例 6、解不等式05110)1(833xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到)12(5)12(110)1(833xxxx且题中出现xx53, 启示我们构造函数f(x)=x3+5x 去投石问路。解：将原不等式化为xxxx5)12(5)12(33，令 f(x)=x3+5x
8、，则不等式变为)()12(xfxf，f(x)=x3+5x 在 R 上为增函数原不等式等价于xx12，解之得： 1x2 或 x2。七、解不等式中的转化化归思想例 7 对于满足 0p4 的一切实数，不等式x2px4xp-3 恒成立，试求x 的取值范围. 分析 : 我们习惯上把x 当作自变量，构造函数yx2(p-4)x 3-p, 于是问题转化为：当p0,4时，y0 恒成立， 求 x 的取值范围 . 解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的. 如果把 p 看作自变量， x 视为参数，构造函数 y(x-1)p (x2-4x 3)，则 y是 p 的一次函数，就非
9、常简单 . 即令 f(p) (x-1)p (x2-4x 3). 函数 f(p) 的图象是一条线段，要使f(p) 0 恒成立，当且仅当f(0) 0，且 f(4) 0，解这个不等式组即可求得x 的取值范围是 (- ,-1) (3,). 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.八、解不等式中的整体思想例 8、已知 f(x)=ax2-c, 且-4f(1)-1,-1 f(2)5, 求 f(3)的范围。解：令 f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=(m+4n)a-(m+n)c, nmnmnm3
10、835194 f(3)= )1(35)2(38ff, 又 -4 f(1) -1,-1 f(2)5，-1 f(3)20 。评述：题中 f(1)=a-c,f(2)=4a-c, 且-4 f(1)-1,-1 f(2)5 是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载九、解不等式中的变量分离思想例 9设对所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围分析认真观察不等式的结构，易知要解决的问题是对所有的x，x2(t-2)-2(t+1)x+2(t+1)0不符合题意，所以
11、t 2因此对任意实数x，不等式恒成立的充左边等号当x=0 时成立于是得ymin=-1 ，故 t -1 ( 以下略 ) 不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用整式不等式 ( 主要是一次、 二次不等式 ) 的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、 绝对值不等式、 无理不等式化归为整式不等式( 组 ) 是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元， 可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
