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1、精品资料欢迎下载第三章 向量与线性方程组补充习题答案1设有三维列向量123211101 ,1,1 ,111问取何值时,(1)可由123,线性表示,且表达式惟一;(2)可由123,线性表示,且表达式不惟一;(3)不能由123,线性表示【解】设112233xxx,得线性方程组12231110111111xxx,其系数行列式2111111(3)111A(1)若03且,则方程组有惟一解,可由123,惟一地线性表示(2)若=0,则方程组有无穷多个解,可由123,线性表示,但表达式不惟一(3)若=-3,则方程组的增广矩阵211003-318A121303312112911290006033121129可见
2、方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A不等秩,故方程组无解,从而不能由123,线性表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精品资料欢迎下载2设向量组Ta)10,2,(1,T)5 , 1 ,2(2,.), 1(,)4, 1 , 1(3TTcb试问:当 a,b,c满足什么条件时,(1)可由321,线性表出,且表示唯一?(2)不能由321,线性表出?(3)可由321,线性表出,但表示唯一?并求出一般表达式。【解】设有一组数321,xxx,使得332211xxx,即cxxxbxxxxxax3213213214510212该方程组的系
3、数行列式A.4451011212aa(1)当4a时,行列式A0,方程组有唯一解,可由321,线性表出,且表示唯一;(2)当 a=4 时,对增广矩阵作行初等变换,有1300012100101245101121124cbbbcbA若 3b-c1,则秩 r(A)秩 r(A), 方程组无解,不能由321,线性表出;(3)当 a=-4 且 3b-c=1 时,秩r(A)= 秩 r(A)=23,方程组有无穷多组解,可由321,线性表出,但表示唯一。解方程组,得Cx1,122bCx,123bx(C为任意常数) 。因此有.) 12()12(321bbCC3设).,3 ,1 (),3,2, 1(),1 , 1 ,
4、 1(321t(1)问当 t 为何值时,向量组321,线性无关?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精品资料欢迎下载(2)问当 t 为何值时,向量组321,线性相关?(3)当321,线性相关时,将3表示为1和2的线性组合 . 【解】因为531321111,321tt,故当5t时,向量组321,线性无关;当 t=5 时,向量组321,线性相关。当 t=5 时,令22113xx,得方程组,53,32, 1212121xxxxxx解得.2, 121xx故.22134设向量12,t是齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系,向量
5、不是方程组Ax=0 的解,即0A试证明:向量组12,t线性无关【解】设有一组数12,tk k kk,使得1110,tttiiiiiiiikkkkk即,上式两边同时左乘矩阵A,有110ttiiiiikkAkA因为0A,故1tiikk=0,从而,由式得1tiiik=0,由于向量组1,t是基础解系,所以120tkkk因而,由式得k=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精品资料欢迎下载因此,向量组1,t线性无关5 设向量组123,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是(A) 122331,(B) 1223123,2(C) 1
6、223312,23,3(D) 123123123,2322,355【】【解】1223311223123() :0,() :20,AB可见( A) 、 (B)中向量线性相关, (C) 、 (D)不能直接观察得出,对于(C) ,令11222333122330,kkk即13112223322330kkkkkk,由于123,线性无关,故1312230,220,330.kkkkkk因上述齐次线性方程组的系数行列式101220120033,故方程组有惟一零解,即1230kkk,故( C)中向量组线性无关,应选(C) 6设12,s均为n维列向量,A为mn矩阵,下列选项正确的是(A)若12,s线性相关,则12
7、,sAAA线性相关 . (B)若12,s线性相关,则12,sAAA线性无关 . (C) 若12,s线性无关,则12,sAAA线性相关 . (D) 若12,s线性无关,则12,sAAA线性无关 . 【】【解】记12(,)sB,则12(,)sAAAAB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精品资料欢迎下载所以,若向量组12,s线性相关,则()r Bs,从而()()r ABr Bs,向量组12,sAAA也线性相关,故应选( ). 7.设4维 向量 组TTT1231,1,1,1 ,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44
8、,4,4,4a,问a为何值时1234,线性相关 ?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【解】记以1234,为列向量的矩阵为A,则312341234(10)12341234aaAa aaa. 于是当0,010Aaa即或时,1234,线性相关 . 当0a时,显然1是一个极大线性无关组,且2131412,3,4;当10a时,12349234183412741236A,由于此时A有三阶非零行列式9231834000127,所以123,为极大线性无关组,且123441230,即. 8设齐次线性方程组,0,0,0321321321xxxxxxxxx只
9、有零解,则应满足的条件是 . 【解】 当方程的个数与未知量的个数相同时,Ax=0 只有零解的充分必要条件是. 0A而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精品资料欢迎下载2)1(1111111,所以应有.19k 为何值时,线性方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx,有惟一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下,求出其全部解【解】用初等行变换化增广矩阵为阶梯形211411411022811241(4)00(4)2kkAkkkkkk k当1k和 4 时,有22k2k1001141k2k2k401401021
10、k2k2k0010011k1kkkA这时方程组有惟一解:22122k2kk2k42k,1k1k1kxxx当 k=1 时,()2()3r Ar A,方程组无解当 k=4 时,有114410300114011400000000A,()( )23r Ar An, 故方程组有无穷多组解,这时,同解方程组为:13233 ,4.xxxx令3xc,得方程组的全部解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精品资料欢迎下载30344101cxcxcc或,其中 c 为任意常数10设线性方程组123123123220,20,30,xxxxxx
11、xxx的系数矩阵为A ,三阶矩阵BO,且ABO试求的值【解】令123(,)Bb b b,则由题设123123(,)(,)ABA b b bAbAbAbO,即0(1,2,3)jAbj又BO,所以12,b b b3不全为零,说明齐次线性方程组Ax=0有非零解,所以必有秩(A)3 ,从而A=0,即122210311解得111.设A是mn矩阵,0Ax是非齐次线性方程组Axb所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是(A) 若0Ax仅有零解,则Axb有唯一解(B) 若0Ax有非零解,则Axb有无穷多个解(C) 若Axb有无穷多个解,则0Ax仅有零解(D) 若Axb有无穷多个解,则0Ax有非零解【】【解】
12、由解的判定定理知,对Axb,若有秩()()AAr秩,则Axb一定有解进一步,若r=n,则Axb有唯一解;若rn,则Axb有无穷多解而对0Ax一定有解,且设秩(A)=r ,则若 r=n,0Ax仅有零解;若rn ,0Ax有非零解因此, 若Axb有无穷多解, 则必有秩()()AAr秩n,从而秩 (A)=rn ,0Ax有非零解,所以(D) 成立但反过来,若秩(A)=r=n( 或n) ,并不能推导出秩(A)= 秩( )A,所以Axb可能无解,更谈不上有唯一解或无穷多解12非齐次线性方程组Axb中未知量个数为n,方程个数为m ,系数矩阵A的秩为 r ,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名
13、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精品资料欢迎下载(A) r=m时,方程组Axb有解(B) r=n时,方程组Axb有唯一解(C) m=n 时,方程组Axb有唯一解(D) rn时,方程组Axb有无穷多解【】【解】Axb有解的充要条件是:r Ar A b题设A 为mn矩阵,若rAm,相当于 A的 m个行向量现行无关,因此添加一个分量后得A b的 m个行向量仍线性无关,即有r Ar A b,所以Axb有解故( A)成立对于( B) 、 (C) 、 (D)均不能保证rAr A b,即不能保证有解,更谈不上唯一解或无穷多解13 设321,是四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解
14、向量,且秩r(A)=3 ,T)4,3 ,2, 1 (1,T)3 ,2, 1 ,0(32,C表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解 X= (A) 11114321C. (B)32104321C. (C) 54324321C. (D) 65434321C 【解】由题设, r(A)=3 ,可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为 4-3=1 ,即其任一非零解均可作为基础解系。又根据解的性质知)()()(231213210)5 ,4,3 ,2(T为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组AX=b的通解为5432432154321CCX故正确选项为 (C). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页