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1、名师总结优秀知识点解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径)12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC()(边化角公式)2 sin,sin,sin222abcABCRRR( )(角化边公式)3:sin:sin:sina b cABC( )sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbBcCcC2、正弦定理适用情况:(1)已知两角及任一边(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况)已知a,b和A,求B时的解的情况: 如果BAsinsin,则B有唯一解;如果1sinsinBA,则B有两解
2、;如果1sin B,则B有唯一解;如果1sin B,则B无解 . 3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况:(1)已知两边及夹角; (2)已知三边 . 5、常用的三角形面积公式(1)高底21ABCS;(2)BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21(两边夹一角). 6、三角形中常用结论(1),(abc bca acb 即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边);(2)sinsin(ABCABabAB在中,即大边对大角,大角对大
3、边). (3)在 ABC中,CBA,所以CBAsin)sin(;CBAcos)cos(;CBAtan)tan(. 2sin2cos,2cos2sinCBACBA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页名师总结优秀知识点二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在ABC中,若7:5:3sin:sin:sinCBA,则角C的度数为【解析】由正弦定理可得7:5:3:cba,, 令cba、依次为753 、,则Ccos=2222abcab=22235723 5=12因为C0,所以C23 例 2 若a、b、c是ABC的三边,22222
4、2)()(cxacbxbxf,则函数)(xf的图象与x轴( ) A、有两个交点 B 、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得2222cosbcabcA,所以222( )2cosf xb xbcA xc=2222(cos)cosbxcAccA,因为2cos A1, 所以222cosccA0,因此( )f x0 恒成立,所以其图像与x轴没有交点。题型 2 三角形解的个数例 3 在ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A、7a,14b,30A;B、25b,30c,150C;C、4b,5c,30B;D、6a,3b,60B。题型 3 面积问题例 4 ABC的
5、一个内角为0201,并且三边构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为【解析】设 ABC的三边分别:4,4xxx,C=120,由余弦定理得:0222120cos)4(2)4()4(xxxxx,解得:10x,ABC三边分别为6、10、14,113sin6 1015 3222ABCSabC. 题型 4 判断三角形形状例 5 在ABC中,已知2222() sin()() sin()abABabAB, 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一:22sin()sin()sin()sin()aABABbABAB222cossin2cossinaABbBA由正弦定理,即知2
6、2sincossinsincossinAABBBAsinsin(sincossincos)0ABAABBsin2sin2AB由22 ,20BA,得22AB或22AB, 即ABC为等腰三角形或直角三角形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页名师总结优秀知识点方法二: 同上可得222cossin2cossinaABbBA由正、余弦定理,即得:2222222222bcaacba bb abcac22222222()()abcabacb即22222()()0abcabab或222cab, 即ABC为等腰三角形或直角三角形.
7、【点拨】 判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状;(角化边)二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。(边化角)题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用例 6 在ABC中,, ,a b c分别为角CBA,.的对边,且sinsinsin()ACpB pR且214acb(1)当5,14pb时,求,a c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围。【解析】(1)由题设并由正弦定理,得51,44ac
8、ac,解得,11,4ac或1,14ac(2)由余弦定理,2222cosbacacB=2222211()22coscos22acacacBp bbbB即231cos22pB,因为1cos0B,所以23(,2)2p,由题设知0p,所以226p.三、课堂练习:1、满足45A,6c,2a的ABC的个数为m,则ma为 . 2、已知35,5 ba,30A,解三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页名师总结优秀知识点3、在ABC中,已知4acm,xbcm,60A,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x的取值范围是 ( ) A、4x
9、B、40xC、3384xD、3384x4、在ABC中,若),(41222cbaS则角C . 5、设R是ABC外接圆的半径,且BbaCARsin)2()sin(sin222,试求ABC面积的最大值。6、在ABC中,D为边BC上一点,33BD,135sin B,53cosADC,求AD.7、在ABC中,已知, ,a b c分别为角CBA,的对边,若coscosaBbA,试确定ABC形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页名师总结优秀知识点8、在ABC中,, ,a b c分别为角CBA,的对边,已知cos2cos2cosA
10、CcaBb(1)求sinsinCA;(2)若1cos,2,4Bb求ABC的面积。四、课后作业1、在ABC中,若bcacbcba3)(,且CBAcossin2sin,则ABC是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、ABC中若面积S=)(41222cba则角C3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔AB,在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为,在塔底B处测得点C的俯角为,若铁塔的高为hm,则清源山的高度为m。A、)sin(cossinhB、)sin(sincoshC、)sin(sinsinhD、)sin(coscosh4、ABC的三个内角为ABC、 、,求当A为何值时,cos2cos2BCA取得最大值,并求出这个最大值。5、在ABC中,, ,a b c分别为角ABC、 、的对边,且满足sincoscAaC(1)求角C的大小(2)求3 sincos()4AB的最大值,并求取得最大值时角BA,的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页