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1、学习必备欢迎下载代数不等式的应用技巧在本节的介绍中，我们只涉及一些预备知识及某些总结，在下一节里我们会重点探寻不等式证明的技巧。数学归纳法数学归纳法是证明一些n 元不等式的有力工具， 它的形式也非常丰富， 技巧性也十分强，下面就介绍最常用的四种归纳法：一 第一数学归纳法（简称数学归纳法）设 P（n）是关于正整数n 的一个命题，如果（1）当 n=1 时， P（n）成立；（2）假设 P（k）成立，可推出P（k+1）成立。其中k1。那么，对任意n N*, P（n）都成立。二 第二数学归纳法设 P（n）是关于正整数n 的一个命题，如果P（n）和 Q（n）（1）当 n=1 时， P（n）成立；（2）假设
2、 P（n）对 nk 都成立，可推出P（k+1）成立。那么，对任意n N*, P（n）都成立。三 倒推归纳法设 P（n）是关于正整数n 的一个命题，如果（1）P（n）对无穷多个正整数成立；（2）假设 P（n）对 k 成立，可推出P（k-1）成立。那么，对任意n N*, P（n）都成立。四 二重归纳法设命题 P（n,m）是与两个独立的正整数n,m 有关的命题，如果（1）P（1，m）对一切m N* 成立， P(n,1)对一切 n N*成立；（2）假设 P(n+1,m)和 P(n,m+1)成立时，可推出P(n+1,m+1)成立。那么命题 P（n,m）对所有的正整数n,m 都成立。以上四种归纳法几乎是百
3、分之九十九的归纳法证题中出现的，后面我们将通过一些题目来深刻理解它们的作用。几个著名的不等式一 均值不等式设12,.,na aa均为正数，我们则有下式成立：1212.nnnaaaa aan这个均值不等式的证明方法有很多，下面我们就选取倒推数学归纳法来证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载当 n=2 时，不等式显然成立；如果不等式对n 成立，则当2n 时，我们有121212122.nnnnnnnnnaaaaan a aan aaa121222122(. . . .)2. .nnnnnnnnna aaa
4、aana aa所以不等式对2 的幂次方都成立。假设不等式对n 成立，我们设1nsan，121.nsaaa，则121.11nnsssna aann化简得，1121(1).nnsna aa所以，不等式对n-1 也成立。在这里，我想有些同学会有点想不明白，为什么在假设n 成立的时候会构造出1nsan这个“特殊项”？na可以是其他的值啊，不一定是这个“特殊项”啊，这样证明不就是有点特殊化处理的意思了吗？以前就有同学问过这种类似的问题，那么现在就具体来讲讲这样做到底存不存在纰漏。首先，我们选取任意n-1 个数121,.,na aa；其次，因为我们假设不等式对n 成立，也就是说， 任意的 n 个正数都满足
5、不等式，那么我从任意当中选取一组121,.,1nsa aan当然也成立；最后我们根据我们选取的n 时的不等式进行化简，得到 n-1 时的不等式，恰好也成立，而这n-1 个数是我们一开头任取的，所以满足普遍性，所以均值不等式就证完了！从中我们也可以看出数学归纳法的技巧性确实很强，在以后的学习中我们会进一步体会到。二 柯西不等式设1212,.,;,.nna aab bb是两串实数（正负均可），则有222111()nnniiiiiiiaba b其中当且仅当1212.nnaaabbb时等号成立。同样，柯西不等式的证明方法也很多，下面给出两种证明方法。方法一：构造二次函数2221122( )()().(
6、)nnf xa xba xba xb，整理得222222212112212( )(.)2(.)(.)nnnnf xaaaxa ba ba bbbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载因为( )f x0，所以判别式0，即柯西不等式成立。若( )f x=0，则1212.nnaaabbb，这也是柯西等号成立的条件。方法二：由恒等式11111()2nnnnijijjiijija ba ba b，我们有222111221111222211211() ()()=1(2)21()2nnniiiiiiinnnnijii
7、jjijijnnijjiiijjijnnijjiijaba ba ba b a ba ba ba ba baba b0 证毕！ （其中该恒等式称为拉格朗日恒等式）其实，这种形式的柯西在解题中用的并不是很多，相反，下列推论倒用的蛮多的：推论 1 设12,.naaa是正实数，则2111()()nniiiiana，当且仅当12.naaa时等号成立。推论 2 设12,.naaa是实数，则2211()nniiiinaa， 当且仅当12.naaa时等号成立。推论 3 如果12,.na aa是正实数，则有下列变形：变形 1 22111111()() ,ninnnniiiiiiniiiiiiiiiaaaa b
8、abba b即变形 2 2222111111()() ,ninnnniiiiiniiiiiiiiaaababbb即变形 3 111nnniiiiiiiaba b上述三种变形对解决不等式证明非常有用！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载三 凹凸不等式凹凸不等式就是利用函数的凹凸性来证明大小的手段，这不仅出现在自主招生和竞赛中，近几年也频频出现在高考中，以它为背景的高考题层出不穷，下面我们来具体介绍。定义设连续函数( )yf xI定义在区间 上，对任意的12,x xI，及12,R，且满足121。若11221
9、122()()()fxxf xf x，则称( )If x 是区间 上的凹函数，其中等号当且仅当12xx时取得。若11221122()()()fxxfxf x，则称( )f xI是区间 上的凸函数，其中等号当且仅当12xx时取得。判断一个函数为凹凸函数的方法就是，对这个函数求两次导，若值大于0，那么它在区间I上是凹函数；若值小于0，那么它在区间I上是凸函数。四 排序不等式和切比雪夫不等式（排序不等式）设1212.;.nnaaabbb，12,.ni ii是 1,2， ，n 的一个排列，则我们有112233.nnabababab（同序和）123123.niiiniabababab（乱序和）12132
10、1.nnnnabababab（倒序和）这里引申出一个小小的很有用结论（推论）：设,a b为正实数，,m n为正整数，则有m nm nmnnmaba ba b（切比雪夫不等式）若1212.;.nnaaabbb或者1212.;.nnaaabbb，则有111111() ()nnniiiiiiia babnnn若12121212.;.;.nnnnaaabbbaaabbb或者，则有111111()()nnniiiiiiia babnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载切比雪夫的证明由排序不等式显然得出。五 伯
11、努利不等式若1,1nxnNnx则有(1+x)，当且仅当x=0 或 n=1 时等号成立。这个用导数不难证明，下面给出有用的推论：推论若0,t1(1)ntnNn t则有，当且仅当t=1 或 n=1 时等号成立， 往往这个形式的伯努利不等式更常用。六 舒尔不等式舒尔不等式对于解决三元四元的不等式证明非常给力，虽然三四元的不等式已渐渐退出了竞赛，但自主招生或初赛还是得准备的，以防万一。设,0,x y z则对于任意0r，都有()()()()()()0rrrxxyxzyyxyzzzxzy当且仅当xyz或者, ,x y z中有两个相等，第三个为0。下面给出证明：由于轮换对称性，不妨设0xyz，分类证明之当r
12、=0 时，我们有222222()()()()()()=x()1()()() 20xyxzyx yzzx zyyzxyxzyzxyxzyz当0r时，我们有2()()()()()()()()()()()()()()y ()0rrrrrrrrxxyxzyxyyzzyz xzxxy xzyxyyzyxyxzyxyyzxy当0r时，我们有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载2()()y ()()()()- y ()()()(xz)- y ()()()(xz)y ()0rrrrrrrrxxy xzxyyzzyz x
13、zxy yzzyzxy yzyyzyz所以综上可得()()()()()()0rrrxxyxzyyxyzzzxzy舒尔不等式的强大是在于它的取等条件不止一种，而且它形式的一般性决定了它的变幻莫测，因为我们可以通过对r 的不同选取直接导致各种高次方不等式的产生，而选取r=1，则下面的变形是它最常用的证明手段：变形 1 333222222()30xyzx yxyx zxzy zyzxyz我们把它简记为32()30cyccycxxyzxyz变形 2 2()4()()9xyz0xyzxyzxyxzyz我们把它简记为3()490cyccyccycxxxyxyz变形 3 ()()(yzx)xyzxyzxzy
14、我们把它简记为()cycxyzxyz变形 4 222()()z ()3xyzxyxzyxyzxyz我们把它简记为2()3cycxyzxxyz以上各种变形须熟记在心，把它们运用自如，那么对付三四元的不等式就小轻松了。几个常用的符号一 轮换求和cyccyc( , , )( , , )( , , )( , , )f a b cf a b cf b c af c a b例如：cycababbcca二 对称求和sym( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )symf a b cf a b cf a c bf b a cf b c af c a bf
15、 c b a例如：symababbabccbacca精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载三 轮换求积cyc( , , )( , , )( , , )( , , )cycf a b cf a b cf b c af c a b四 对称求积sym（同样类似）几个恒等式有句话说得好， 恒等式是最强的不等式！能熟悉各种恒等式并灵活运用，对证明不等式大有帮助，当然这要靠平时积累，下面先列出几个来初窥斑豹：3213(x)2cyccycxxxy(xy)cyccyccyccycxyxx22()3cyccyccyccyc
16、x yzxxyx4222()cyccyccyccycxx yxxyz（以上都是关于,x y z的三元恒等式）（一条四元恒等式）222222222224()()()()()()()()abcdabcdabacadbcbdcd22111()2nniiijiiij naaa a222111()()nnijiiijniiaanaa最后我们再看一看著名的Abel 变换方法：设有两组数kkba ,),3 ,2 ,1(mk为了求和数mmmkkkbabababa22111引入和式mmbbbBbbbBbbBbB21321321211,这样，我们就有112211,mmmBBbBBbBb把它代入和式中得)()()(
17、1233122111mmmmkkkBBaBBaBBaBaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载mmmmmBaBaaBaaBaa11232121)()()(111)(mkmmkkkBaBaa这个变换式：1111)(mkmmkkkmkkkBaBaaba就称为阿贝尔变换或和差变换。上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。为了简单起见，以6m为例，设0ka，且)6 ,5,4, 3,2, 1(0 kbk，且ka单调下降。这时，61kkkba在上图中就表示以kb为底，ka为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。它显然等于以6543216bbbbbbB为底，以6a为高的矩形面积，以及以kkbbbB21为底，1kkaa), 5,4, 3 ,2, 1(k为高的五个“扁”矩形的面积之和， 可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。阿贝尔变换对于证明关于两列数的不等式中有时很有效，往往也在各种高考压轴题的放缩上能避开其难点，直接Abel 解决！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
