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1、优秀学习资料欢迎下载初中因式分解的常用方法(例题详解)一、提公因式法. 如多项式),(cbamcmbmam其中 m叫做这个多项式各项的公因式, m 既可以是一个单项式,也可以是一个多项式二、运用公式法. 运用公式法,即用)(,)(2),)(223322222babababababababababa写出结果三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式例 1、分解因式:bnbmanam分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原
2、式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式!=)(banm思考:此题还可以怎样分组?此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式:bxbyayax5102解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。第二、三项为一组。解:原式 =)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习:分解因式1、bcacaba22、1yxxy(二)分组后能直接运用公式例 3、分解
3、因式:ayaxyx22分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。解:原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx例 4、分解因式:2222cbaba解:原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba注意这两个例题的区别!练习:分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222综合练习:(1)3223yxyyxx(2)baaxbxbxax22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载(3)1816
4、96222aayxyx(4)abbaba4912622(5)92234aaa(6)ybxbyaxa222244(7)222yyzxzxyx(8)122222abbbaa(9))1)(1()2(mmyy( 10))2()(abbcaca(11)abcbaccabcba2)()()(222(12)abccba3333=a2 b+a2 c+b2 a+b2 c+c2a+c2 b+2abc =(a2 b+b2 a)+(b2 c+c2b)+(a2 c+c2 a)+2abc =ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc =ab(a+b)+bc(b+c)+abc+ac(a+c)+abc =ab(
5、a+b)+bc(b+c+a)+ac(a+c+b) =ab(a+b)+(bc+ac)(a+b+c) =ab(a+b)+c(b+a)(a+b+c) =(a+b)ab+c(a+b+c) =(a+b)ab+ca+c(b+c) =(a+b)a(b+c)+c(b+c) =(a+b)(b+c)(c+a)a3+b3+c3-3abc =(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab) =(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab+a2-ab+b2-a2+ab-b2) =(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-a2-2ab-b2)+(a2-ab+b2) =(a+b)(a2-ab+b2)+cc2-(a+b
6、)2+c(a2-ab+b2) =(a+b+c)(a2-ab+b2)+c(a+b+c)(c-a-b) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) 四、十字相乘法. (一)二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点: ( 1)二次项系数是1;( 2)常数项是两个数的乘积;( 3)一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式:652xx分析:将 6 分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由 于6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) , 从 中 可 以 发 现 只 有2 3的 分 解 适 合 , 即2+3=5 。1 2 解
7、:652xx=32)32(2xx1 3 =)3)(2(xx12+13=5 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式:672xx解:原式 =)6)(1()6()1(2xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 (-1)+(-6) = -7 练习 5、分解因式 (1)24142xx(2)36152aa(3)542xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载练习 6、分解因式 (1)22xx(2)1522yy(3)24102xx(二)二次项系数
8、不为1 的二次三项式cbxax2条件: ( 1)21aaa1a1c( 2)21ccc2a2c( 3)1221cacab1221cacab分解结果:cbxax2=)(2211cxacxa例 7、分解因式:101132xx分析:1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11 解:101132xx=)53)(2(xx练习 7、分解因式: (1)6752xx(2)2732xx(3)317102xx(4)101162yy(三)二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式:221288baba分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-
9、16b)= -8b 解:221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba(四)二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx1 -2y 把xy看作一个整体1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式 =)32)(2(yxyx解:原式 =)2)(1(xyxy练习 9、分解因式: (1)224715yxyx(2)8622axxa综合练习 10、 (1)17836xx(2)22151112yx
10、yx(3)10)(3)(2yxyx(4)344)(2baba(5)222265xyxyx(6)2634422nmnmnm(7)3424422yxyxyx(8)2222)(10)(23)(5bababa(9)10364422yyxxyx(10)2222)(2)(11)(12yxyxyx思考:分解因式:abcxcbaabcx)(2222五、主元法 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载例 11、分解因式:2910322yxyxyx5 -2 解法一:以x为主元2 -1 解:原式 =)2910()13(2
11、2yyyxx(-5)+(-4)= -9 =) 12)(25()13(2yyyxx1 -(5y-2) =)12()25(yxyx1 (2y-1) =)12)(25(yxyx-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 解法二:以y为主元1 -1 解:原式 =)2()93(1022xxxyy1 2 =)2()93(1022xxyxy-1+2=1 =)2)(1()93(102xxyxy2 (x-1) =)2(5)1(2xyxy5 -(x+2) =)25)(12(xyxy5(x-1)-2(x+2)=(3x-9) 练习 11、分解因式 (1)56422yxyx(2)67222yxyxyx(3)6136
12、22yxyxyx(4)36355622bababa六、双十字相乘法。定义:双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件: ( 1)21aaA,21ccC,21ffF( 2)Bcaca1221,Efcfc1221,Dfafa1221即:1a1c1f2a2c2fBcaca1221,Efcfc1221,Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22)(222111fcxafycxa例 12、分解因式(1)2910322yxyxyx( 2)613622yxyxyx解: (1)2910322yxyxyx应用双十字相乘法:xy52xy21xyxyxy352,yyy945,xxx
13、2原式 =) 12)(25(yxyx(2)613622yxyxyx应用双十字相乘法:xy23xy32xyxyxy23,yyy1394,xxx32原式 =)23)(32(yxyx练习 12、分解因式(1)67222yxyxyx(2)22227376zyzxzyxyx七、换元法。例 13、分解因式(1)2005)12005(200522xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载(2)2)6)(3)(2)(1(xxxxx解: (1)设 2005=a,则原式 =axaax)1(22=)(1(axax=)200
14、5)(12005(xx(2)型如eabcd的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 =222)65)(67(xxxxx设Axx652,则xAxx2672原式 =2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习 13、分解因式(1))(4)(22222yxxyyxyx(2)90)384)(23(22xxxx(3)222222)3(4)5()1(aaa例 14、分解因式( 1)262234xxxx观察: 此多项式的特点是关于x的降幂排列, 每一项的次数依次少1,并且系数成 “轴对称”。这种多项式属于 “等距离多项式” 。方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再
15、用换元法。解:原式 =)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1,则21222txx原式 =6)2222ttx(=10222ttx=2522ttx=215222xxxxx=21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx( 2)144234xxxx解:原式 =2221414xxxxx=1141222xxxxx设yxx1,则21222yxx原式 =3422yyx=312yyx=)31)(11(2xxxxx=13122xxxx练习 14、 (1)673676234xxxx(2))(2122234xxxxx八、添项、拆项、配方法。例 15、分
16、解因式(1)4323xx解法 1拆项。解法 2添项。原式 =33123xx原式 =444323xxxx=)1)(1(3) 1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=) 1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx(2)3369xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载解:原式 =)1()1()1(369xxx=)1() 1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363x
17、xxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习 15、分解因式(1)893xx(2)4224)1() 1()1(xxx(3)1724xx(4)22412aaxxx(5)444)(yxyx(6)444222222222cbacbcaba九、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx分析:原式的前3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx,则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解:设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左
18、右两边相同项的系数可得613231mnmnnm,解得32nm原式 =)32)(23(yxyx例 17、 (1)当m为何值时,多项式6522ymxyx能分解因式,并分解此多项式。(2)如果823bxaxx有两个因式为1x和2x,求ba的值。(1)分析:前两项可以分解为)(yxyx,故此多项式分解的形式必为)(byxayx解:设6522ymxyx=)(byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22比较对应的系数可得:65ababmba,解得:132mba或132mba当1m时,原多项式可以分解;当1m时,原式 =)3)(2(yxyx;当1m时,原式 =)3)(2(yxyx( 2
19、)分析:823bxaxx是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解:设823bxaxx=)(2)(1(cxxx则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(2382323ccbca,解得4147cba,ba=21 练习 17、 (1)分解因式2910322yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载(2)分解因式6752322yxyxyx(3)已知:pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积,求常数p并且分解因式。(4)k为何值时,253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页