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1、第二章 函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值第二节函数的单调性与最值 基础知识基础知识基础知识基础知识自主学习自主学习自主学习自主学习热点命题热点命题热点命题热点命题深度剖析深度剖析深度剖析深度剖析思想方法思想方法思想方法思想方法感悟提升感悟提升感悟提升感悟提升最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图像理解和研究函数的性质。J基础知识基础知识 自主学习自主学习1函数在区间上是增加(递增)的、减少(递减)的含义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，且x1x2，则：(1)f(x)在区间A上是增加(递增)的。(2)f(x)在区
2、间A上是减少(递减)的_。f(x1)f(x2)2单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果yf(x)在区间A上是 或是_，那么称_为单调区间。在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是_的；如果函数是减少的，那么它的图像是 的。(2)单调性：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是_的或是_的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性。(3)单调函数：如果函数yf(x)在整个定义域内是_的或是_的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。增加的减少的A上升下降增加减少增加减少3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为D，如果存在MR满足条件存在x0D，使得_对于任意的x
3、D，都有_存在x0D，使得_对于任意的xD，都有_结论M是f(x)的 值，记作ymaxf(x0)M是f(x)的_值，记作yminf(x0)f(x0)Mf(x)Mf(x0)Mf(x)M最大最小解析错误。单调区间不能用并集符号连接。 (3)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性。()解析错误。相同单调性的函数在公共定义域上的和仍具有相同的单调性，但是差、积、商函数的单调性不能确定。 (4)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)。又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)。因此f(x)在R上
4、是减函数。 (2)求f(x)在区间3,3上的最大值和最小值。解f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)。而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2。f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2。【规律方法】函数单调性应用问题的常用类型及解题策略(1)比较大小。比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。(2)解不等式。在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解。此时应特别注意函数的定义域。(3)利用单调性求参数。视参数为已知数，依据函数
5、的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。(4)利用单调性求最值。应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值。S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升1个防范函数单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连结，也不能用“或”连结。2条结论函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到。(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)。4种方法函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论。(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数。(3)导数法：利用导数研究函数的单调性。(4)图像法：利用图像研究函数的单调性。
