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1、初二数学（上）应知应会的知识点因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2因式分解的方法：常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”. 3公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幂 . 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4因式分解的公式：(1) 平方差公式： a2-b2=（a+ b） （a- b ） ；(2) 完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)
2、2. 5因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 . 6因式分解的解题技巧： （1）换位整理，加括号或去括号整理； （2）提负号； （3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号；（10
3、）拆项或补项. 7完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式q2p2”. 分式1分式：一般地，用 A、B表示两个整式，A B就可以表示为BA的形式，如果 B中含有字母，式子BA叫做分式. 2有理式：整式与分式统称有理式；即分式整式有理式. 3对于分式的两个重要判断： （1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义； （2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义 .4分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不
4、变；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即分母分子分母分子分母分子分母分子（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单 . 5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式， 这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式. 7分式的乘除法法则：,bdacdcbabcadcdbadcba. 8分式
5、的乘方：为正整数）（n.babannn. 9负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a0), a-n=na1 (a 0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：nnabba，nmmnabba；（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1. 10分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母 . 11最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幂 . 12同分母与异分母的分式加减法法则：;cbacbcabdbcadbdbcbdaddcba. 13 含有字母系数的一元
6、一次方程：在方程 ax+b=0(a0)中,x 是未知数,a 和 b是用字母表示的已知数，对 x来说，字母 a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母 b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程 .注意：在字母方程中,一般用 a、b、c 等表示已知数，用 x、y、z 等表示未知数. 14公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程 .特别要注意： 字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为 0. 15分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程. 16
7、分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根. 17分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母） ，若值为零，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根 . 18分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用
8、题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1平方根的定义：若 x2=a,那么 x 叫 a 的平方根， （即 a 的平方根是 x） ；注意： （1）a 叫 x 的平方数， （2）已知 x 求 a叫乘方，已知 a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算 . 2平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0 的平方根还是 0；（3）负数没有平方根. 3平方根的表示方法：a的平方根表示为a和a.注意：a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算. 4算术平方根：正数 a 的正的平方根叫 a的算术平方根，表示为a. 注意：0的算术平方根还是 0. 5三个重要非负数： a20 ,|a
9、|0 ，a0 . 注意：非负数之和为 0，说明它们都是 0. 6两个重要公式：（1）aa2; (a 0) （2）)0a(a)0a(aaa2 . 7立方根的定义：若 x3=a,那么 x 叫 a 的立方根， （即 a的立方根是 x）. 注意： （1）a叫 x 的立方数； （2）a的立方根表示为3a；即把 a 开三次方.8立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根还是 0；（3）负数的立方根是一个负数. 9立方根的特性：33aa. 10无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意： 和开方开不尽的数是无理数. 11实数：有理数和无理数统称实数. 12实数的分类： （1）无限不循环小数负
10、无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）负实数正实数实数 0 . 13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应 . 14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示 . 注意： （1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12732.13236.25.三角形几何 A级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义
11、：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （如图）ABCD几何表达式举例：(1) AD平分BAC BAD= CAD (2) BAD= CAD AD是角平分线2三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线 .（如图）ABCD几何表达式举例：(1) AD是三角形的中线 BD = CD (2) BD = CD AD是三角形的中线3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 . （如图）ABCD几何表达式举例：(1) AD是ABC 的高ADB=90 (2) ADB=
12、90 AD是ABC 的高4三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边. （如图）ABC几何表达式举例：(1) AB+BCAC (2) AB-BC AC 5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 . （如图）ABC几何表达式举例：(1) ABC 是等腰三角形 AB = AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页(2) AB = AC ABC 是等腰三角形6等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 . （如图）ABC几何表达式举例：(1) ABC 是等边三角形A
13、B=BC=AC (2) AB=BC=AC ABC 是等边三角形7三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和 180 ； （如图）（2）直角三角形的两个锐角互余； （如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . （1）（2）（3） （4）几何表达式举例：(1) A+ B+ C=180 (2) C=90 A+ B=90 (3) ACD= A+ B (4) ACD A 8直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) C=90 ABC 是直角三角形(2) ABC 是直角三角形C
14、=90 9等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) C=90 CA=CB ABC 是等腰直角三角形(2) ABC 是等腰直角三角形C=90 CA=CB DABCABCABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页10全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等； （如图）（2）全等三角形的对应角相等 . （如图）几何表达式举例：(1) ABC EFG AB = EF (2) ABC EFG A=E 11全等三角形的判定：“SAS ” “ASA ” “AAS
15、” “SSS ” “HL ”. （如图）（1） （2）（3）几何表达式举例：(1) AB = EF B= F 又 BC = FG ABC EFG (2) (3) 在 RtABC 和 RtEFG 中 AB=EF 又 AC = EG RtABC RtEFG 12角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等； （如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上. （如图）AOBCDE几何表达式举例：(1) OC 平分AOB 又CD OA CE OB CD = CE (2) CD OA CE OB 又CD = CE OC是角平分线13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条
16、线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 .（如图）ABEFO几何表达式举例：(1) EF垂直平分 AB EF AB OA=OB ABCGEFABCGEFABCEFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页(2) EF AB OA=OB EF是 AB的垂直平分线14线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等； （如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. （如图）ABCMNP几何表达式举例：(1) MN 是线段 AB的垂直平分线 PA = PB
17、(2) PA = PB 点 P在线段 AB的垂直平分线上15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等； （即等边对等角） （如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是 60. （如图）ABC（1）ABCD（2）ABC（3）几何表达式举例：(1) AB = AC B= C (2) AB = AC 又BAD= CAD BD = CD AD BC (3) ABC 是等边三角形A= B= C =60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页
18、16等腰三角形的判定定理及推论：（1） 如果一个三角形有两个角都相等， 那么这两个角所对边也相等； （即等角对等边） （如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （如图）（3）有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形； （如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边是斜边的一半. （如图）ABC（1）ABC（2） （3）ABC（4）几何表达式举例：(1) B= C AB = AC (2) A= B= C ABC 是等边三角形(3) A=60 又AB = AC ABC 是等边三角形(4) C=90 B=30 AC =21AB 17关于轴对称的定理（1）关于某条直
19、线对称的两个图形是全等形； （如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 .（如图）几何表达式举例：(1) ABC 、EGF关于 MN 轴对称ABC EGF (2) ABC 、EGF关于 MN 轴对称OA=OE MNAE 18勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方， 即 a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 .（如图）ABC几何表达式举例：(1) ABC 是直角三角形a2+b2=c2(2) a2+b2=c2ABC 是直角三角形19Rt斜边中线定理及逆
20、定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半； （如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形 .（如图）DABC几何表达式举例：(1)ABC 是直角三角形D是 AB的中点CD = 21AB (2) CD=AD=BD ABC 是直角三角形EFMOABCNG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页几何 B级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、
21、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差第三边另两边之和 . 2 三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外 .注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段 . 3如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若 CD AB ，BE CA ，则 CD AB=BE CA. 4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和 . 5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和 . 6分别含 30、45、60的直角
22、三角形是特殊的直角三角形 . 7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） ACCB=CDAB ；（2）1=B ，2=A . 8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角 . 9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边 . 10等边三角形是特殊的等腰三角形 . 11几何习题中， “文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明 . 12符合“AAA ” “SSA ”条件的三角形不能判定全等 . 13几何习题经常用四种方法进行分析： （1）分析综合法； （2）方程分析法； （3）代入分析法； （4）图形观察法. 14几何基本作图分为： （1
23、）作线段等于已知线段； （2）作角等于已知角； （3）作已知角的平分线； （4）过已知点作已知直线的垂线； （5）作线段的中垂线； （6）过已知点作已知直线的平行线 . 15会用尺规完成“SAS ” 、 “ASA ” 、 “AAS ” 、 “SSS ” 、 “HL ” 、 “等腰三角形” 、 “等边三角形” 、 “等腰直角三角形”的作图. 16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图 . ABCEDABCD12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页17
24、几何画图的类型： （1）估画图； （2）工具画图； （3）尺规画图. 18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；一举多得；聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线. （若 BD是角平分线） 在 BA上截取 BE=BC 构造全等，转移线段和角；过 D点作 DE BC交 AB于 E ，构造等腰三角形 . （3）已知三角形中线（若 AD是 BC的中线） 过 D点作 DE AC交 AB于 E ，构造中位线 ； 延长 AD到 E，使 DE=AD 连结 CE构造全等， 转移线段和角；AD是中线S ABD= S AD
25、C （等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC 作等腰三角形 ABC 底边的中线 AD （顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形； 作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE ，构造新的等腰三角形. BCDAEBCDAEADECBADECBADCBADCBEADCBEADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页（5）其它作等边三角形 ABC 一边 的平行线 DE ，构造新的等边三角形； 作 CE AB ，转移角；延长 BD与 AC交于 E，不规则图形转化为规则图形； 多边形转化为三角形； 延长 BC到 D ，使 CD=BC，连结 AD ， 直角三角形转化为等腰三角形； 若 ab,AC,BC是角平分线, 则C=90 . DACBECBADECEBDAADOBCEBCDABACab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
