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1、优秀学习资料欢迎下载第一、二讲分式、分式方程【知识梳理】1.分式的定义:如果 A、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子BA叫做 分式 。2.分式有意义条件:分式的分母不等于 0;3.分式值为零的条件:当分式的分子等于0 且分母不等于0 时,分式的值为0。(分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式AB为 0 的条件是A0,且 B 0. )4.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0 的整式,分式的值不变。用式子表示为(0C) ,其中 A、B、C 是整式注意:(1)“C是一个不等于0 的整式 ” 是分式基本性质的一个制约条件;(2)应用分式的基本性质时,要
2、深刻理解“ 同” 的含义,避免犯只乘分子(或分母)的错误;(3)若分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一整式 C;(4)分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.分式的通分:和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分 。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点:(1) “ 各分母所有因式的最高次幂” 是指凡出现的字母(
3、或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。6.分式的约分:和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分 。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母分解因式,然后再约分;(2)找公因式的方法: 当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,
4、再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式;当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。易错点:(1)当分子或分母是一个式子时,要看做一个整体,易出现漏乘(或漏除以);( 2) 在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“” 放在分数线前;( 3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母;7.分式的运算:分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。用式子表示是:;a cac aca dadb dbd bdb cbcCBCABACBCABA精选学习
5、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载提示: (1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母分解公因式,看能否约分,然后再相乘;(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变(3)分式的除法可以转化为分式的乘法运算;(4)分式的乘除混合运算统一为乘法运算。分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同,即按照从左到右的顺序,有括号先算括号分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,可
6、先确定积的符号;分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式。分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母各自乘方。 用式子表示是:()nnnaabb(其中 n 是正整数)注意: (1)乘方时,一定要把分式加上括号;(2)分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂为正,奇次幂为负;(3)分式乘方时,应把分子、分母分别看做一个整体;(4)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解因式,再约分。分式的加减法则:法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。用式子表示为:a
7、bcba cb法则:异分母的分式相加减,先通分,转化为同分母分式,然后再加减。用式子表示为:abcdadbdbcbdad bcbd注意: (1)“ 把分子相加减 ” 是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式时括号可以省略;(2)异分母分式相加减,“ 先通分 ” 是关键,最简公分母确定后再通分,计算时要注意分式中符号的处理,特别是分子相减,要注意分子的整体性;(3)运算时顺序合理、步骤清晰;(4)运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算: 分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先
8、算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即)0(10aa;当 n 为正整数时,nnaa1()0a注意:当幂指数为负整数时,最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9. 整数指数幂:若 m、 n为正整数, a 0,am amnamam.an1an又因为 am amnammnan,所以 an1an一般地,当n 是正整数时,an1an(a0 ) ,即 an(a0 )是 an的倒数,这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质:(m,n 是整数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
9、第 2 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载(1)同底数的幂的乘法:nmnmaaa;(2)幂的乘方:mnnmaa )(; (3)积的乘方:nnnbaab)(;(4)同底数的幂的除法:nmnmaaa( a 0);(5)商的乘方:nnnbaba)(;(b 0)规定: a0 1(a0 ) ,即任何不等于0 的零次幂都等于1. 10. 分式方程: 含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想方法是:分式方程 整式方程 . (2)解分式方程的一般方法和步骤:去分母:即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质;解这个整式方程;
10、检验:把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0 的解是原方程的解,使最简公分母等于0的解不是原方程的解,即说明原分式方程无解。注意:去分母时,方程两边的每一项都乘以最简公分母,不要漏乘不含分母的项; 解分式方程必须要验根,千万不要忘了!解分式方程的步骤:(1) 能化简的先化简;(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。11.含有字母的分式方程的解法:在数学式子的字母不仅可以表示未知数,也可以表示已知数,含有字母已知数
11、的分式方程的解法,也是去分母,解整式方程,检验这三个步骤,需要注意的是要找准哪个字母表示未知数,哪个字母表示未知数,还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数,不要混淆。12.列分式方程解应用题的步骤是:(1)审: 审清题意; (2)找: 找出相等关系;(3)设: 设未知数; (4)列: 列出分式方程;(5)解: 解这个分式方程; (6)验: 既要检验根是否是所列分式方程的解,又要检验根是否符合题意;(7)答:写出答案。应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种:(1)行程问题基本公式: 路程 =速度 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制
12、数的表示法(3)工程问题基本公式:工作量=工时 工效(4)顺水逆水问题v顺水= v静水+v水v逆水= v静水-v水11.科学记数法: 把一个数表示成na10的形式 (其中101a,n 是整数)的记数方法叫做科学记数法用科学记数法表示绝对值大于1 的数时 ,应当表示为a 10n的形式 ,其中 1 a 10,n 为原整数部分的位数减 1;用科学记数法表示绝对值小于1 的数时 ,则可表示为a 10n的形式,其中n 为原数第1 个不为 0 的数字前面所有 0 的个数 (包括小数点前面的那个0),1 a 10. 【能力训练】(一)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 3 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载一、选择题:1.代数式 -,23x,1,87,1,42axyxyx中是分式的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.使分式2xx有意义的是()A.2xB. 2xC. 2xD. 2x或2x3. 下列各式中,可能取值为零的是()A2211mmB211mmC211mmD211mm4. 分式434yxa,2411xx,22xxyyxy,2222aababb中是最简分式的有()A1 个B2 个C 3 个D4 个5. 如果把分式yxyx2中的yx,都扩大 2 倍,则分式的值()A.扩大 2 倍B.缩小 2 倍C.是原来的32D.不变6.
14、一项工程,甲单独干,完成需要a天,乙单独干,完成需要b天,若甲、乙合作,完成这项工程所需的天数是()A.baabB.ba11C.abbaD.)(baab7. 如果, 0432zyx那么zyxzyx的值是()A.7 B.8 C.9 D.10 8 (-2bm)2n+1的值是()A2321nnbmB-2321nnbmC4221nnbmD-4221nnbm9如果(32ab)2 (3ab)2=3,那么84a b等于()A6 B9 C12 D81 二、填空题:1. 当 x=时,分式33xx的值为 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共
15、 7 页优秀学习资料欢迎下载2. 已 知2+,15441544,833833 ,32232222若10+bababa,(102为 正 整 数 ) 则a,b. 3.化简23xx22694xxx=_. 4. 化简(3x yz)2 (xzy) (2yzx)3=_. 三、计算题:1. 已知1x-1y=3,求5352xxyyxxyy的值2. 先能明白( 1)小题的解答过程,再解答第(2)小题,(1)已知,0132aa求221aa的值,解,由0132aa知,0a31,013aaaa即72)1(1222aaaa;(2)已知:,0132yy求13484yyy的值 . 3已知 3 a-b+1+(3a-32b)2
16、=0求2bab (bab) (abab) 的值(二)一、选择、填空题:1.若关于x的方程0111xxxm,有增根,则m的值是()A.3 B.2 C.1 D.-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载2.若方程,)4)(3(1243xxxxBxA那么 A、B 的值为()A.2 ,1 B.1,2 C.1,1 D.-1,-1 3.分式方程0222xxx的增根是. 4. 一汽车从甲地开往乙地,每小时行驶v1千米, t 小时可到达,如果每小时多行驶v2千米,那么可提前到达_小时 . 5. 农机厂职工到距工厂1
17、5 千米的某地检修农机,一部分人骑自行车先走40 分钟后,其余人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车速度为自行车速度的3 倍,若设自行车的速度为x 千米 /时,则所列方程为. 6.已知,54yx则2222yxyx. 二、解答题7. 解方程(1) xxx34231(2)21124xxx8. 在四川汶川地震灾后重建中,某公司拟为灾区援建一所希望学校公司经过调查了解:甲、乙两个工程队有能力承包建校工程,甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5 倍,甲、乙两队合作完成建校工程需要72 天(1)甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天?(2)在施工过程中, 该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行
18、全程监督,每天需要补助100 元若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8 万元现公司选择了乙工程队,要求其施工总费用不能超过甲工程队,则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少?温馨提示:总费用平均每天的费用天数补助费精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载9. 某人骑自行车比步行第小时快8 千米,坐汽车比骑自行车每小时快16 千米。此人从A 地出发,先步行4 千米,然后乘汽车10 千米,就到达B 地。他又骑自行车从B 地返回 A 地。结果往返所用的时间恰好相同。求此人步行的速度。10. 关于x的方程:ccxx11的解为:;1,21cxcxccxx11(可变形为ccxx11)的解为:;1,21cxcxccxx22的解为:;2,21cxcxccxx33的解为:;3,21cxcx(1)请你根据上述方程与解的特征,比较关于x的方程cmcxmx()0m与它们的关于,猜想它的解是什么?(2)请总结上面的结论,并求出方程1212aayy的解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页