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1、优秀学习资料欢迎下载第一、二讲分式、分式方程【知识梳理】1.分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做 分式 。2.分式有意义条件：分式的分母不等于 0；3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0。（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式AB为 0 的条件是A0，且 B 0. ）4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。用式子表示为（0C） ，其中 A、B、C 是整式注意：（1）“C是一个不等于0 的整式 ” 是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要
2、深刻理解“ 同” 的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式 C；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1） “ 各分母所有因式的最高次幂” 是指凡出现的字母（
3、或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法： 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，
4、再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；（ 2） 在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“” 放在分数线前；（ 3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；7.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示是：;a cac aca dadb dbd bdb cbcCBCABACBCABA精选学习
5、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载提示： （1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可
6、先确定积的符号；分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母各自乘方。 用式子表示是：()nnnaabb（其中 n 是正整数）注意： （1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。分式的加减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为：a
7、bcba cb法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。用式子表示为：abcdadbdbcbdad bcbd注意： （1）“ 把分子相加减 ” 是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“ 先通分 ” 是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；（3）运算时顺序合理、步骤清晰；（4）运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算: 分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先
8、算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10aa；当 n 为正整数时，nnaa1（)0a注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9. 整数指数幂：若 m、 n为正整数， a 0，am amnamam.an1an又因为 am amnammnan,所以 an1an一般地，当n 是正整数时，an1an（a0 ） ，即 an（a0 ）是 an的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n 是整数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
9、第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa )(; （3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa( a 0)；（5）商的乘方：nnnbaba)(；(b 0)规定： a0 1（a0 ） ，即任何不等于0 的零次幂都等于1. 10. 分式方程： 含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程 . （2）解分式方程的一般方法和步骤：去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；解这个整式方程；
10、检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0 的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。注意：去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！解分式方程的步骤：(1) 能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。11.含有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数
11、的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。12.列分式方程解应用题的步骤是：(1)审： 审清题意； (2)找: 找出相等关系；(3)设： 设未知数； (4)列： 列出分式方程；(5)解： 解这个分式方程； (6)验： 既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：(1)行程问题基本公式： 路程 =速度 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制
12、数的表示法(3)工程问题基本公式：工作量=工时 工效(4)顺水逆水问题v顺水= v静水+v水v逆水= v静水-v水11.科学记数法： 把一个数表示成na10的形式 （其中101a，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法用科学记数法表示绝对值大于1 的数时 ，应当表示为a 10n的形式 ,其中 1 a 10,n 为原整数部分的位数减 1；用科学记数法表示绝对值小于1 的数时 ,则可表示为a 10n的形式，其中n 为原数第1 个不为 0 的数字前面所有 0 的个数 (包括小数点前面的那个0)，1 a 10. 【能力训练】（一）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载一、选择题：1.代数式 -,23x,1,87,1,42axyxyx中是分式的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.使分式2xx有意义的是（）A.2xB. 2xC. 2xD. 2x或2x3. 下列各式中，可能取值为零的是（）A2211mmB211mmC211mmD211mm4. 分式434yxa，2411xx，22xxyyxy，2222aababb中是最简分式的有（）A1 个B2 个C 3 个D4 个5. 如果把分式yxyx2中的yx,都扩大 2 倍，则分式的值（）A.扩大 2 倍B.缩小 2 倍C.是原来的32D.不变6.
14、一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（）A.baabB.ba11C.abbaD.)(baab7. 如果, 0432zyx那么zyxzyx的值是（）A.7 B.8 C.9 D.10 8 （-2bm）2n+1的值是（）A2321nnbmB-2321nnbmC4221nnbmD-4221nnbm9如果（32ab）2 （3ab）2=3，那么84a b等于（）A6 B9 C12 D81 二、填空题：1. 当 x=时，分式33xx的值为 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共
15、 7 页优秀学习资料欢迎下载2. 已 知2+,15441544,833833 ,32232222若10+bababa,(102为 正 整 数 ） 则a，b. 3.化简23xx22694xxx=_. 4. 化简（3x yz）2 （xzy） （2yzx）3=_. 三、计算题：1. 已知1x-1y=3，求5352xxyyxxyy的值2. 先能明白（ 1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，（1）已知,0132aa求221aa的值，解，由0132aa知,0a31,013aaaa即72)1(1222aaaa；（2）已知：,0132yy求13484yyy的值 . 3已知 3 a-b+1+（3a-32b）2
16、=0求2bab （bab） （abab） 的值（二）一、选择、填空题：1.若关于x的方程0111xxxm，有增根，则m的值是（）A.3 B.2 C.1 D.-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载2.若方程,)4)(3(1243xxxxBxA那么 A、B 的值为（）A.2 ，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 3.分式方程0222xxx的增根是. 4. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1千米， t 小时可到达，如果每小时多行驶v2千米，那么可提前到达_小时 . 5. 农机厂职工到距工厂1
17、5 千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40 分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3 倍，若设自行车的速度为x 千米 /时，则所列方程为. 6.已知,54yx则2222yxyx. 二、解答题7. 解方程(1) xxx34231（2）21124xxx8. 在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5 倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72 天（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？（2）在施工过程中， 该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行
18、全程监督，每天需要补助100 元若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8 万元现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？温馨提示：总费用平均每天的费用天数补助费精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载9. 某人骑自行车比步行第小时快8 千米，坐汽车比骑自行车每小时快16 千米。此人从A 地出发，先步行4 千米，然后乘汽车10 千米，就到达B 地。他又骑自行车从B 地返回 A 地。结果往返所用的时间恰好相同。求此人步行的速度。10. 关于x的方程：ccxx11的解为：;1,21cxcxccxx11（可变形为ccxx11）的解为：;1,21cxcxccxx22的解为：;2,21cxcxccxx33的解为：;3,21cxcx（1）请你根据上述方程与解的特征，比较关于x的方程cmcxmx（)0m与它们的关于，猜想它的解是什么？（2）请总结上面的结论，并求出方程1212aayy的解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
