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1、2008 年全国中考数学压轴题精选( 八) 71（08 江苏镇江28 题） （本小题满分8 分）探索研究如图， 在直角坐标系xOy中，点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(01)，直线l过(01)B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于CQ，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线214yx有无其它公共点？并说明理由（08 江苏镇江28 题解析）（1）法一：由题可知1AOCQ90AOHQCHoQ，AHOQHC，AOHQCH （1
2、 分）OHCH，即H为AQ的中点（2 分）法二：(01)AQ，(01)B，OAOB （1 分）又BQx轴，HAHQ （2 分）（2）由（ 1）可知AHQH，AHRQHP，ARPQQ，RAHPQH，RAHPQH （3 分）ARPQ，又ARPQ，四边形APQR为平行四边形（4 分）设214Pmm，PQyQ轴，则(1)Q m，则2114PQm过P作PGy轴，垂足为G，在RtAPG中，x l Q C P A O B H R y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页22222222111111444APAGPGmmmmPQ平行
3、四边形APQR为菱形 （6 分）（3）设直线PR为ykxb，由OHCH，得22mH，214P mm，代入得：2021.4mkbkmbm，221.4mkbm，直线PR为2124myxm（7 分）设直线PR与抛物线的公共点为214xx，代入直线PR关系式得：22110424mxxm，21()04xm，解得xm得公共点为214mm，所以直线PH与抛物线214yx只有一个公共点P （8 分）72（08 黑龙江齐齐哈尔28 题） （本小题满分10 分）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点( 3 0)C， 点AB，分 别 在x轴 ，y轴 的 正 半 轴 上 ， 且 满 足2310OBOA
4、（1）求点A，点B的坐标（2）若点P从C点出发，以每秒1 个单位的速度沿射线CB运动，连结AP设ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在点P，使以点ABP， ，为顶点的三角形与AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由yxAOCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页（08 黑龙江齐齐哈尔28 题解析） 解： （1）2310OBOAQ230OB，10OA（1 分）3OB，1OAQ点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上(10
5、)(03)AB，（2 分）（2）求得90ABCo（3 分）2 3(02 3)2 3 (2 3)ttStt（每个解析式各1 分，两个取值范围共1 分）（6 分）（3）1( 3 0)P，；22133P，；34133P，；4(3 2 3)P，（每个 1 分，计 4 分）（10 分）注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分73（08 海南省卷24 题） （本题满分14 分）如图 13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A, 它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1 经过抛物线上一点B(-2,m) ，且与y轴、直线x=2 分别交于点D、E. （ 1）求m的值及该抛物线对应的函数
6、关系式；（ 2）求证：CB=CE；D是BE的中点；（ 3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P, 使得PB=PE, 若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （08 海南省卷24 题解析）（1）点B(-2,m) 在直线y=-2x-1 上，A B C O D E xyx=2图 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页m=-2(-2)-1=3. （2 分）B(-2,3) 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， 点A的坐标为 (4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a
7、(x-0)(x-4). （3 分）将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，41a. 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41xxy，即xxy241. （6 分）（ 2）直线y=-2x-1 与y轴、直线x=2 的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BGx轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则BG直线x=2，BG=4. 在RtBGC中，BC=522BGCG. CE=5，CB=CE=5. （9 分）过点 E作EHx轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5). 又点F、D的坐标为F(0,3) 、D(0,-1)，FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=
8、90 . DFBDHE（SAS ） ，BD=DE. 即D是BE的中点 . （11 分）（ 3）存在 . （12 分）由于PB=PE，点P在直线CD上， 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0) 代入，得021bkb. 解得1,21bk. 直线CD对应的函数关系式为y=21x-1. 动点P的坐标为 (x，xx241) ，21x-1=xx241. （13 分）解得531x，532x. 2511y，2511y. 符合条件的点P的坐标为 (53，251) 或(53，251). （ 14 分）( 注：用其它方法求解参照以上标准
9、给分.) 74（08 广东东莞22 题） （本题满分9 分）将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边A B C O D E xyx=2G F H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页AB重合，直角边不重合，已知AB=8 ，BC=AD=4 ，AC与 BD相交于点E，连结 CD (1) 填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是梯形 . (2) 请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）. (3) 如图 10， 若以 AB所在直线为x轴， 过点 A垂直于 AB的直线为y轴建立如图10
10、的平面直角坐标系，保持 ABD不动，将 ABC向x轴的正方向平移到FGH的位置， FH与 BD相交于点P ，设 AF=t，FBP面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围. （08 广东东莞22 题解析） 解： （1）4 3，4 3，1 分等腰；2 分（ 2）共有 9 对相似三角形.（写对 3 5 对得 1 分，写对6 8 对得 2 分，写对9 对得 3 分） DCE 、 ABE与 ACD 或 BDC两两相似，分别是：DCE ABE ， DCE ACD ， DCE BDC ，ABE ACD ， ABE BDC ；( 有 5 对) ABD EAD ， ABD EBC ；(
11、 有 2 对) BAC EAD ， BAC EBC ；( 有 2 对) 所以，一共有9 对相似三角形.5 分（3）由题意知，FP AE ， 1 PFB ，又1 230， PFB 230, FPBP.6 分过点 P作 PK FB于点 K，则12FKBKFB. AFt ，AB8， FB8t ，1(8)2BKt. 在 RtBPK中，13tan2(8)tan30(8)26PKBKtt. 7 分 FBP的面积113(8)(8)226SFB PKtt， S 与 t 之间的函数关系式为：23(8)12St，或2341631233Stt. 8 分t 的取值范围为：08t. 9 分D C B A E 图 9 E
12、 D C H F G B A P y x 图10 21图10PGHFEDCBAxyK 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页75（08 甘肃兰州28 题） （本题满分12 分）如图19-1 ，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，5OA，4OC（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求DE，两点的坐标；（2）如图 19-2 ，若AE上有一动点P（不与AE，重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度， 设
13、运动的时间为t秒 （05t） ， 过P点作ED的平行线交AD于点M， 过点M作AE的平行线交DE于点N求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（ 2）的条件下，当t为何值时，以AME，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标（08 甘肃兰州28 题解析）（本题满分12 分）解： （1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在RtABE中，5AEAO，4AB2222543BEAEAB2CEE点坐标为（ 2， 4） 2 分在RtDCE中，222DCCEDE，又DEODQ222(4)2ODOD解得：52CDD点坐标为50
14、2， 3 分（2）如图PMEDQ，APMAEDPMAPEDAE，又知APt，52ED，5AE5522ttPM， 又5PEtQ而显然四边形PMNE为矩形215(5)222PMNEtSPM PEtttg矩形 5 分21525228PMNESt四边形，又5052Q当52t时，PMNES矩形有最大值258 6 分（3） （i ）若以AE为等腰三角形的底，则MEMA（如图）在RtAED中，MEMA，PMAEQ，P为AE的中点，y x B C O A D E 图 19- 1 y x B C O A D E 图 19- 2 P M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
15、- - - - -第 6 页，共 11 页1522tAPAE又PMEDQ，M为AD的中点过点M作MFOA，垂足为F，则MF是OAD的中位线，1524MFOD，1522OFOA，当52t时，5052，AME为等腰三角形此时M点坐标为5 52 4， 8 分（ii ）若以AE为等腰三角形的腰，则5AMAE（如图）在RtAOD中，2222555522ADODAO过点M作MFOA，垂足为FPMEDQ，APMAEDAPAMAEAD552 5552AM AEtAPADg，152PMt5MFMP，52 5OFOAAFOAAP，当2 5t时， （0255） ，此时M点坐标为(52 55)，11 分综合（ i ）
16、 （ii ）可知，52t或2 5t时，以AME，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为5 52 4，或(52 55)，12 分76（08 天津市卷26 题） （本小题 10 分）已知抛物线cbxaxy232，y x B C O A D E 图P M N F y x B C O A D E 图P M N F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页（）若1ba，1c，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（）若1ba，且当11x时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（）若0cba，且01x时，对应的01y
17、；12x时，对应的02y，试判断当10x时，抛物线与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由（08 天津市卷26 题解析） 解（）当1ba，1c时，抛物线为1232xxy，方程01232xx的两个根为11x，312x该抛物线与x轴公共点的坐标是1 0，和103， 2 分（）当1ba时，抛物线为cxxy232，且与 x 轴有公共点对于方程0232cxx，判别式c124 0，有 c 31 3 分当31c时，由方程031232xx，解得3121xx此时抛物线为31232xxy与 x 轴只有一个公共点103， 4 分当31c时，11x时，ccy1231，12x时，ccy5232由已
18、知11x时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31x，应有1200.yy ，即1050.cc ，解得51c综上，31c或51c 6 分（）对于二次函数cbxaxy232，由已知01x时，01cy；12x时，0232cbay，又0cba，babacbacba22)(23于是02ba而cab，02caa，即0ca0ca 7 分关于 x 的一元二次方程0232cbxax的判别式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页0)(412)(4124222accaaccaacb，抛物线cbxaxy232与 x轴有两个公共
19、点，顶点在x 轴下方 8 分又该抛物线的对称轴abx3，由0cba，0c，02ba，得aba2，32331ab又由已知01x时，01y；12x时，02y，观察图象，可知在10x范围内，该抛物线与x轴有两个公共点10 分77（08 湖北宜昌25 题） 如图 1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0 ， 0)，A(0 ，n) ，C(m，0)动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2 所示m，n是常数， m 1，n0（ 1）请你确定n的值和点B的坐标；（ 2）当动点P是经过点O，C的抛物线yax2bxc的顶点，且在双曲线y
20、115x上时，求这时四边形OABC的面积（08 湖北宜昌25 题解析） 解： (1) 从图中可知，当P从O向A运动时，POC的面积S12mz， z由 0逐步增大到2, 则S由 0 逐步增大到m，故OA2，n2 . (1分) 同理，AB 1，故点B的坐标是 (1，2).(2分 ) (2) 解法一：抛物线yax2bxc经过点O(0 ，0)，C(m，0), c0，bam，(3 分) 抛物线为yax2amx，顶点坐标为 (2m，14am2).(4分) 如图 1，设经过点O，C，P的抛物线为l. 当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，这时抛物线l不存在 , 故不
21、存在m的值. Oyx 1(图 1) (图 2) (第 25 题)O1ABzCDFEOyxm321SABy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页当点P与C重合时，双曲线y115x不可能经过P, 故也不存在m的值 . (5 分) ( 说明：任做对一处评1 分，两处全对也只评一分) 当P在AB上运动时，即当02, 与x02m1 不合，舍去 .(6 分) 容易求得直线BC的解析式是：2211myxmm，(7 分) 当P在BC上运动，设P的坐标为 (x0,y0) ，当P是顶点时x02m，故得y002211mxmm1mm，顶点P为
22、(2m，1mm) ，1 x02m2，又P在双曲线y115x上，于是，2m1mm115，化简后得5m222m220, 解得1222 1110m,2222 1110m,(8分)2 112,222 1120,Q2222 112,10m与题意 2x02mm不合 , 舍去 . (9 分 ) 故由，满足条件的只有一个值：222 1110m. 这时四边形OABC的面积1(1)22m16115.(10分) (2) 解法二：抛物线yax2bxc经过点O(0，0) ，C(m，0) c 0，bam，(3 分) 抛物线为yax2amx，顶点坐标P为(m2，14am2). (4分) m 1，m20，且m2m，P不在边O
23、A上且不与C重合 . (5分 ) P在双曲线y115x上，m2( 14am2) 115即a885m3 . (25 题图 2) AN MPBCOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页. 当 1m2 时，12m21，如图 2, 分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，14am2 2，即a8m2 . 而a885m3，885m38m2，m1152，而 1m 2，不合题意，舍去.(6分) 当m2 时，m21，如图 3, 分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足， ON OM ，此时点P在线
24、段CB上，易证RtBMCRtPNC，BMPNMCNC，即: 2 PN(m1)m2，PNmm 1(7 分) 而P的纵坐标为14am2，mm114am2，即a4m(1m)而a885m3，885m34m(1m)化简得： 5m222m22 0. 解得：m1111 5，(8 分) 但m2，所以m1111 5舍去， (9 分) 取m1111 5 . 由以上 , 这时四边形OABC的面积为：12 (ABOC) OA12 (1 m) 21611 5 . (10分) (25 题图 3) ANMPBCOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
