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1、2008 年全国中考数学压轴题精选( 八) 71(08 江苏镇江28 题) (本小题满分8 分)探索研究如图, 在直角坐标系xOy中,点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点,点A的坐标为(01),直线l过(01)B,且与x轴平行,过P作y轴的平行线分别交x轴,l于CQ,连结AQ交x轴于H,直线PH交y轴于R(1)求证:H点为线段AQ的中点;(2)求证:四边形APQR为平行四边形;平行四边形APQR为菱形;(3)除P点外,直线PH与抛物线214yx有无其它公共点?并说明理由(08 江苏镇江28 题解析)(1)法一:由题可知1AOCQ90AOHQCHoQ,AHOQHC,AOHQCH (1
2、 分)OHCH,即H为AQ的中点(2 分)法二:(01)AQ,(01)B,OAOB (1 分)又BQx轴,HAHQ (2 分)(2)由( 1)可知AHQH,AHRQHP,ARPQQ,RAHPQH,RAHPQH (3 分)ARPQ,又ARPQ,四边形APQR为平行四边形(4 分)设214Pmm,PQyQ轴,则(1)Q m,则2114PQm过P作PGy轴,垂足为G,在RtAPG中,x l Q C P A O B H R y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页22222222111111444APAGPGmmmmPQ平行
3、四边形APQR为菱形 (6 分)(3)设直线PR为ykxb,由OHCH,得22mH,214P mm,代入得:2021.4mkbkmbm,221.4mkbm,直线PR为2124myxm(7 分)设直线PR与抛物线的公共点为214xx,代入直线PR关系式得:22110424mxxm,21()04xm,解得xm得公共点为214mm,所以直线PH与抛物线214yx只有一个公共点P (8 分)72(08 黑龙江齐齐哈尔28 题) (本小题满分10 分)如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点( 3 0)C, 点AB,分 别 在x轴 ,y轴 的 正 半 轴 上 , 且 满 足2310OBOA
4、(1)求点A,点B的坐标(2)若点P从C点出发,以每秒1 个单位的速度沿射线CB运动,连结AP设ABP的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围( 3)在( 2)的条件下,是否存在点P,使以点ABP, ,为顶点的三角形与AOB相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由yxAOCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页(08 黑龙江齐齐哈尔28 题解析) 解: (1)2310OBOAQ230OB,10OA(1 分)3OB,1OAQ点A,点B分别在x轴,y轴的正半轴上(10
5、)(03)AB,(2 分)(2)求得90ABCo(3 分)2 3(02 3)2 3 (2 3)ttStt(每个解析式各1 分,两个取值范围共1 分)(6 分)(3)1( 3 0)P,;22133P,;34133P,;4(3 2 3)P,(每个 1 分,计 4 分)(10 分)注:本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,酌情给分73(08 海南省卷24 题) (本题满分14 分)如图 13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A, 它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1 经过抛物线上一点B(-2,m) ,且与y轴、直线x=2 分别交于点D、E. ( 1)求m的值及该抛物线对应的函数
6、关系式;( 2)求证:CB=CE;D是BE的中点;( 3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P, 使得PB=PE, 若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (08 海南省卷24 题解析)(1)点B(-2,m) 在直线y=-2x-1 上,A B C O D E xyx=2图 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页m=-2(-2)-1=3. (2 分)B(-2,3) 抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2, 点A的坐标为 (4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a
7、(x-0)(x-4). (3 分)将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),41a. 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41xxy,即xxy241. (6 分)( 2)直线y=-2x-1 与y轴、直线x=2 的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BGx轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,则BG直线x=2,BG=4. 在RtBGC中,BC=522BGCG. CE=5,CB=CE=5. (9 分)过点 E作EHx轴,交y轴于H,则点H的坐标为H(0,-5). 又点F、D的坐标为F(0,3) 、D(0,-1),FD=DH=4,BF=EH=2,BFD=EHD=
8、90 . DFBDHE(SAS ) ,BD=DE. 即D是BE的中点 . (11 分)( 3)存在 . (12 分)由于PB=PE,点P在直线CD上, 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0) 代入,得021bkb. 解得1,21bk. 直线CD对应的函数关系式为y=21x-1. 动点P的坐标为 (x,xx241) ,21x-1=xx241. (13 分)解得531x,532x. 2511y,2511y. 符合条件的点P的坐标为 (53,251) 或(53,251). ( 14 分)( 注:用其它方法求解参照以上标准
9、给分.) 74(08 广东东莞22 题) (本题满分9 分)将两块大小一样含30角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边A B C O D E xyx=2G F H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页AB重合,直角边不重合,已知AB=8 ,BC=AD=4 ,AC与 BD相交于点E,连结 CD (1) 填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD 是梯形 . (2) 请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形). (3) 如图 10, 若以 AB所在直线为x轴, 过点 A垂直于 AB的直线为y轴建立如图10
10、的平面直角坐标系,保持 ABD不动,将 ABC向x轴的正方向平移到FGH的位置, FH与 BD相交于点P ,设 AF=t,FBP面积为 S,求 S与 t 之间的函数关系式,并写出t 的取值值范围. (08 广东东莞22 题解析) 解: (1)4 3,4 3,1 分等腰;2 分( 2)共有 9 对相似三角形.(写对 3 5 对得 1 分,写对6 8 对得 2 分,写对9 对得 3 分) DCE 、 ABE与 ACD 或 BDC两两相似,分别是:DCE ABE , DCE ACD , DCE BDC ,ABE ACD , ABE BDC ;( 有 5 对) ABD EAD , ABD EBC ;(
11、 有 2 对) BAC EAD , BAC EBC ;( 有 2 对) 所以,一共有9 对相似三角形.5 分(3)由题意知,FP AE , 1 PFB ,又1 230, PFB 230, FPBP.6 分过点 P作 PK FB于点 K,则12FKBKFB. AFt ,AB8, FB8t ,1(8)2BKt. 在 RtBPK中,13tan2(8)tan30(8)26PKBKtt. 7 分 FBP的面积113(8)(8)226SFB PKtt, S 与 t 之间的函数关系式为:23(8)12St,或2341631233Stt. 8 分t 的取值范围为:08t. 9 分D C B A E 图 9 E
12、 D C H F G B A P y x 图10 21图10PGHFEDCBAxyK 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页75(08 甘肃兰州28 题) (本题满分12 分)如图19-1 ,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,5OA,4OC(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求DE,两点的坐标;(2)如图 19-2 ,若AE上有一动点P(不与AE,重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度, 设
13、运动的时间为t秒 (05t) , 过P点作ED的平行线交AD于点M, 过点M作AE的平行线交DE于点N求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;当t取何值时,S有最大值?最大值是多少?(3)在( 2)的条件下,当t为何值时,以AME,为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标(08 甘肃兰州28 题解析)(本题满分12 分)解: (1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,在RtABE中,5AEAO,4AB2222543BEAEAB2CEE点坐标为( 2, 4) 2 分在RtDCE中,222DCCEDE,又DEODQ222(4)2ODOD解得:52CDD点坐标为50
14、2, 3 分(2)如图PMEDQ,APMAEDPMAPEDAE,又知APt,52ED,5AE5522ttPM, 又5PEtQ而显然四边形PMNE为矩形215(5)222PMNEtSPM PEtttg矩形 5 分21525228PMNESt四边形,又5052Q当52t时,PMNES矩形有最大值258 6 分(3) (i )若以AE为等腰三角形的底,则MEMA(如图)在RtAED中,MEMA,PMAEQ,P为AE的中点,y x B C O A D E 图 19- 1 y x B C O A D E 图 19- 2 P M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
15、- - - - -第 6 页,共 11 页1522tAPAE又PMEDQ,M为AD的中点过点M作MFOA,垂足为F,则MF是OAD的中位线,1524MFOD,1522OFOA,当52t时,5052,AME为等腰三角形此时M点坐标为5 52 4, 8 分(ii )若以AE为等腰三角形的腰,则5AMAE(如图)在RtAOD中,2222555522ADODAO过点M作MFOA,垂足为FPMEDQ,APMAEDAPAMAEAD552 5552AM AEtAPADg,152PMt5MFMP,52 5OFOAAFOAAP,当2 5t时, (0255) ,此时M点坐标为(52 55),11 分综合( i )
16、 (ii )可知,52t或2 5t时,以AME,为顶点的三角形为等腰三角形,相应M点的坐标为5 52 4,或(52 55),12 分76(08 天津市卷26 题) (本小题 10 分)已知抛物线cbxaxy232,y x B C O A D E 图P M N F y x B C O A D E 图P M N F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页()若1ba,1c,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;()若1ba,且当11x时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,求c 的取值范围;()若0cba,且01x时,对应的01y
17、;12x时,对应的02y,试判断当10x时,抛物线与 x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由(08 天津市卷26 题解析) 解()当1ba,1c时,抛物线为1232xxy,方程01232xx的两个根为11x,312x该抛物线与x轴公共点的坐标是1 0,和103, 2 分()当1ba时,抛物线为cxxy232,且与 x 轴有公共点对于方程0232cxx,判别式c124 0,有 c 31 3 分当31c时,由方程031232xx,解得3121xx此时抛物线为31232xxy与 x 轴只有一个公共点103, 4 分当31c时,11x时,ccy1231,12x时,ccy5232由已
18、知11x时,该抛物线与x 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为31x,应有1200.yy ,即1050.cc ,解得51c综上,31c或51c 6 分()对于二次函数cbxaxy232,由已知01x时,01cy;12x时,0232cbay,又0cba,babacbacba22)(23于是02ba而cab,02caa,即0ca0ca 7 分关于 x 的一元二次方程0232cbxax的判别式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页0)(412)(4124222accaaccaacb,抛物线cbxaxy232与 x轴有两个公共
19、点,顶点在x 轴下方 8 分又该抛物线的对称轴abx3,由0cba,0c,02ba,得aba2,32331ab又由已知01x时,01y;12x时,02y,观察图象,可知在10x范围内,该抛物线与x轴有两个公共点10 分77(08 湖北宜昌25 题) 如图 1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0 , 0),A(0 ,n) ,C(m,0)动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2 所示m,n是常数, m 1,n0( 1)请你确定n的值和点B的坐标;( 2)当动点P是经过点O,C的抛物线yax2bxc的顶点,且在双曲线y
20、115x上时,求这时四边形OABC的面积(08 湖北宜昌25 题解析) 解: (1) 从图中可知,当P从O向A运动时,POC的面积S12mz, z由 0逐步增大到2, 则S由 0 逐步增大到m,故OA2,n2 . (1分) 同理,AB 1,故点B的坐标是 (1,2).(2分 ) (2) 解法一:抛物线yax2bxc经过点O(0 ,0),C(m,0), c0,bam,(3 分) 抛物线为yax2amx,顶点坐标为 (2m,14am2).(4分) 如图 1,设经过点O,C,P的抛物线为l. 当P在OA上运动时,O,P都在y轴上,这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上,这时抛物线l不存在 , 故不
21、存在m的值. Oyx 1(图 1) (图 2) (第 25 题)O1ABzCDFEOyxm321SABy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页当点P与C重合时,双曲线y115x不可能经过P, 故也不存在m的值 . (5 分) ( 说明:任做对一处评1 分,两处全对也只评一分) 当P在AB上运动时,即当02, 与x02m1 不合,舍去 .(6 分) 容易求得直线BC的解析式是:2211myxmm,(7 分) 当P在BC上运动,设P的坐标为 (x0,y0) ,当P是顶点时x02m,故得y002211mxmm1mm,顶点P为
22、(2m,1mm) ,1 x02m2,又P在双曲线y115x上,于是,2m1mm115,化简后得5m222m220, 解得1222 1110m,2222 1110m,(8分)2 112,222 1120,Q2222 112,10m与题意 2x02mm不合 , 舍去 . (9 分 ) 故由,满足条件的只有一个值:222 1110m. 这时四边形OABC的面积1(1)22m16115.(10分) (2) 解法二:抛物线yax2bxc经过点O(0,0) ,C(m,0) c 0,bam,(3 分) 抛物线为yax2amx,顶点坐标P为(m2,14am2). (4分) m 1,m20,且m2m,P不在边O
23、A上且不与C重合 . (5分 ) P在双曲线y115x上,m2( 14am2) 115即a885m3 . (25 题图 2) AN MPBCOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页. 当 1m2 时,12m21,如图 2, 分别过B,P作x轴的垂线,M,N为垂足,此时点P在线段AB上,且纵坐标为2,14am2 2,即a8m2 . 而a885m3,885m38m2,m1152,而 1m 2,不合题意,舍去.(6分) 当m2 时,m21,如图 3, 分别过B,P作x轴的垂线,M,N为垂足, ON OM ,此时点P在线
24、段CB上,易证RtBMCRtPNC,BMPNMCNC,即: 2 PN(m1)m2,PNmm 1(7 分) 而P的纵坐标为14am2,mm114am2,即a4m(1m)而a885m3,885m34m(1m)化简得: 5m222m22 0. 解得:m1111 5,(8 分) 但m2,所以m1111 5舍去, (9 分) 取m1111 5 . 由以上 , 这时四边形OABC的面积为:12 (ABOC) OA12 (1 m) 21611 5 . (10分) (25 题图 3) ANMPBCOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页