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1、1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性(1)(1)情景情景1:观察下列图形观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征回顾轴对称与中心对称概念及其特征. 情景导入情景导入情景情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具有对称特征的美丽图像具有对称特征的美丽图像,比如比如等函数图像等函数图像.f(x)=x2如何从如何从“数数”的方面定量刻画这些函数图像的对称的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么
2、共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为偶函数为偶函数. 定义定义: :一般地一般地, ,对于函数对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x， 都有都有f(x)=f(x)，
3、那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 观察函数观察函数f(x)=x和和的图象的图象(下图下图)，你能发现，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这这时我们称函数时我们称函数y=x为奇函数为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1) 定义定义: :一般地一般地, ,对于函数对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个
4、x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 偶函数偶函数: :一般地一般地, ,对于函数对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数 奇函数奇函数: :一般地一般地, ,对于函数对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数 定定 义义 注注 意：意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.3、由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，、由定
5、义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的也一定是定义域内的（即（即定义域关于原点对称定义域关于原点对称）2、定义中、定义中“任意任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性上的一个整体性质，它不同于函数的单调性.例例1、判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)定义域为定义域为(-,+)即即f(-x)=f(x)f(x)是偶函数是偶函数.(2)定义域为定义域为(-,+)即即f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数是奇函数.(3)定义域为定义域为x|x0(4)
6、定义域为定义域为x|x0即即f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数是奇函数.即即f(-x)=f(x)f(x)是偶函数是偶函数.解：解：f(-x)=(-x)4=f(x)f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)f(-x)=1/(-x)2=f(x)(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：即即f(-x)f(x)=0或或f(-x)f(x)=0是否恒成立是否恒成立.课堂练习乐学P19变
7、式1例例2.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：解：解： (1)f(x)的定义域是的定义域是R，且且f(x)是偶函数是偶函数.(2)函数的定义域是函数的定义域是R，且且f(x)=0，f(-x)=0.f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x).函数函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数既是奇函数也是偶函数.函数的定义域函数的定义域-1，1)解：解：关于原点不对称，关于原点不对称，函数函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.(4)f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，+)，当当x0时，时，x0，f(x)=当当x0时，时，x0，f(x)=故故f(x)为奇函数为奇函数.=x(1+x)=f(x) (x0).=f(x) (x0)，(x)1(x)=x(1x)(x)1 (x)综上：综上：f(x)=f(x)解：解：f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，+)，当当x0时，时，x0，f(x)=当当x0时，时，x0，f(x)=故故f(x)为奇函数为奇函数.=x(1+x)=f(x) (x0).=f(x) (x0)，(x)1(x)=x(1x)(x)1 (x)综上：综上：f(x)=f(x)法法2： f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，+)，且且故故f(x)为奇函数为奇函数.即即f(x)=f(x)思考：思考：课后作业课后作业乐学乐学1.3.3
