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1、学习必备欢迎下载压轴题目突破练 函数与导数A 组专项基础训练(时间: 35 分钟,满分:57 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 20 分) 1与直线2x6y10 垂直,且与曲线f(x)x33x2 1 相切的直线方程是() A3xy2 0 B 3xy20 Cx 3y20 Dx3y 20 答案A 解析设切点的坐标为(x0,x303x20 1),则由切线与直线2x 6y1 0 垂直,可得切线的斜率为3,又 f(x)3x26x,故 3x206x0 3,解得 x0 1,于是切点坐标为(1,1),从而得切线的方程为3xy 20. 2设 f(x),g(x)在a,b上可导,且f(x)g(x),则当 ax
2、g(x) Bf(x)g(x)f(a) Df(x)g(b)g(x)f(b) 答案C 解析 f(x)g(x)0,(f(x)g(x) 0,f(x)g(x)在a,b上是增函数,当 axf(a)g(a),f(x)g(a)g(x) f(a)3三次函数f(x)mx3 x 在(, )上是减函数,则m 的取值范围是() Am0 Bm1 Cm0 Dm1 答案A 解析f(x)3mx21,依题可得m0,xa03t2dt,x 0,若 f(f(1)1,则 a_. 答案1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载解析由题意知f(1)lg
3、 10,f(0)0a3031,a 1. 7把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为_答案21 解析设圆柱高为x, 底面半径为r, 则 r6 x2, 圆柱体积 V6x22x14(x312x236x)(0x6),V34(x2)(x6)当 x2 时, V 最大此时底面周长为6x4,4221. 三、解答题 (共 22 分) 8(10 分)已知函数f(x)ax3 x2bx(其中常数a,bR),g(x)f(x) f(x)是奇函数(1)求 f(x)的表达式;(2)讨论 g(x)的单调性,并求g(x)在区间 1,2 上的最大值与最小值解(1)由题意得f(x)
4、3ax2 2xb,因此 g(x) f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb. 因为函数g(x)是奇函数,所以g(x) g(x),即对任意实数x,有 a(x)3(3a 1)(x)2(b2)( x)b ax3 (3a1)x2(b2)xb,从而 3a10,b0,解得 a13,b0,因此 f(x)的表达式为f(x)13x3x2. (2)由 (1)知 g(x)13x32x,所以 g (x) x22. 令 g(x) 0,解得 x12,x22,则当 x2时, g(x)0,从而 g(x)在区间 ( ,2 ),(2, )上是减函数;当2x0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
5、 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载从而 g(x)在区间 (2,2)上是增函数由上述讨论知,g(x)在区间 1,2 上的最大值与最小值只能在x1,2, 2时取得,而 g(1)53,g(2)423,g(2)43,因此 g(x)在区间 1,2上的最大值为g(2)423,最小值 g(2)43. 9(12 分)已知 f(x)是二次函数, 不等式 f(x)0 的解集是 (0,5),且 f(x)在区间 1,4上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式;(2)是否存在自然数m,使得方程f(x)37x0 在区间 (m, m1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m
6、的值;若不存在,请说明理由解(1)f(x)是二次函数,且f(x)0)f(x)在区间 1,4上的最大值是f( 1)6a. 由已知,得6a12,a 2,f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2)方程 f(x)37x0 等价于方程2x310x2370 设 h(x)2x310x237,则 h(x) 6x220x2x(3x10)当 x 0,103时, h(x)0,h(x)是增函数h(3)10,h1031270,方程 h(x)0 在区间3,103,103,4 内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,)内没有实数根,存在唯一的自然数m 3,使得方程f(x)37x0 在区间 (m,m1)内有且只有两
7、个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载不等的实数根B 组专项能力提升(时间: 25 分钟,满分:43 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 15 分) 1函数 f(x)在定义域32,3 内的图象如图所示,记f(x)的导函数为f(x),则不等式f(x)0 的解集为() A.32,121,2) B.1,1243,83C.13,1 2,3) D.32,1312,4343, 3答案C 解析不等式f(x)0 的解集即为函数f(x)的单调递减区间,从图象中可以看出函数 f(x)在 13,1 和2,3)上是单调递减
8、的,所以不等式f(x)0 的解集为13,12,3),答案选C. 2已知函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0, y0)处的切线方程为yy0(x0 2)(x201)(xx0),那么函数f(x)的单调减区间是() A 1, ) B(, 2 C(, 1),(1,2) D2, ) 答案C 解析根据函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为yy0(x02)(x201)(xx0), 可知其导数f(x)(x2)(x2 1)(x1)(x1)(x2),令 f (x)0 得 x1 或 1x2.因此 f(x)的单调减区间是( , 1),(1,2)3给出定义:若函数f(x)在 D 上可导,即f(
9、x)存在,且导函数f(x)在 D 上也可导,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f(x)(f(x) .若 f (x)0 在 D 上恒成立,则称函数f(x)在 D 上为凸函数,以下四个函数在0,2上不是凸函数的是() Af(x)sin xcos xBf(x) ln x2xCf(x) x32x1 Df(x) xex答案D 解析对于选项A,f(x)sin xcos x,则 f(x) sin xcos x0 在 0,2上恒成立,故此函数为凸函数;对于选项B,f(
10、x) ln x2x,则 f(x)1x20 在 0,2上恒成立,故此函数为凸函数;对于选项C,f(x) x32x1,则 f(x) 6x0 在 0,2上恒成立,故此函数不是凸函数二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) 4已知函数f(x)f4cos xsin x,则 f4的值为 _答案1 解析因为 f (x) f4sin xcos x,所以 f4 f4sin 4cos 4? f421,故 f4 f4cos 4sin 4? f41. 5 函数 yx2(x0)的图象在点 (ak, a2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为ak1, 其中 kN*.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
11、归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载若 a1 16,则 a1a3 a5的值是 _答案21 解析因为 y2x,所以过点 (ak,a2k)处的切线方程为ya2k2ak(xak)又该切线与x 轴的交点为 (ak1,0),所以 ak112ak,即数列 ak 是等比数列,首项 a116,其公比q12,所以 a34,a5 1.所以 a1a3a521. 6设函数f(x)e2x2 1x,g(x)e2xex,对任意x1、 x2 (0, ),不等式g x1kf x2k1恒成立,则正数k 的取值范围是 _答案1, ) 解析因为对任意x1、 x2 (0, ),不等式g x1kf
12、x2k 1恒成立,所以kk 1g x1f x2max. 因为 g(x)e2xex,所以 g(x)(xe2x)e2xxe2x (1)e2x(1x)当 0x0;当 x1 时, g(x)1 时, f(x)32(x1);(2)当 1x3 时, f(x)1 时, g(x)1x12 x320. 又 g(1) 0,所以有g(x)0,即 f(x)1 时, 2xx 1,故xx212. 令 k(x)ln xx1,则 k(1)0,k(x)1x 10,故 k(x)0,即 ln x1 时, f(x)32(x1)(2)证明方法一记 h(x)f(x)9 x1x5,由(1)得 h(x)1x12 x54x522x2x54x52
13、x54x54x52x53216x4x x 52. 令 G(x)(x5)3216x,则当 1x3 时,G(x)3(x5)2 2160,因此 G(x)在(1,3)内是减函数又由 G(1)0,得 G(x)0,所以 h(x)0. 因此 h(x)在 (1,3)内是减函数又 h(1) 0,所以 h(x)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载于是当 1x3 时, f(x)9 x1x5. 方法二记 h(x)(x5)f(x)9(x1),则当 1x3 时,由(1)得 h(x)f(x)(x5)f(x)9 32(x1)(x5) 1x12 x 9 12x3x(x1)(x5)(2x)18x 12x3x x1 x 52x212 18x14x(7x232x25)0. 因此 h(x)在 (1,3)内单调递减又 h(1) 0,所以 h(x)0,即 f(x)9 x1x5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页