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1、学习必备欢迎下载压轴题目突破练 函数与导数A 组专项基础训练(时间： 35 分钟，满分：57 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1与直线2x6y10 垂直，且与曲线f(x)x33x2 1 相切的直线方程是() A3xy2 0 B 3xy20 Cx 3y20 Dx3y 20 答案A 解析设切点的坐标为(x0，x303x20 1)，则由切线与直线2x 6y1 0 垂直，可得切线的斜率为3，又 f(x)3x26x，故 3x206x0 3，解得 x0 1，于是切点坐标为(1,1)，从而得切线的方程为3xy 20. 2设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当 ax
2、g(x) Bf(x)g(x)f(a) Df(x)g(b)g(x)f(b) 答案C 解析 f(x)g(x)0，(f(x)g(x) 0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当 axf(a)g(a)，f(x)g(a)g(x) f(a)3三次函数f(x)mx3 x 在(， )上是减函数，则m 的取值范围是() Am0 Bm1 Cm0 Dm1 答案A 解析f(x)3mx21，依题可得m0，xa03t2dt，x 0，若 f(f(1)1，则 a_. 答案1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析由题意知f(1)lg
3、 10，f(0)0a3031，a 1. 7把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为_答案21 解析设圆柱高为x， 底面半径为r， 则 r6 x2， 圆柱体积 V6x22x14(x312x236x)(0x6)，V34(x2)(x6)当 x2 时， V 最大此时底面周长为6x4,4221. 三、解答题 (共 22 分) 8(10 分)已知函数f(x)ax3 x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x) f(x)是奇函数(1)求 f(x)的表达式；(2)讨论 g(x)的单调性，并求g(x)在区间 1,2 上的最大值与最小值解(1)由题意得f(x)
4、3ax2 2xb，因此 g(x) f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb. 因为函数g(x)是奇函数，所以g(x) g(x)，即对任意实数x，有 a(x)3(3a 1)(x)2(b2)( x)b ax3 (3a1)x2(b2)xb，从而 3a10，b0，解得 a13，b0，因此 f(x)的表达式为f(x)13x3x2. (2)由 (1)知 g(x)13x32x，所以 g (x) x22. 令 g(x) 0，解得 x12，x22，则当 x2时， g(x)0，从而 g(x)在区间 ( ，2 )，(2， )上是减函数；当2x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
5、 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载从而 g(x)在区间 (2，2)上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间 1,2 上的最大值与最小值只能在x1，2， 2时取得，而 g(1)53，g(2)423，g(2)43，因此 g(x)在区间 1,2上的最大值为g(2)423，最小值 g(2)43. 9(12 分)已知 f(x)是二次函数， 不等式 f(x)0 的解集是 (0,5)，且 f(x)在区间 1,4上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)37x0 在区间 (m， m1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m
6、的值；若不存在，请说明理由解(1)f(x)是二次函数，且f(x)0)f(x)在区间 1,4上的最大值是f( 1)6a. 由已知，得6a12，a 2，f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2)方程 f(x)37x0 等价于方程2x310x2370 设 h(x)2x310x237，则 h(x) 6x220x2x(3x10)当 x 0，103时， h(x)0，h(x)是增函数h(3)10，h1031270，方程 h(x)0 在区间3，103，103，4 内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，)内没有实数根，存在唯一的自然数m 3，使得方程f(x)37x0 在区间 (m，m1)内有且只有两
7、个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载不等的实数根B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 15 分) 1函数 f(x)在定义域32，3 内的图象如图所示，记f(x)的导函数为f(x)，则不等式f(x)0 的解集为() A.32，121,2) B.1，1243，83C.13，1 2,3) D.32，1312，4343， 3答案C 解析不等式f(x)0 的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图象中可以看出函数 f(x)在 13，1 和2,3)上是单调递减
8、的，所以不等式f(x)0 的解集为13，12,3)，答案选C. 2已知函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0， y0)处的切线方程为yy0(x0 2)(x201)(xx0)，那么函数f(x)的单调减区间是() A 1， ) B(， 2 C(， 1)，(1,2) D2， ) 答案C 解析根据函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x201)(xx0)， 可知其导数f(x)(x2)(x2 1)(x1)(x1)(x2)，令 f (x)0 得 x1 或 1x2.因此 f(x)的单调减区间是( ， 1)，(1,2)3给出定义：若函数f(x)在 D 上可导，即f(
9、x)存在，且导函数f(x)在 D 上也可导，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数， 记 f(x)(f(x) .若 f (x)0 在 D 上恒成立，则称函数f(x)在 D 上为凸函数，以下四个函数在0，2上不是凸函数的是() Af(x)sin xcos xBf(x) ln x2xCf(x) x32x1 Df(x) xex答案D 解析对于选项A，f(x)sin xcos x，则 f(x) sin xcos x0 在 0，2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项B，f(
10、x) ln x2x，则 f(x)1x20 在 0，2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项C，f(x) x32x1，则 f(x) 6x0 在 0，2上恒成立，故此函数不是凸函数二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 4已知函数f(x)f4cos xsin x，则 f4的值为 _答案1 解析因为 f (x) f4sin xcos x，所以 f4 f4sin 4cos 4? f421，故 f4 f4cos 4sin 4? f41. 5 函数 yx2(x0)的图象在点 (ak， a2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为ak1， 其中 kN*.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
11、归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载若 a1 16，则 a1a3 a5的值是 _答案21 解析因为 y2x，所以过点 (ak，a2k)处的切线方程为ya2k2ak(xak)又该切线与x 轴的交点为 (ak1,0)，所以 ak112ak，即数列 ak 是等比数列，首项 a116，其公比q12，所以 a34，a5 1.所以 a1a3a521. 6设函数f(x)e2x2 1x，g(x)e2xex，对任意x1、 x2 (0， )，不等式g x1kf x2k1恒成立，则正数k 的取值范围是 _答案1， ) 解析因为对任意x1、 x2 (0， )，不等式g x1kf
12、x2k 1恒成立，所以kk 1g x1f x2max. 因为 g(x)e2xex，所以 g(x)(xe2x)e2xxe2x (1)e2x(1x)当 0x0；当 x1 时， g(x)1 时， f(x)32(x1)；(2)当 1x3 时， f(x)1 时， g(x)1x12 x320. 又 g(1) 0，所以有g(x)0，即 f(x)1 时， 2xx 1，故xx212. 令 k(x)ln xx1，则 k(1)0，k(x)1x 10，故 k(x)0，即 ln x1 时， f(x)32(x1)(2)证明方法一记 h(x)f(x)9 x1x5，由(1)得 h(x)1x12 x54x522x2x54x52
13、x54x54x52x53216x4x x 52. 令 G(x)(x5)3216x，则当 1x3 时，G(x)3(x5)2 2160，因此 G(x)在(1,3)内是减函数又由 G(1)0，得 G(x)0，所以 h(x)0. 因此 h(x)在 (1,3)内是减函数又 h(1) 0，所以 h(x)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载于是当 1x3 时， f(x)9 x1x5. 方法二记 h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当 1x3 时，由(1)得 h(x)f(x)(x5)f(x)9 32(x1)(x5) 1x12 x 9 12x3x(x1)(x5)(2x)18x 12x3x x1 x 52x212 18x14x(7x232x25)0. 因此 h(x)在 (1,3)内单调递减又 h(1) 0，所以 h(x)0，即 f(x)9 x1x5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
