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1、立身以立学为先,立学以读书为本解指数函数和对数函数综合题的方法和策略一、定义域问题和值域问题:)定义域和值域例1已知函数21( )log(1)4af xmxmx(1)定义域是 R ,求m的取值范围.(2)值域是 R ,求m的取值范围。分析:在已知对数函数的 定义域是 R 与值域是 R,求其中参数的取值范围时,要注意它们是有明显区别的。解: (1)因为函数21( )log(1)4af xmxmx的定义域是 R ,故而对任意 xR有21(1)04mxmx恒成立。01 、0m时,左边=104恒成立;02 、0m时,由二次函数的性质可得:20(1)0353522mmmm(2)因为函数21( )log(
2、1)4af xmxmx的值域是 R ,故而有235(1)02mmm3+ 5或m22)定义域和有意义例3已知函数( )124xxf xm( 1)若此函数在(- , 1)上有意义,求m的取值范围.( 2)若此函数的定义域为( -, 1) ,求m的取值范围.分析:注意定义域和有意义是有区别的。区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值)( 1) 因为函数( )124xxf xm在(- , 1)上有意义, 即11( )(2)124xf xmmm在(- , 1)上有意义,所以有:01 、0m时,( )
3、124xxf xm 在( -, 1) 上有意义;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页立身以立学为先,立学以读书为本02 、0m时,由二次函数的性质可得:1220(1)0mmf且或01 40mm解得:14m综上所述:此函数在( -, 1) 上有意义,m的取值范围为0m或14m。( 2)若函数( )124xxf xm的定义域为( -, 1) , 则1240xxm在(,1)x内恒成立。从而有21 2111()()4224xxxm因为(,1)x时,11(,)22x,所以21113()(,)2244x,从而m的取值范围是34m。
4、二、单调性问题对于复合函数的单调性问题,要分两步进行:第一先考虑定义域;第二再考虑单调性,在这一步中,要注意复合函数的单调性的判定法则(同向为增,异向为减。简称“同增异减”) 。例 3、求函数212( )log (32)f xxx单调区间。分 析 : 先 考 虑 定 义 域 , 由23201xxx或x2, 即 函 数( )f x的 定 义 域 为(,1)(2,)x;又由223132()24xxx在3(,2上递减,3,)2上递 在增,且1012。略解:由分析可得( )f x在(,1)上递增,(2,)上递减。三、对称性问题和奇偶性问题:(1)若函数( )f x在其定义域上满足()()f axf b
5、x,则函数( )f x的图象关于直线2abx对称;(2)奇偶性问题的判定方法:1、先特殊判定,后定义证明; 2、是对数函数的,先考虑真数,后证明结论。例 4、已知函数11( )log21axf xx(0,1)aa,讨论( )f x的奇偶性。分析一:由题意易知函数( )f x的定义域为( 1,1)x,当12x时,1( )log32af x,当12x时,1( )log 32af x,据此可判定( )f x的奇偶性。分析二:由11111xxxx,得11111xxxx,据此也可判定( )f x的奇偶性。解:由题意易得函数( )f x的定义域为( 1,1)x,精选学习资料 - - - - - - - -
6、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页立身以立学为先,立学以读书为本且1111111()( )logloglog ()02121211aaaxxxxfxf xxxxx,即()( )fxfx,所以函数( )f x是奇函数。例 5、 设xf是定义在 R上的奇函数,且满足(3)(5)fxfx, 若( 0 , 4 )x时,( )2xf x,求xf在( 8, 4)上的解析式。分析:由xf定义在 R上且满足(3)(5)fxfx可知:函数( )f x的图象关于直线4x对称;又(0,4)x时,( )2xf x,所以(4,8)x时,8( )2xf x。设( 8, 4)x,则(4,8
7、)x,此时8()2xfx。又xf是定义在 R 上的奇函数,所以8( )2xf x,即xf在( 8, 4)上的解析式为8( )2xf x,( 8,4)x。例 6、设xf是定义在 -1 ,1 上的偶函数,xg与xf的图象关于直线01x对称。且当3, 2x时,32log 2242g xaxxa为实数,求函数xf的表达式;解:注意到xg是定义在区间3,2上的函数,因此,根据对称性,我们只能求出xf在区间0, 1上的解析式,xf在区间1 ,0上的解析式,则可以根据函数的奇偶性去求。当01x时,322x,由于xg与xf的图象关于直线01x对称,所以,33222log 2224 22 log (42)fxg
8、xaxxxax当10x时,01x,由xf为偶函数,可知:3322log 42log ( 42)fxfxxaxxax所以,3232log (42)10log ( 42)01xaxxfxxaxx四、周期性问题在函数xf的定义域内,存在非零常数T,使得( )fxTf x ,则函数xf叫做周期函数, T 叫做函数xf的一个周期。推广:若 T是函数xf的一个周期,则( )()fxnTf x nZ例7 、 已 知 奇 函 数xf满 足(2 )()fxfx, 当( 0 , 1)x时 ,2xfx, 则12(log5)_f。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 3 页,共 4 页立身以立学为先,立学以读书为本分 析:设( 1,0)x,则(0,1)x,由题意知2xfx,因为xf是奇函数,所以2xfx,( 1,0)x。设( 3, 2)x, 则2 ( 1 , 0 )x, 从而222xfx。 又函数xf满足(2)( )fxf x,所以22xfx,( 3, 2)x由于12log5( 3, 2), 所以1225log5 2log4125(log 5)224f。五、换元法解综合题例 8、设对所有实数 x,不等式2222224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa恒成立, 求 a的取值范围解:令,12log2taa则原不等式化为2(3)220t xtxt, 此不等式恒成立,故2300,(2 )8 (3)0ttttt由,012log2aa得 0a1. 即所求 a 的取值范围为 0a1.函数axfx31)(的定义域是(-, 1,求 a 的取值范围。解:由题意知:x1 是不等式031ax的解,031ax,如果0a的解集为x R ,与条件矛盾,故a0。 a0 时等价于)1(log133axax,又31311)1(log13aaax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页