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1、学习必备欢迎下载第五节古典概型最新考纲展示1理解古典概型及其概率计算公式2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率考点一基本事件的特点1任何两个基本事件是的2任何事件都可以表示成(除不可能事件 )考点二古典概型的两个特点1试验中所有可能出现的基本事件只有个，即2每个基本事件发生的可能性，即提示：确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性考点三古典概型的概率公式P(A)古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的(2)树状图法： 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(
2、2,1)不同有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求1从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为() A.B.C.D1 2 (2013 年高考江西卷)集合 A2,3 ，B1,2,3 ，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是 () A.23B.12C.13D .163一袋中装有大小相同，编号为1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15 的概率为 () A.132
3、B.164C.332D.3644 在 20 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期 从中任取 1 瓶， 取到已过保质期的饮料的概率是_5 (2014 年南京模拟 )某单位从 4 名应聘者A，B，C， D中招聘 2 人，如果这4 名应聘者被录用的机会均等，则A，B 2 人中至少有1 人被录用的概率是_类型一基本事件及事件的构成【例1】有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x 表示第 1个正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2 个正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3” ；(3
4、)事件“出现点数相等” 变式训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载1用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“ 3 个矩形颜色都相同” ；(3)事件“ 3 个矩形颜色都不同” 类型二古典概型【例 2】(2013 年高考辽宁卷 )现有 6 道题，其中4 道甲类题， 2 道乙类题，张同学从中任取2 道题解答试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率类型三古典概型的综合应用【例 3】(2014
5、 年烟台一模 )某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50 名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100 分)，数学成绩分组及各组频数如下：40,50)，2；50,60)， 3；60,70)，14；70,80)，15；80,90)，12；90,100)，4. (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；(2)估计成绩在85 分以上学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在40,50)中的某一位同学已知甲同学的成绩为42 分，乙同学的成绩为95 分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率样本
6、频率分布表变式训练2某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系统X依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的20 件日用品中，等级系统为4 的恰有 3 件，等级系统为5 的恰有 2 件，求 a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为x1，x2，x3，等级系统为5 的 2 件日用品记为 y1，y2，现从 x1，x2， x3， y1， y2这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
7、 - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率高考热点 古典概型的答题模板从近两年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计等知识渗透综合考查，但题目一般不超过中等难度，以考查基本概念和基本运算为主，求解的关键在于正确计算随机试验不同的结果及事件A 包含的基本事件数【典例】(2013 年高考山东卷 )(本题满分 12 分 )某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米 )及体重指标 (单位：千克 /米2)如下表所示：(1)从该小组身高低于1.80 的同学中任选2 人，求
8、选到的2 人身高都在1.78 以下的概率；(2)从该小组同学中任选2 个，求选到的2 人的身高都在1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率课后作业A 组 1甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 () A.12B.13C.14D.152 (2013 年高考全国新课标卷)从 1,2,3,4 中任取2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 () A.12B.13C.14D.163先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2xy1 的概
9、率为 () A.16B.536C.112D.124 (2014 年合肥模拟 )将号码分别为1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为 b，则使不等式a2b40 成立的事件发生的概率为() A.18B.316C.14D.125(2013 年高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为() A.23B.25C.35D.9106有一个奇数列， 1,3,5,7,9，现在进行如下分组，第一组有 1 个数为 1，第二组有 2 个数
10、为 3、5，第三组有3 个数为7、9、11，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3 的倍数的概率为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载A.110B.310C.15D.357沿田字型的路线从A 往 N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是_8一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为 3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4 的概率是_9 (2014 年温州第一次适应性测试)将一颗骰子投
11、掷两次分别得到点数a，b，则直线axby 0与圆 (x2)2 y22 相交的概率为 _10设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m， n)，b(1， 3)(1)求使得事件“ ab”发生的概率；(2)求使得事件“ |a|b|”发生的概率11(2014 年深圳第一次模拟)一个袋中有4 个大小相同的小球，其中红球1 个，白球2 个，黑球1 个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2 分，取一个白球记1 分，取一个黑球记0 分，若连续取三次，则分数之和为 4 分的概率是多少？12(能力提升 )(2014 年九江一模 )一个口袋里有
12、2 个红球和4 个黄球， 从中随机地连取3 个球， 每次取一个，记事件A“恰有一个红球”，事件B“第 3 个是红球”求(1)不放回时，事件A，B 的概率；(2)每次取后放回时，A，B 的概率B 组 1现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项， 3 为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 () A.25B.15C.45D.352 (2014 年晋中名校高三联考)记 a，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2ax2b 0有两个不同实根的概率为() A.518B.14C.310D.910第六节几何概型最新考纲展示1了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2
13、.了解几何概型的意义几何概型的定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的( 或)成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型与古典概型有何异同点？几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件的发生是等可能的，不同点是基本事件的个数前者是无限的(基本事件可以抽象为点)， 后者是有限的 对于几何概型而言，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，可以利用相关几何知识求概率几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公
14、式如下：P(A)P(A)0? A 是不可能事件，P(A)1? A 是必然事件是否成立？在几何概型中，如果A 是椭机事件，(1)若 A 是不可能事件，则P(A)0 肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P(A)0 不能推出 A 是不可能事件(2)若 A 是必然事件，则P(A)1 肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P(A)1 不能推出A是必然事件1设 A(0,0)，B(4,0)，在线段AB 上任投一点P，则|PA|1 的概率为 () A.
15、12B.13C.14D.152 (2014 年黄冈模拟 )在2,3上随机取一个数x，则 (x1)(x3)0 的概率为 () A.25B.14C.35D.453 (2014 年信阳模拟 )设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是 () A.34B.12C.13D.354.如图所示，边长为2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为_5在区间 1,2上随机地取一个数x，则 x 0,1的概率为 _与长度、角度有关的几何概型【例 1】在等腰 RtABC中，过直角顶点C在 ACB内部作一条
16、射线CM， 与线段 AB交于点 M，求 AMAC的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页学习必备欢迎下载与面积有关的几何概型【例 2】(2014 年潍坊联考 )花园小区内有一块三边长分别是5 m、5 m、6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是 _变式训练1在长为16 cm 的线段 AB 上任取一点M，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于 25 cm2与 81 cm2之间的概率为_与体积有关的几何概型【
17、例 3】(2014 年长沙高三检测)一只蜜蜂在一个棱长为3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行” ，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 () A.481B.81481C.127D.827变式训练2用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率转化与化归思想在几何概型中的应用从近两年高考看，几何概型命题以选择题，填空题为主；以考查基本概念为主，兼顾基本运算能力，注重知识交汇渗透与情境创新解决的关键是利用转化与化归思想，将问题转化为与长度、面积、体积有关的几何概型问题【典例】在
18、长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为 () A.16B.13C.23D.451(2014 年淄博一模 )在区间 1,5和2,6 内分别取一个数，记为a 和 b，则方程x2a2y2b21(ab)表示离心率小于5的双曲线的概率为() A.12B.1532C.1732D.31322 (2013 年高考湖北卷)在区间 2,4上随机地取一个数x，若 x 满足 |x|m 的概率为56，则 m_. A 组 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23
19、页学习必备欢迎下载一、选择题1在长为12 cm 的线段 AB 上任取一点M，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为() A.14B.13C.427D.4152在面积为S的 ABC 的边 AB 上任取一点P，则 PBC 的面积大于S4的概率是 () A.14B.12C.34D.233.(2013 年高考陕西卷)如图， 在矩形区域ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常) 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是() A14B
20、.21 C22D.44 (2014 年海淀模拟 )在区间 ， 内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为() A.78B.34C.12D.145若在区间 5,5内任取一个实数a，则使直线xy a0 与圆 (x 1)2(y2)22 有公共点的概率为 () A.25B.25C.35D.32106已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为 3，在正三棱锥内任取一点P，使得 VPABC12VSABC的概率是 () A.78B.34C.12D.14二、填空题7 (2013 年高考福建卷 )利用计算机产生01 之间的均匀随机数a，则事件“ 3a10”发生的概率为 _8.
21、如图所示， 图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1)的平面展开图， 其中四边形ABCD 是边长为1的正方形 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是_9在体积为V 的三棱锥SABC 的棱 AB 上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于V3的概率是 _三、解答题10(2014 年济南调研 )已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若 x 1,0,1,2 ，y1,0,1 ，求向量a b的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载(2)若 x1,2，y1
22、,1，求向量a，b 的夹角是钝角的概率11已知集合A2,2，B 1,1，设 M( x，y)|xA，yB ，在集合 M 内随机取出一个元素(x，y)(1)求以 (x，y)为坐标的点落在圆x2y21 内的概率；(2)求以 (x，y)为坐标的点到直线xy0 的距离不大于22的概率12(能力提升 )已知复数zx yi(x，yR)在复平面上对应的点为M. (1)设集合 P4， 3， 2,0 ，Q0,1,2 ，从集合P 中随机取一个数作为x，从集合Q 中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设 x0,3， y0,4，求点 M 落在不等式组：x2y30，x0，y0所表示的平面区域内的概率B 组
23、1 (2014 年牡丹江一模 )在球 O 内任取一点P，使得 P 点在球 O 的内接正方体中的概率是() A.112B.13C.2 33D.3122在区间 0,1 上任取两个数a，b，则函数 f(x)x2ax b2无零点的概率为() A.12B.23C.34D.14第七节离散型随机变量及其分布列最新考纲展示 1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载离散型随机变量随着试验结果
24、变化而变化的变量称为，常用字母 X，Y， ， ，表示 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量的分布列及性质1 一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2， ，xi， ，xn，X取每一个值xi(i1,2， ，n)的概率P(Xxi)pi，则表称为离散型随机变量X 的，简称为 X的，有时为了表达简单，也用等式表示 X的分布列2离散型随机变量的分布列的性质(1) ；(2)i1npi1. 1求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率2在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解常见离散型随机变量的分布列1两点
25、分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中 p称为成功概率2超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件Xk 发生的概率为P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2， m，其中 m且 nN，MN，n，M，N N*，称分布列为超几何分布列. 1设随机变量X 的分布列如下：则 p 为() A.16B.13C.23D.122一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4 的 5 只白鼠，若从中任取1 只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量 Y的分布列是 _ 3一盒中有12 个乒乓球，其中9 个新的， 3 个旧的，从盒中任取3 个球来用，用完后装回盒中，此时
26、盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则P(X 4)的值是 () A.1220B.2755C.27220D.21554设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量X 去描述 1 次试验的成功次数，则P(X0)等于 () A0 B.12C.13D.235 从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出2个球，设其中有 X个红球，随机变量 X的概率分布为： 则 a_，b_，c_. 离散型随机变量分布列的性质【例 1】随机变量 的分布列如下：其中 a，b，c 成等差数列，则P(| | 1)_，公差 d 的取值范围是 _变式训练1已知随机变量X 的分布列为： P(Xk)12k，k1,2，则 P(2X4)等
27、于 () A.316B.14C.116D.516分布列的求法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页学习必备欢迎下载【例 2】(2013 年高考天津卷 )一个盒子里装有7 张卡片，其中有红色卡片4 张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片 3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为3 的卡片的概率；(2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X 的分布列和数学期望变式训练2 (2014 年玉溪一中模拟 )某校从 6
28、 名学生会干部 (其中男生 4 人， 女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿者(1)所选 3 人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率超几何分布【例 3】从某小组的5 名女生和 4 名男生中任选3 人去参加一项公益活动(1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率；(2)求所选 3 人中男生人数 的分布列函数与方程思想在概率中的应用通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主【典例】某城市为准备参加 “全国文明城市”
29、 的评选， 举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50 个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5 分制若设“社区服务”得分为X分， “居民素质”得分为Y分，统计结果如下表：(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3 分(即X3，且 Y3)的社区可以进入第二轮评比，现从50 个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；(2)若在 50 个社区中随机选取一个社区，求这个社区的“居民素质”得分 Y 的均值 (即数学期望 )为16750，求 a，b 的值(2014 年聊城模拟 )一个袋中有10 个大小相同的黑球和白球已知从袋
30、中任意摸出2 个球， 至少得到 1 个白球的概率是79. (1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3 个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X 的数学期望EX. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载A 组 2带活动门的小盒子里有来自同一巢的20 只工蜂和 10 只雄蜂，现随机地放出5 只做实验， X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则X2 时的概率是 () A.C120C410C530B.C220C310C530C.C320C210C530D.C420C110C5303已知离散型随机变量 的分布列为123
31、nP knknknkn则 k 的值为 () A.12B1 C2 D3 4(2014 年福州模拟 )如右图所示， A、B 两点 5 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 ，则 P(X8)的值为 () A.15B.25C.35D.455 离散型随机变量X 的概率分布规律为P(Xn)an n1(n1,2,3,4)， 其中 a 是常数，则 P()12X52的值为 () A.23B.34C.45D.566(2014 年长沙模拟 )若离散型随机变量X 的分布列为：X 01 P 9c2c 38c则常数 c 的值为 ()
32、 A.23或13B .23C.13D1 7从 4 名男生和 2 名女生中选3 人参加演讲比赛，则所选3 人中女生人数不超过1 人的概率是 _8在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为 _9.设随机变量 的分布列为P( k)ck k1(k1,2,3)，c为常数，则P(0.5 2.5)_. 10.(2014 年福州模拟 )某学院为了调查本校学生2013 年 9 月“健康上网” (健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40 名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数， 并将所得的数
33、据分成以下六组；0,5 ， (5,10，(10,15， (25,30，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求这40 名学生中健康上网天数超过20 天的人数；(2)现从这 40 名学生中任取2 名，设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过20 天的人数，求Y 的分布列11.口袋中有n(nN*)个白球， 3 个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为X.若 P(X2)730，求：(1)n 的值；(2)X 的分布列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
34、- - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载12.(能力提升 )(2014 年大连质检 )某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23. (1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5 分，否则加2 分，求该高中得分 的分布列B 组 1若 P( x2)1 ，P( x1)1 ，其中 x1x2，则 P(x1 x2)等于 () A(1 )(1 ) B1( ) C1 (1 ) D1 (1 ) 2(2014 年郑州调研 )设随机变量 X 的概率分布列为X 1234 P 13m 1416则 P(|X3|1)_. 第
35、八节n 次独立重复试验与二项分布最新考纲展示 1了解条件概率和两个事件相互独立的概念2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布3.能解决一些简单的实际问题条件概率及其性质1 条件概率的定义设 A、B 为两个事件，且P(A)0，称 P(B|A)P ABP A为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载件概率2 条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)n ABn A. 3 条件概率的性质(1)条件概率具有一般概率的性质
36、，即0P(B|A) 1；(2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则P(BC|A)事件的相互独立性1设 A、B为两个事件，如果P(AB)，则称事件A 与事件 B相互独立2如果事件A 与 B相互独立，那么与，与，与也都相互独立1如果事件A，B 相互独立，那么A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立2 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点，二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点，互斥事件强调两事件不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生二项分布在 n 次独立重复
37、试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(Xk)(k0,1,2， n)此时称随机变量X 服从二项分布，记作，并称为成功概率两点分布与二项分布有何关系？由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即 n1 时的二项分布， 所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式1把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于 () A.12B.14C.16D.182在 100 件产品中有95 件合格品， 5 件次品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第
38、一次取到次品后，第二次再次取到次品的概率为() A.599B.499C.5101D.41013某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下3 粒种子恰有2 粒发芽的概率是() A.12125B.16125C.48125D.961254.(2014 年盐城模拟 )如图所示的电路有a，b， c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_条件概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载【例 1】袋中有 5 个小球 (3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取
39、两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是() A.35B.34C.12D.310相互独立事件的概率【例2】(2013 年高考大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当裁判(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(2)求前 4 局中乙恰好当1 次裁判概率变式训练1红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对 B、丙对 C各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C的概率分别为0.6、0.5、 0.5，假设各盘比赛结果相互独立(1)求红
40、队至少两名队员获胜的概率；(2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望E . 独立重复试验与二项分布【例 3】甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3 球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为45，乙投进的概率为12，求：(1)甲投进 2 球且乙投进1 球的概率；(2)在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载变式训练2某气象站天气预报的准确率为80%，计算 (结果保留到小数点后第2 位)：(1)5 次预报中恰有2 次准确的概率；(2)5
41、次预报中至少有2 次准确的概率；(3)5 次预报中恰有2 次准确，且其中第3 次预报准确的概率独立重复试验与二项分布的求解策略独立重复试验与二项分布是高考的热点，既有选择题，也有解答题，且常与分布列相结合考查，解决问题的关键是正确判断其概率模型及事件发生的概率【典例】(本题满分 12 分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设 Y为这名学生在首次停车时经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率A 组 1(2014 年广
42、元一模 )设随机变量 XB()6，12，则 P(X3)等于 () A.516B.316C.58D.382小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3 次，那么其中恰有1 次获得通过的概率是() A.49B.29C.427D.2273一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为 6 个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是() A.164B.5564C.18D.11642013 年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14、15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1 人去北京旅游的概率为() A.5960B.35C.12D.16
43、05高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是() A.12B.13C.14D.256(2014 年聊城一模 )1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球， 2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从1 号箱中取出一球放入2 号箱，然后从2 号箱随机取出一球，则从2 号箱取出红球的概率是() A.1127B.1124C.1627D.9247某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为 _8某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭
44、合都出现红灯的概率为16.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页学习必备欢迎下载_9.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为 _10某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投
45、三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响， 规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率11(2014 年厦门质检 )从装有大小相同的3 个白球和 3 个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球试验：如果摸出红球，则结束摸球试验(1)求一次摸球后结束试验的概率P1和两次摸球后结束试验的概率P2；(2)记结束试验时的摸球次数为 ，求 的分布列12.(能力提升 )某超市为
46、了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数 (人)x 3025y 10 结算时间 (分钟 /人)11.522.53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占55%. (1)确定 x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率 (注：将频率视为概率) B 组 1(2013 年高考四川卷
47、)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是 () A.14B.12C.34D.782高二某班共有60 名学生，其中女生有20 名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为_第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布最新考纲展示1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
48、2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义均值1一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称 E(X)为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学习必备欢迎下载取值的2若 YaXb，其中 a，b 为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb). 3 (1)若 X服从两点分布，则E (X)；(2)若 XB(n，p)，则 E(X). 3 (1)若 X服从两点分布，则E (X)；(2)若 XB(n，p)，则 E(X). 方差1设离散型随机变量X的分布列为则描述
49、了xi(i1,2， ，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)ni1 (xiE(X)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E (X)的称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差2 D(aXb)3若 X服从两点分布，则D(X)4若 XB(n，p)，则 D(X)随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化正态分布1 正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴，与 x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值1 2；(4)曲线与 x
50、 轴之间的面积为1；(5)当 一定时，曲线随着的变化而沿x 轴平移；(6)当 一定时，曲线的形状由 确定 越小，曲线越“”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“”，表示总体的分布越2正态分布的三个常用数据(1)P( X )；(2)P( 2 X 2 )；(3)P( 3 X 3 ). 标准正态分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学习必备欢迎下载在正态分布中，若 0， 1，则正态分布称为标准正态分布，相应的分布密度函数为f(x)12ex22， xR，相应的曲线称为标准正态曲线标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究
51、中占有重要的地位，因为任何正态分布的概率问题都可以转化成标准正态分布的概率问题来求解1已知 X 的分布列则在下列式子中E(X)13； D(X)2327； P(X0)13，正确的个数是() A0B1C2D3 2 (2014 年芜湖一模 )若 XB(n，p)，且 E(X)6，D(X)3，则 P(X1)的值为 () A322B24C3 210D283有 10 件产品， 其中 3 件是次品， 从中任取两件 若 X表示取到次品的个数，则 E(X)_. 4设随机变量XN(1,52)，且 P(X 0) P(X a2)，则实数a 的值为 () A4 B6 C 8 D10 5某班有50 名学生，一次考试的数学成
52、绩 服从正态分布N(100,102)，已知 P(90 100) 0.3，估计该班学生数学成绩在110 分以上的人数为_离散型随机变量的均值【例 1】(2013 年高考辽宁卷 )现有 10 道题，其中6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1 道乙类题的概率；(2)已知所取的3 道题中有2 道甲类题， 1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共
53、 23 页学习必备欢迎下载离散型随机变量的方差【例 2】某投资公司在2012 年年初准备将1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115. (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)大约几年后产量可以翻一翻？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
54、- - - - -第 19 页，共 23 页学习必备欢迎下载变式训练1有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：其中 X 和 Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料正态分布【例 3】已知某县农民的月均收入 服从正态分布N(1 000，402)，且 P(9204)p，则 P(2Xc)，则 c() A0 B1 C2 D3 3已知随机变量 的分布列为P( k)13，k1,2,3，则 D(3 5)() A6
55、B9 C3 D4 4 (2013 年高考安徽卷 )某班级有50 名学生，其中有30 名男生和20 名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是() A这种抽样方法是一种分层抽样B这种抽样方法是一种系统抽样C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5设随机变量 服从正态分布N(3,4) ，若 P( a 2)，则 a() A3 B.53C5 D.736设 X 为随机变量，且XBn，13，若随机变量X 的数学期望E
56、(X) 2，则 P(X2)() A.1316B.16精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载C.13243D.80243二、填空题7 (2014 年贵阳一中模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P( 4) 0.84，则 P( 0)_. 8袋中有3 个黑球， 1 个红球从中不放回的任取2个，取到一个黑球得0 分，取到一个红球得2 分，则所得分数 的数学期望E( )_. 9某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均
57、为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的设 X 为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)112，则 D(X)_. 三、解答题10袋中有相同的5 个球， 其中 3 个红球， 2 个黄球， 现从中随机且不放回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量 的概率分布列；(2)随机变量 的数学期望与方差11某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：版本人教 A 版人教 B 版苏教版北师大版人数2015510 (1)从这 50 名教师中随机选出2 名，求 2 人所使用版本
58、相同的概率；(2)若随机选出2 名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载12(能力提升 )(2013 年高考全国新课标卷)一批产品需要进行质量检验，检验方案是： 先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为n.如果 n3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批
59、产品的优质品率为50%， 即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望B 组 1某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为45、35、25，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立 记 为该生取得A 等级的课程数， 其分布列如表所示，则数学期望E( )的值为 _. 0123 P 6125a b 241252一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10 分没有击中记0 分，某人每次击中目标的概率为23.此人得分的数学期望与方差分别为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页
