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1、学习好资料欢迎下载第五课时任意角的三角函数(一) 教学目标：理解并掌握任意角三角函数的定义，理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解 . 教学重点：任意角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学过程：.课题导入在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基
2、础上，今天我们来研究任意角的三角函数. .讲授新课对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究. 设是一个顶点在原点，始边在x 轴正半轴上的任意角，的终边上任意一点P 的坐标是（ x， y）(非顶点 ).它与原点的距离是r(rx2 y20）注意： (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的正半轴重合. (2)OP是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角 是任意的 . (3)角 的终边只要不落在坐标轴上，就只能是象限角. (4)角 的终边不是不能落在坐标轴上，而是
3、说落在坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论. 那么， (1)比值yr叫做 的正弦，记作sin，即 sinyr. (2)比值xr叫做 的余弦，记作cos，即 cosxr. (3)比值yx叫做 的正切，记作tan，即 tan yx . 以上三种函数统称为三角函数. 确定的角 ，它的终边上任意一点P 的坐标都是变量，它与原点的距离r 也是变量，这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的？根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述三个比值都不会随P点在 的终边上的位置的改变而改变.当角 的终边在纵轴上时，即 k2（kZ)时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为
4、0，所以 tan无意义，除此之外，对于确定的角，上面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载的三个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 注意： (1)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“ ”的积 .其余两个符号也是这样. (2)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数， 并没有说 的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外 )，即函数的定义与的终边位置无关. (3)比值只与角的大小有关. 我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给
5、出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别? 正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标. 由于角的集合与实数集R 之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数 .我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究. 对于正弦函数sin yr，因为 r0，所以yr恒有意义，即 取任意实数，yr恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanyx，因为 x0 时，yx无意义，即tan无意义，又当且
6、仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当 的终边不在纵轴上时，yx恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是k2（ kZ). 为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆 .单位长如1 cm、1 dm、1m、1 km 等等，都是1 个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1 个单位长 .即单位圆的半径是1(个单位长 ). 在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y） ，x 轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0） ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为M；过 A 作单位圆的切线，这条切线
7、必平行于y 轴 (垂直于同一条直线的两直线平行 )，设它与角 的终边或其反向延长线交于点T. 显然，线段OM 的长度为 x，线段MP 的长度为 y，它们都只能取非负值. 当角 的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP 都看作带有方向的线段。如果 x0，OM 与 x 轴同向，规定此时OM 具有正值x；如果 x0，OM 与 x 轴正向相反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载(即反向 )，规定此时OM 具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OMx. 如果 y0，把 MP 看作与 y 轴同向，规定此时MP 具
8、有正值y；如果 y0，把 MP 看作与 y 轴反向，规定此时MP 具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MPy，由上面所述，OM、 MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段（即规定了起点和终点），把它们的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB 于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinyry1yMPcos xrx1xOM这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM 分别叫做角 的正弦线、余弦线. 类似地，我们把OA、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan yxATOAAT这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角 的正切线
9、. 注意： (1)当角 的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在. (2)当角 的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点. (3)正弦线、 余弦线、 正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆. (4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与 x 轴的公共点为起点. (5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同 . 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. .例题分析例 1已知角 的终边经过点P
10、(2， 3)(如图 )，求 的三个三角函数值. 解： x2，y 3 r22（ 3）213 于是 sinyx3133 1313cos xr2132 1313tanyx32例 2求下列各角的三个三角函数值. (1)0 (2)(3) 32解： (1)因为当 0 时， xr，y0，所以sin00 cos01 tan00 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载(2)因为当 时， x r，y 0，所以sin 0 cos 1 tan0 (3)因为当 32时， x0，y r，所以sin32 1 cos320 tan32
11、不存在.课堂练习课本 P16练习1、2、3. .课时小结任意角三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合 )，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示. .课后作业课本 P23习题1、2、3. 任意角的三角函数(一) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载1sin1、cos1、tan1 的大小关系是（
12、）A.tan1cos1sin1 B.sin1cos1tan1 C.sin1tan1cos1 D.cos1sin1tan1 2已知角 的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段，则的终边在 （）A.第一象限角平分线上B.第二象限角平分线上C.第二或第四象限角平分线上D. 第一或第三象限角平分线上3如果42，那么下列各式中正确的是（）A.cos tansinB.sin costanC.tan sincosD.cossintan4若点 P(3，y)是角 终边上一点，且sin23，则 y 的值是 _. 5 已知角 终边上一点P 的坐标是（4a， 3a)(a0)， 则 sin_， cos_，ta
13、n_. 6如果角 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合.终边在函数y 3x(x0)的图象上，则 sin_，cos_， tan_. 7已知角 的终边上一点P 的坐标是（ x， 2)(x 0） ，且 cosx3，求 sin和 tan的值 . 8已知角 终边上有一点P（x， 1)(x 0)，且 cos12x，求 sin的值 . 9已知 是第一象限角，试利用三角函数线证明：sin+cos1. 任意角的三角函数(一)答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载1D 2C 3D 46 5553545346310
14、101010 3 7已知角 的终边上一点P 的坐标是（ x， 2)(x 0） ，且 cosx3，求 sin和 tan的值 . 分析： rx24 ，又 cosx3xr，即 rx3x由于 x0， r3 x249 x2 5，x5 . 当 x5 时， P 点的坐标是（5 ， 2）. sinyr 2323，tanyx25255. 当 x5 时， P 点的坐标是（5 ， 2）sinyr 2323，tanyx252 55. 答案：当x5 时， sin23，tan2 55当 x5 时， sin23， tan2558已知角 终边上有一点P（x， 1)(x 0)，且 cos12x，求 sin的值 . 分析：由任意角的三角函数的定义cos xr12x， r 2 sin1r12. 另：用 x、1 表示出 r，即 rx21 再由 cos12x，求出 x. 进一步求得sin也可 . 9已知 是第一象限角，试利用三角函数线证明：sin+cos1. 提示：作出单位圆以及正弦线、余弦线，利用三角形两边和大于第三边可证得. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
