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1、学习好资料欢迎下载第五课时任意角的三角函数(一) 教学目标:理解并掌握任意角三角函数的定义,理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号,理解三角函数是以实数为自变量的函数,掌握正弦、余弦、正切函数的定义域;使学生通过任意角三角函数的定义,认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,加深特殊与一般关系的理解 . 教学重点:任意角三角函数的定义,正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学难点:正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学过程:.课题导入在初中我们学习了锐角三角函数,它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基
2、础上,今天我们来研究任意角的三角函数. .讲授新课对于锐角三角函数,我们是在直角三角形中定义的,今天,对于任意角的三角函数,我们利用平面直角坐标系来进行研究. 设是一个顶点在原点,始边在x 轴正半轴上的任意角,的终边上任意一点P 的坐标是( x, y)(非顶点 ).它与原点的距离是r(rx2 y20)注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与x 轴的正半轴重合. (2)OP是角 的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角 是任意的 . (3)角 的终边只要不落在坐标轴上,就只能是象限角. (4)角 的终边不是不能落在坐标轴上,而是
3、说落在坐标轴上的情况属于特殊情形,我们将在研究问题的过程中对其进行讨论. 那么, (1)比值yr叫做 的正弦,记作sin,即 sinyr. (2)比值xr叫做 的余弦,记作cos,即 cosxr. (3)比值yx叫做 的正切,记作tan,即 tan yx . 以上三种函数统称为三角函数. 确定的角 ,它的终边上任意一点P 的坐标都是变量,它与原点的距离r 也是变量,这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的?根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上确定的角,上述三个比值都不会随P点在 的终边上的位置的改变而改变.当角 的终边在纵轴上时,即 k2(kZ)时,终边上任意一点P 的横坐标x 都为
4、0,所以 tan无意义,除此之外,对于确定的角,上面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习好资料欢迎下载的三个比值都是唯一确定的实数,这就是说,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 注意: (1)sin是个整体符号,不能认为是“sin”与“ ”的积 .其余两个符号也是这样. (2)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数, 并没有说 的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外 ),即函数的定义与的终边位置无关. (3)比值只与角的大小有关. 我们已经给出了任意角三角函数的定义,请同学们考虑并比较一下,我们给
5、出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义,有什么联系与区别? 正弦函数值是纵坐标比距离,余弦函数值是横坐标比距离,正切函数值是纵坐标比横坐标. 由于角的集合与实数集R 之间是一一对应的,所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数 .我们知道,函数有三个要素,即定义域、值域、对应法则,下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域,值域问题待后再作研究. 对于正弦函数sin yr,因为 r0,所以yr恒有意义,即 取任意实数,yr恒有意义,也就是说sin恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanyx,因为 x0 时,yx无意义,即tan无意义,又当且
6、仅当角的终边落在纵轴上时,才有x0,所以当 的终边不在纵轴上时,yx恒有意义,即tan恒有意义,所以正切函数的定义域是k2( kZ). 为了几何表示的需要,我们先来看单位圆的概念:以原点为圆心,单位长为半径的圆称为单位圆 .单位长如1 cm、1 dm、1m、1 km 等等,都是1 个单位长,它们的单位虽不同,但长度都是1 个单位长 .即单位圆的半径是1(个单位长 ). 在平面直角坐标系内,作单位圆,设任意角的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y) ,x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为M;过 A 作单位圆的切线,这条切线
7、必平行于y 轴 (垂直于同一条直线的两直线平行 ),设它与角 的终边或其反向延长线交于点T. 显然,线段OM 的长度为 x,线段MP 的长度为 y,它们都只能取非负值. 当角 的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM、MP 都看作带有方向的线段。如果 x0,OM 与 x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果 x0,OM 与 x 轴正向相反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习好资料欢迎下载(即反向 ),规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OMx. 如果 y0,把 MP 看作与 y 轴同向,规定此时MP 具
8、有正值y;如果 y0,把 MP 看作与 y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MPy,由上面所述,OM、 MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段(即规定了起点和终点),把它们的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有sinyry1yMPcos xrx1xOM这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM 分别叫做角 的正弦线、余弦线. 类似地,我们把OA、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tan yxATOAAT这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角 的正切线
9、. 注意: (1)当角 的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在. (2)当角 的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点. (3)正弦线、 余弦线、 正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆. (4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与 x 轴的公共点为起点. (5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同 . 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. .例题分析例 1已知角 的终边经过点P
10、(2, 3)(如图 ),求 的三个三角函数值. 解: x2,y 3 r22( 3)213 于是 sinyx3133 1313cos xr2132 1313tanyx32例 2求下列各角的三个三角函数值. (1)0 (2)(3) 32解: (1)因为当 0 时, xr,y0,所以sin00 cos01 tan00 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习好资料欢迎下载(2)因为当 时, x r,y 0,所以sin 0 cos 1 tan0 (3)因为当 32时, x0,y r,所以sin32 1 cos320 tan32
11、不存在.课堂练习课本 P16练习1、2、3. .课时小结任意角三角函数的定义,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,单位圆的概念,有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合 ),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示. .课后作业课本 P23习题1、2、3. 任意角的三角函数(一) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习好资料欢迎下载1sin1、cos1、tan1 的大小关系是(
12、)A.tan1cos1sin1 B.sin1cos1tan1 C.sin1tan1cos1 D.cos1sin1tan1 2已知角 的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段,则的终边在 ()A.第一象限角平分线上B.第二象限角平分线上C.第二或第四象限角平分线上D. 第一或第三象限角平分线上3如果42,那么下列各式中正确的是()A.cos tansinB.sin costanC.tan sincosD.cossintan4若点 P(3,y)是角 终边上一点,且sin23,则 y 的值是 _. 5 已知角 终边上一点P 的坐标是(4a, 3a)(a0), 则 sin_, cos_,ta
13、n_. 6如果角 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合.终边在函数y 3x(x0)的图象上,则 sin_,cos_, tan_. 7已知角 的终边上一点P 的坐标是( x, 2)(x 0) ,且 cosx3,求 sin和 tan的值 . 8已知角 终边上有一点P(x, 1)(x 0),且 cos12x,求 sin的值 . 9已知 是第一象限角,试利用三角函数线证明:sin+cos1. 任意角的三角函数(一)答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习好资料欢迎下载1D 2C 3D 46 5553545346310
14、101010 3 7已知角 的终边上一点P 的坐标是( x, 2)(x 0) ,且 cosx3,求 sin和 tan的值 . 分析: rx24 ,又 cosx3xr,即 rx3x由于 x0, r3 x249 x2 5,x5 . 当 x5 时, P 点的坐标是(5 , 2). sinyr 2323,tanyx25255. 当 x5 时, P 点的坐标是(5 , 2)sinyr 2323,tanyx252 55. 答案:当x5 时, sin23,tan2 55当 x5 时, sin23, tan2558已知角 终边上有一点P(x, 1)(x 0),且 cos12x,求 sin的值 . 分析:由任意角的三角函数的定义cos xr12x, r 2 sin1r12. 另:用 x、1 表示出 r,即 rx21 再由 cos12x,求出 x. 进一步求得sin也可 . 9已知 是第一象限角,试利用三角函数线证明:sin+cos1. 提示:作出单位圆以及正弦线、余弦线,利用三角形两边和大于第三边可证得. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页