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1、名师精编优秀资料第三章导数及其应用知识体系总览3.1 导数的概念知识梳理1. 平均速度：物理学中， 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为则物体从到这段时间内的平均速度；一般的，函数在区间上的平均变化率为。2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度中的无限趋近于 0 时，平均速度的极限称为在时刻的瞬时速度，记作v=。求瞬时速度的步骤为：(1) 设物体的运动方程为；(2) 先求时间改变量和位置改变量),(tfstttttfttf
2、ttv)()(),()(xf,21xx2121()()fxfxxxttfttfttv)()(),(tttfttfttv)()(),(t)(tvts()( )(0)f ttf ttt)(tfst);()(tfttfs导数概念平均变化率瞬时变化率导数的几何意义几个初等函数的导数导数在研究函数中的应用函数的单调性函数的极值和最值生活中的优化问题导数导数的运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师精编优秀资料( 3)再求平均速度(4) 后求瞬时速度：瞬时速度v=. 3. 求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）
3、求平均变化率（3）取极限，得导数4. 常见函数的导数公式：C0；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln5. 导数运算法则：1fxg xfxgx；2fxg xfx g xfx gx；320fxfx g xfx gxg xg xg x6、由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：（1）. 求函数的改变量。（2）. 求平均变化率。ttfttftsttv)()(),(ts()( )(0)f ttf ttt)(xfy)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(/y( )fx(0)yxx)(xfy)()(x
4、fdxfydxfdxfdy)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师精编优秀资料（3）当时，得7、曲线 C：y=f （x）在其上一点 P（x0，f （x0） ）处的切线方程为yf （x0）=（x0） （xx0）8、若质点的运动规律为s=s（t ） ，则质点在t =t0时的瞬时速度为v=（t0）.这就是导数的物理意义 . 二 . 函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导， 如果，则为增函数；如果，则为减函数； 如果在某区间内恒有，则为常数；2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增
5、函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：求函数 f ( x) 的导数 f ( x). 令 f (x) 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . 令 f (x) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间 . 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即 “若函数单调递增，则； 若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解三. 函数极大值、极小值1、极大值：如果是函数 f(x) 在某个开区间上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x) 在处取到极大值，并称为函数 f(x
6、) 的一个极大值点，为 f(x) 的一个极大值。2、极小值：如果是函数 f(x) 在某个开区间上的最小值点， 即不等式对一切成立，就说函数f(x) 在处取到极小值，并称为函数 f(x) 的一个极小值点，为 f(x) 的一个极小值。3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若0ddufduf)()()(0/xffs)(xfyf)(x0)(xff0)(x)(xff0)(x)(xf)(xfyf)(x0)(xff0)(x)(xf( )0fx( )0fxcx),(vu)()(xfcf),(vuxcx)(cfc)(cfcx),(vu)()(xfcf),(vuxcx)(cfc)(cf精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师精编优秀资料，则叫做函数 f(x) 的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别 f ( c) 是极大、极小值的方法 : 若满足，且在 c 的两侧的导数异号，则c 是的极值点，是极值，并且如果在 c 两侧满足“左正右负”，则 c 是的极大值点，是极大值；如果在 c两侧满足“左负右正” ，则 c 是的极小值点，是极小值5、求可导函数 f ( x) 的极值的步骤 : (1) 确定函数的定义区间，求导数f ( x) (2) 求 f(x) 的驻点，即求方程f(x)=0 的
8、根(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 . 检查 f ( x) 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负， 那么 f ( x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f ( x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x) 在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间 a ，b 上连续的函数 f在a ，b 上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：（1）求函数?在(a ，b)内的极值；（2）求函数?在区间端点的值? (a) 、?(b) ；（3）将函数?的各极值与? (a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。求函数 y x48 x2 2 的极值：解：y4 x316 x，令 y0，解得 x10，x22，x32当 x 变化时， y，y 的变化情况如下表：x （，2）2 （2，0）0 （0，2）2 （2，）y0 0 0 y极小值14 极大值2 极小值14 当 x 0 时，y 有极大值， y极大值2；0)(cfcx0x0)(cf)(xf)(xf)(cf)(xf)(xf)(cf)(xf)(xf)(0xf)(x,ba)(xf)(x)(x)(x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
