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1、1.3.2(1)函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义;2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质;3.学会判断函数的奇偶性;【教学重难点】教学重点:函数的奇偶性及其几何意义教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】“对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有什么共性?提出问题 如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性. 结论: 这两个函数之间的图象都关于y 轴对称 . 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢?填写表1 和表 2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?x -3 -2 -1 0 1 2
2、 3 f(x)=x2表 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x| 表 2 结论: 这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x). 定义:1偶函数一般地, 对于函数( )f x的定义域内的任意一个x,都有()( )fxfx,那么( )f x就叫做偶函数观察函数f(x)=x 和 f(x)=x1
3、的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质?2奇函数一般地,对于函数( )f x的定义域的任意一个x,都有()( )fxf x,那么( )f x就叫做奇函数注意:1、如果函数( )yf x是奇函数或偶函数,我们就说函数( )yf x具有奇偶性;函数的奇偶性是函数的整体性质;2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数;3、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)如果一个函数的定义域不关于“0”(原点 )对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函
4、数;4、偶函数的图象关于y 轴 对称 , 反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数为偶函数且( )(|)f xfx奇函数的图象关于原点 对称; 反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数. 且 f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法 ,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是(1) 、先求定义域,看是否关于原点对称;(2) 、再判断()( )fxf x或()( )fxf x是否恒成立;(3) 、作出相应结论. 若()( )()( )0,( )fxf xfxfxf x或则是偶函数;若()
5、( )()( )0,( )fxf xfxf xf x或则是奇函数例判断下列函数的奇偶性(1)2( ) 1,2fxxx为非奇非偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页(2)32( )1xxf xx为非奇非偶函数(3)xxxf3)(奇函数(4)11)1()(xxxxf(5)f(x) =x+x1;奇函数(6)21( )2 |2|xf xx奇函数(7)22( )11f xxx既是奇函数又是偶函数(8)0,)(aaxf为非奇非偶函数常用结论:(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函
6、数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1.3.2(2)函数的奇偶性一分段函数奇偶性的判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页例 1.判断函数的奇偶性:2211(0)2( )11(0)2xxg xxx解:当x0 时,x 0,于是2211()()1(1)( )22gxxxg x当x 0 时,x0,于是222111()()11(1)( )22
7、2gxxxxg x综上可知,( )g x是奇函数练习: 1. 证明)0(320)0(32)(22xxxxxxxf,是奇函数 . 例2.)(xf为 R 上的偶函数,且当)0,(x时,)1()(xxxf,则当),0(x时,)(xfx(x+1) 若 f(x) 是奇函数呢?二已知函数的奇偶性求参数值:例 3、已知函数2( )(2)(1)3fxmxmx是偶函数,求实数m的值解:2( )(2)(1)3fxmxmx是偶函数,()( )fxf x恒成立,即2(2)()(1)()3mxmx2(2)(1)3mxmx恒成立,2(1)0mx恒成立,10m,即1m练习:1.如果二次函数2(0)yaxbx c a是偶函数
8、,则b02已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,且其定义域为a 1,2a ,则 a=13b= 0 三构造奇偶函数求值例 4、已知函数53( )8f xxaxbx,若( 2)10f,求(2)f的值。【解】方法一:由题意得53( 2)( 2)( 2)( 2)8fab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页53(2)2228fab得( 2)(2)16ff( 2)10f,(2)26f方法二:构造函数( )( )8g xf x,则53( )g xxaxbx一定是奇函数,又( 2)10f ( 2)18g因此(2)18g所以(2)8
9、18f,即(2)26f练习1. 已知f(x) x7ax5bx5,且f( 3) 5,则f(3) ( -15 ) 2. 若)(x,g(x)都是奇函数,( )( )( )2f xaxbg x在( 0,)上有最大值5,则f(x)在(,0)上有最小值1 单调性与奇偶性例 1设定义在2, 2上的偶函数f(x)在区间 0, 2上单调递减,若f( 1m)f(m) ,求实数m的取值范围21m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页例 2.设函数 f(x)对任意x,都有 f(x+y )=f(x)+f(y),且 x0 时 f(x) 0,f(1)
10、=-1 (1)求证: f(x)是奇函数(2)判断 f(x)的单调性并证明(3)试问当 - 3x3 时 f (x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有说出理由5 、 已 知 函 数)(xf是 定 义 在R上 的 不 恒 为0 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的Rba,, 都 有)()()(abfbafabf(1) 、求)1 (),0(ff的值;0 , 0 (2) 、判断函数)(xf的奇偶性,并加以证明奇4、函数)(xf是 R上的偶函数,且在),0上单调递增,则下列各式成立的是( B )A)1()0()2(fff B. )0() 1()2(fffC.)2()0()1(fff D.)0()2()1(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页