2022年经济数学基础 2

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1、1 / 41 经济数学基础12 期末模拟试卷1 （一）填空题1._sinlim0xxxx.答案： 0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf，在0x处连续，则_k.答案： 1 3.曲线xy在)1 ,1 (的切线方程是.答案：2121xy4.设函数52) 1(2xxxf，则_)(xf.答案：x25.设xxxfsin)(，则_)2(f.答案：26.若cxxxfx22d)(，则_)(xf.答案：22ln2x7.xx d)sin(_.答案：cxsin8.若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2.答案：cxF)1(2129.设函数_d)1ln(dde12xxx.答案： 0 10.若ttxPxd11)

2、(02，则_)(xP.答案：211x11.函数xxxf1)(在区间_内是单调减少的.答案：)1 ,0()0, 1(12.函数2) 1(3 xy的驻点是_，极值点是，它是极值点.答案：1, 1 xx，小13.设某商品的需求函数为2e10)(ppq，则需求弹性pE.答案：p214.行列式_111111111D.答案： 4 15.设线性方程组bAX，且010023106111tA，则_t时，方程组有唯一解.答案：1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页2 / 41 16.设矩阵161223235401A，则A的元素_23a.

3、答案： 3 17.设BA,均为 3 阶矩阵，且3BA，则TAB2=_. 答案：7218. 设BA,均 为n阶 矩 阵 ， 则 等 式2222)(BABABA成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 .答 案 ：BAAB19.设BA,均为n阶矩阵，)(BI可逆，则矩阵XBXA的解_X. 答案：ABI1)(20.设矩阵300020001A，则_1A.答案：31000210001A（二）单项选择题1.函数212xxxy的连续区间是（）答案： D A),1 ()1 ,( B),2()2,(C), 1() 1 ,2()2,( D),2()2,(或), 1()1 ,(2.下列极限计算正确的是（）答案： B

4、A.1lim0xxx B.1lim0xxxC.11sinlim0xxx D.1sinlimxxx3.设yxlg2，则dy（）答案： B A12dxxB1dxxln10Cln10xxdD1dxx4.若函数 f (x)在点 x0处可导，则 ( )是错误的答案：B A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微5.当0x时，下列变量是无穷小量的是（）.答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页3 / 41 Ax2B

5、xxsinC)1ln(xDxcos6.下列函数中，（）是xsinx2的原函数A21cosx2B 2cosx2C- 2cosx2D-21cosx2答案： D 7.下列等式成立的是（） A)d(cosdsinxxxB)1d(dlnxxxC)d(22ln1d2xxx Dxxxdd1答案： C 8.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）Axxc1)dos(2，Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd12答案： C 9.下列定积分计算正确的是（）A2d211xxB15d161xC0)d(32xxxD0dsinxx答案： D 10.下列无穷积分中收敛的是（）A1d1xx B12d1xx C0dexx

6、 D1dsinxx答案： B 11.以下结论或等式正确的是（）A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,，则OAB答案 C12.设A为43矩阵，B为25矩阵，且乘积矩阵TACB有意义，则TC为（）矩阵 A42B24C53 D35答案 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页4 / 41 13.设BA,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A111)(BABA， B111)(BABACBAABDBAAB答案 C14.下列矩阵可逆的是（）A300320321B3211

7、01101C0011D2211答案 A15.矩阵444333222A的秩是（）A0 B1 C2 D 3 答案 B16.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）AsinxBe xCx 2 D3 x 答案： B 17.已知需求函数ppq4.02100)(，当10p时，需求弹性为（）A2ln244 p B2ln4 C2ln4- D2ln24-4 p答案： C 18.下列积分计算正确的是（）A110d2eexxxB110d2eexxxC0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-答案： A 19.设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（）AmArAr)()( BnAr)( Cnm D

8、nArAr)()(答案： D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页5 / 41 20.设线性方程组33212321212axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件是（）A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa答案： C (三)解答题1计算极限（1）21123lim221xxxx（ 2）218665lim222xxxxx（3）2111lim0xxx（4）3142353lim22xxxxx（5）535sin3sinlim0xxx（ 6）4)2sin(4lim22xxx2设函数0sin0,0

9、,1sin)(xxxxaxbxxxf，问：（ 1）当ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）当ba,为何值时，)(xf在0x处连续 . 答案：（ 1）当1b，a任意时，)(xf在0x处有极限存在；（2）当1ba时，)(xf在0x处连续。3计算下列函数的导数或微分：（1）2222log2xxyx，求y答案：2ln12ln22xxyx（2）dcxbaxy，求y答案：2)(dcxcbady精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页6 / 41 （3）531xy，求y答案：3)53(23xy（4）xxxye，求y答案：x

10、xxye)1(21（5）bxyaxsine，求yd答案：dxbxbbxadyax)cossin(e（6）xxyx1e，求yd答案：ydxxxxd)e121(12（7）2ecosxxy，求yd答案：ydxxxxxd)2sine2(2（8）nxxynsinsin，求y答案：)coscos(sin1nxxxnyn（9）)1ln(2xxy，求y答案：211xy（10）xxxyx212321cot，求y答案：652321cot61211sin2ln2xxxxyx4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或yd（1）1322xxyyx，求yd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

11、- - - - - -第 6 页，共 41 页7 / 41 答案：xxyxyyd223d（2）xeyxxy4)sin(，求y答案：)cos(e)cos(e4yxxyxyyxyxy5求下列函数的二阶导数：（1）)1ln(2xy，求y答案：222)1(22xxy（2）xxy1，求y及)1 (y答案：23254143xxy，1)1(y6计算不定积分（1）xxxde3答案：cxxe3lne3（2）xxxd)1 (2答案：cxxx252352342（3）xxxd242答案：cxx2212（4）xxd211答案：cx21ln21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

12、 - - -第 7 页，共 41 页8 / 41 （5）xxxd22答案：cx232)2(31（6）xxxdsin答案：cxcos2（7）xxxd2sin答案：cxxx2sin42cos2（8）xx1)dln(答案：cxxx)1ln() 1(7.计算下列定积分（1）xxd121答案：25（2）xxxde2121答案：ee（3）xxxdln113e1答案： 2 （4）xxxd2cos20答案：21（5）xxxdlne1答案：)1e(412（6）xxxd )e1 (40答案：4e55精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页9

13、 / 41 8矩阵计算（1）01103512=5321（2）001130200000（3）21034521=0（4）计算723016542132341421231221321解72301654274001277197723016542132341421231221321 =142301112155（5）设矩阵110211321B110111132，A，求AB。解 因为BAAB22122)1()1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB（6）设矩阵01112421A，确定的值，使)(Ar最小。答案：精选学习资料 - - - - -

14、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页10 / 41 当49时，2)(Ar达到最小值。9求矩阵32114024713458512352A的秩。答案：2)(Ar。10求下列矩阵的逆矩阵：（1）111103231A答案9437323111A（2）A =1121243613答案 A-1 =21017203111设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA答案： X = 110112求解下列可分离变量的微分方程：(1) yxye答案：cxyee（2）23eddyxxyx答案：cxyxxee313. 求解下列一阶线性微分方程：精选学习资料 - - - -

15、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页11 / 41 （1）3)1(12xyxy答案：)21()1(22cxxxy（2）xxxyy2sin2答案：)2cos(cxxy14.求解下列微分方程的初值问题：(1)yxy2e,0)0(y答案：21e21exy(2)0exyyx,0)1(y答案：e)e(1xxy15.求解下列线性方程组的一般解：（1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案：4324312xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）000011101201111011101201351223111201A所以，方程的

16、一般解为4324312xxxxxx（其中21, xx是自由未知量）（2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx答案：535753545651432431xxxxxx（其中21, xx是自由未知量）16.当为何值时，线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页12 / 41 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。答案：3913157432431xxxxxx（其中21, xx是自由未知量）17ba,为何值时，方程

17、组baxxxxxxxxx3213213213221答案：当3a且3b时，方程组无解；当3a时，方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组无穷多解。四、证明题1试证：若21,BB都与A可交换，则21BB，21BB也与A可交换。提示：证明)()(2121BBAABB，2121BABABB2试证：对于任意方阵A，TAA，AAAATT,是对称矩阵。提示：证明TTT)(AAAA，AAAAAAAATTTTTT)( ,)(3设BA,均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：BAAB。提示：充分性：证明ABABT)(必要性：证明BAAB4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，证明ABB1是对称矩阵

18、。提示：证明T1)(ABB=ABB16求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625. 0100)(2（万元） , 求：当10q时的总成本、平均成本和边际成本；当产量q为多少时，平均成本最小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页13 / 41 答案：185)10(C（万元）5 .18)10(C（万元 /单位）11)10(C（万元 /单位）当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低。（2） .某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201. 0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp

19、01.014（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少答案：当产量为250 个单位时可使利润达到最大，且最大利润为1230)250(L（元）。（3）投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为402)(qqC(万元 /百台 )试求产量由4百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为答案：C100（万元）当6x（百台）时可使平均成本达到最低. （4）已知某产品的边际成本)(qC=2（元 /件），固定成本为0，边际收益qqR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5

20、0 件，利润将会发生什么变化？答案：当产量为500 件时，利润最大. L- 25 （元）即利润将减少25元 . 经济数学基础12 期末模拟试卷2 一、 单项选择题1函数1lg xxy的定义域是（ D ） A1xB0xC0xD1x且0x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页14 / 41 2若函数)(xf的定义域是 0，1，则函数)2(xf的定义域是 ( C )A1,0 B) 1,( C0,( D)0,(3下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等 A2)()(xxf，xxg)( B11)(2xxxf，xxg)(+ 1

21、C2ln xy，xxgln2)( Dxxxf22cossin)(，1)(xg4设11)(xxf，则)(xff=（A ） A11xx B xx1 C111x Dx115下列函数中为奇函数的是（C ） Axxy2 Bxxyee C11lnxxy Dxxysin6下列函数中，（C ）不是基本初等函数 A102y Bxy)21( C) 1ln(xy D31xy7下列结论中，（C ）是正确的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称 C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数8. 当x0时，下列变量中（B ）是无穷大量A .001.0x B.xx21C.x D.x2 9.

22、已知1tan)(xxxf，当（A ）时，)(xf为无穷小量 . A .x0 B.1xC.x D.x10函数sin,0( ),0xxf xxkx在 x = 0 处连续，则k = ( C )A- 2 B - 1 C1 D2 11. 函数0, 10, 1)(xxxf在 x = 0 处（B ）A .左连续 B. 右连续 C. 连续 D. 左右皆不连续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页15 / 41 12曲线11xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（ A ）A21B21C3)1(21xD3) 1(21x13. 曲线xysi

23、n在点 (0, 0)处的切线方程为（A ）A .y = x B. y = 2xC. y = 21x D. y = - x 14若函数xxf)1(，则)(xf=（ B ） A21x B -21x Cx1 D-x1 15若xxxfcos)(，则)(xf（ D ）AxxxsincosBxxxsincosCxxxcossin2Dxxxcossin2 16下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D 3 - x 17下列结论正确的有（ A ）Ax0是 f (x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0) = 0Bx0是 f (x)的极值点，则x0必是 f (x)

24、的驻点C若f(x0) = 0，则 x0必是 f (x)的极值点D使)(xf不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 18. 设需求量q 对价格 p 的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（ B ）App32Bpp32C32ppD32pp二、 填空题1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是 -5 ，2 2函数xxxf21)5ln()(的定义域是 (- 5, 2 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页16 / 41 3若函数52)1(2xxxf，则)(xf62x4设函数1)(2uuf，xxu1)(，则

25、)2(uf435设21010)(xxxf，则函数的图形关于y 轴对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50 时，该产品的平均成本为3.6 7已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 28.xxxxsinlim1.9已知xxxfsin1)(，当0x时，)(xf为无穷小量10. 已知1111)(2xaxxxxf，若f x( )在),(内连续，则a2.11. 函数1( )1exf x的间断点是0x.12函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是)1,(，)2,1(，),2(13曲

26、线yx在点)1, 1(处的切线斜率是(1)0.5y14函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为(0, +) 15已知xxf2ln)(，则 )2( f= 016函数yx312()的驻点是x1.17需求量q 对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为Ep2p 18已知需求函数为pq32320，其中 p 为价格，则需求弹性Ep =10pp.三、计算题1解423lim222xxxx=)2)(2()1)(2(lim2xxxxx = )2(1lim2xxx = 41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页17 / 4

27、1 2解：231lim21xxxx=) 1)(2)(1(1lim1xxxxx =21) 1)(2(1lim1xxx3解0sin 2lim11xxx=0(11)sin2lim(1 1)(1 1)xxxxx =xxxxx2sinlim)11(lim00=22 = 4 4解2343limsin(3)xxxx=3(3)(1)limsin(3)xxxx = 333limlim(1)sin(3)xxxxx= 2 5解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121xxxxxxxx1)1tan(lim21lim11xxxxx311316解)32)(1()23()21(lim625xxxxxx=)32

28、)(11()213()21(lim625xxxxxx =2323)2(657已知yxxxcos2，求)(xy解：y( x)=)cos2(xxx=2cossin2ln2xxxxx =2cossin2ln2xxxxx8已知)(xfxxxlnsin2，求)(xf解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(9已知xycos25，求)2(y；解因为5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页18 / 41 所以5ln25ln52sin2)2(2cos2y1

29、0已知 y =32lnx，求yd解 因为)(ln)(ln3231xxy331ln32)(ln32xxxx所以xxxydln32d311设xyx5sincose，求yd解因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin12设xxy2tan3，求yd解因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd)2ln2cos3(d32213已知2sin2cosxyx，求)(xy解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx14已知xxy53

30、eln，求)(xy解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页19 / 41 15由方程2ee)1ln(xyxy确定y是x的隐函数，求)(xy解 在方程等号两边对x 求导，得)e()e( )1ln(2xyxy0)(e1)1ln(yxyxyxyxyxyxyyxyyxxe1e)1ln(故e)1)ln(1 (e)1(xyxyxxxyxyy16由方程0esinyxy确定y是x的隐函数，求)(xy. 解对方程两边同时求导，得0eecosyxyyyyyyyxye)e(c

31、os)(xy=yyxyecose.17设函数)(xyy由方程yxye1确定，求0ddxxy解：方程两边对x 求导，得yxyyyeeyyxye1e当0x时，1y所以，0ddxxyee01e1118由方程xyxye)cos(确定y是x的隐函数，求yd解 在方程等号两边对x 求导，得)()e( )cos(xyxy1e1)sin(yyyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 41 页20 / 41 )sin(1)sin(eyxyyxy)sin(e)sin(1yxyxyy故xyxyxyyd)sin(e)sin(1d四、应用题 1设生

32、产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC625. 0100)(2（万元） , 求：（ 1）当10x时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？解（ 1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC625.0100)(2625.0100)(xxxC，65.0)(xxC所以，1851061025.0100)10(2C5.1861025.010100)10(C，116105 .0)10(C（2）令025.0100)(2xxC，得20x（20x舍去）因为20x是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为

33、2000 元，每生产一吨产品的成本为60 元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格）试求：（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？解（1）成本函数C q( )= 60q+2000因为qp100010，即pq100110，所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq（2）因为利润函数Lq() =R q( )- C q( ) =1001102qq-( 60q+2000) = 40q-1102q-2000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页21 /

34、 41 且Lq() =(40q-1102q- 2000)=40- 0.2q令 Lq() = 0，即 40- 0.2q= 0，得q= 200，它是 Lq() 在其定义域内的唯一驻点所以，q= 200 是利润函数L q() 的最大值点，即当产量为200 吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000 元，每生产一个单位产品，成本增加100 元又已知需求函数pq42000，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？解（ 1）C(p) = 50000+100 q = 50000+100(2000 - 4p) =250000- 40

35、0pR(p) =pq = p(2000- 4p)= 2000p- 4p 2利润函数L( p) = R(p) - C(p) =2400p- 4p 2 -250000，且令)(pL=2400 8p = 0得 p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300 元时，利润最大.（2）最大利润1100025000030043002400)300(2L（元）4某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元 /件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解（ 1）由已知201.014)0

36、1.014(qqqqqpR利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点250q.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2L（元）5某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365 .0)(2qqqC（元） . 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解因为C q( )=C qq( )=0 5369800. qq（q0）C q( )=(.)0 5369800qq=0 59800

37、2.q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 41 页22 / 41 令C q( )=0，即0 598002.q=0，得q1=140，q2= - 140（舍去） . q1=140 是C q( )在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q1=140 是平均成本函数C q( )的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140 件. 此时的平均成本为C()140=0 5140369800140.=176 （元 /件） 6已知某厂生产q件产品的成本为C qqq( )25020102（万元）问：要使平均成本最少，应生产多

38、少件产品？解 （1） 因为C q( )=C qq( )=2502010qqC q( )=()2502010qq=2501102q令C q( )=0，即25011002q，得q1=50，q2=- 50（舍去），q1=50 是C q( )在其定义域内的唯一驻点所以，q1=50 是C q( )的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品经济数学基础12 期末模拟试卷3 一、 单项选择题1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A）Ay = x2 + 3By = x2 + 4Cy = 2 x + 2Dy = 4 x2. 若10d)2(xkx= 2，则 k =（ A ）A1

39、B- 1 C0D213下列等式不成立的是（D ） A)d(edexxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 41 页23 / 41 4若cxxfx2ed)(，则)(xf=（ D ）. A .2ex B.2e21xC.2e41xD.2e41x 5.)d(exx（ B ）Acxxe Bcxxxee Ccxxe Dcxxxee6. 若cxxfxx11ede)(，则 f (x) =（ C ）Ax1B-x1C21xD-21x7. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下

40、列等式成立的是( B )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba 8下列定积分中积分值为0的是（ A）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd)sin(2 9下列无穷积分中收敛的是（ C ）A1dlnxx B0dexx C12d1xx D13d1xx10设R(q)=100- 4q，若销售量由10 单位减少到5 单位，则收入R 的改变量是（ B）A-550 B-350C350 D以上都不对A . 4 B.3 C. 2 D. 1 11. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）

41、Axxc1)dos(2Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd12正确答案： C12.下列定积分计算正确的是（）A2d211xxB15d161x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 41 页24 / 41 C0dsin22xxD0dsinxx正确答案： D13.无穷限积分13d1xx=（）A0 B21 C21 D. 正确答案： C二、 填空题1xxded2xxde2 2函数xxf2sin)(的原函数是 -21cos2x + c ( c是任意常数 ) 3若cxxxf2)1(d)(，则)(xf)1(2 x. 4若cxFxxf)

42、(d)(，则xfxx)de(e=cFx)e(.5e12dx)1ln(ddxx0. 61122d)1(xxx07无穷积分02d)1(1xx是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为R(q) = 2 + 3 q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 2 + q239. 积分1122d)1(xxx2应该填写： 010若)(xf存在且连续，则 )(dxfcxy33应该填写：)(xf三、计算题 解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 41 页25 / 41 2解cxxxxxx22l

43、n2)(d22d23解cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin4解xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122 =cxxxxx4)ln2(21225解xxxd)e1 (e3ln02=3ln02)ed(1)e1 (xx= 3ln03)e1(31x=3566解)(lnd2ln2)2(dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxxe1e14e2d2e2xxxe24d2e2e1xx7解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=)13(28解xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120=202cos41x=219解法一

44、xxxxxxxd1)1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 解法二令1xu，则uuuuuuuxxd1lndlnd )1ln(e1e1e11e0=11eeee1u10求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解解 因为xxP1)(，1)(2xxQ用公式d1)e(ed12d1cxxyxxxxd1)e(eln2lncxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 41 页26 / 41 xcxxcxxx24241324由4712141)1(3cy， 得1c所以

45、，特解为xxxy124311求微分方程0e32yyxy满足初始条件3) 1(y的特解解 将方程分离变量：xyyxydede32等式两端积分得cxy3e31e212将初始条件3) 1(y代入，得c33e31e21，c =3e61所以，特解为：33ee2e32xy12求微分方程xxyyln满足11xy的特解 . 解：方程两端乘以x1，得xxxyxyln2即xxxyln)(两边求积分，得cxxxxxxxy2ln)(lndlndln2通解为：cxxxy2ln2由11xy，得1c所以，满足初始条件的特解为：xxxy2ln213求微分方程yyxylntan的通解精选学习资料 - - - - - - - -

46、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 41 页27 / 41 解 将原方程分离变量xxyyydcotlnd两端积分得 lnlny = lnC sinx通解为y = eC sinx14求微分方程xxyyxln的通解 . 解将原方程化为：xyxyln11，它是一阶线性微分方程，xxP1)(，xxQln1)(用公式( )d()de( )edP xxP xxyQ xxcdeln1ed1d1cxxxxxxdeln1elnlncxxxxdln1cxxxx)ln(lncxx15求微分方程yxy2的通解解 在微分方程yxy2中，xxQxP2)(,1)(由通解公式)de2(e)de2(

47、eddcxxcxxyxxxx)e2e2(e)de2e2(ecxcxxxxxxxx)e22(xcx16求微分方程xxyyxsin的通解解：因为xxP1)(，xxQsin)(，由通解公式得)desin(ed1d1cxxyxxxx =)desin(elnlncxxxx =)dsin(1cxxxx =)sincos(1cxxxx17xxxd242解xxxd242=(2)dxx=2122xxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 41 页28 / 41 18计算xxxde2121解xxxde2121=21211211eee)1(dex

48、xx四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元 /百台 ).试求产量由4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解 当产量由4百台增至6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC， 解得6x.x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小 . 2已知某产品的边际成本C(x)=2（元 /件），固定成本为0，边际收益R(x

49、)=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解 因为边际利润)()()(xCxRxL=12- 0.02x 2 = 10- 0.02x令)(xL= 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500 件增加至 550 件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d)02. 010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元 . 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为R(x)=10

50、0- 2x（万元 /百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？解L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10x令L(x)=0, 得 x = 10（百台）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 41 页29 / 41 又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利

51、润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20 万元 . 4已知某产品的边际成本为34)(xxC(万元 /百台 )，x 为产量 (百台 )，固定成本为18(万元 )，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为xxxCd)34()(=cxx322当 x= 0 时， C(0)= 18，得 c =18 即C(x)=18322xx又平均成本函数为xxxxCxA1832)()(令0182)(2xxA， 解得 x = 3(百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(A(万元 /百台 ) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元 )，

52、其中 x为产量，单位：百吨销售x 百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解： (1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得 x= 7 由该题实际意义可知，x= 7 为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7 百吨时利润最大 .(2) 当产量由7 百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1 万元 .精选学习资料 -

53、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 41 页30 / 41 经济数学基础12 期末模拟试卷4 一、 单项选择题1设 A 为23矩阵， B为32矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行 . AAB BABT CA+B DBAT2设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）A . TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T)()(BAAB3设BA,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D）A . 若 AB = I，则必有A = I 或 B = IB.TTT)(BAABC. 秩)(BA秩)(A秩)(B

54、D.111)(ABAB4设BA,均为 n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）ABAB BBAAB CIAA DIA15设A是可逆矩阵，且AABI，则A1（C ）.A .BB.1BC.IBD.()IAB16设)21(A，) 31(B，I是单位矩阵，则IBAT（ D ）A6231 B6321 C5322 D52327设下面矩阵A, B, C 能进行乘法运算，那么（ B ）成立 .AAB = AC，A 0，则 B = C BAB = AC，A 可逆，则B = C CA 可逆，则AB = BA DAB = 0，则有 A = 0，或 B = 0 8设A是n阶可逆矩阵，k是不为 0 的常数

55、，则()kA1（ C）A .kA1 B.11kAn C. kA1D. 11kA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 41 页31 / 41 9设314231003021A，则 r(A) =（D） A4 B3C2D1 10设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（A） A1B2C3D411线性方程组012121xxxx解的情况是（ A ）A . 无解B. 只有 0 解C. 有唯一解D. 有无穷多解12若线性方程组的增广矩阵为01221A，

56、则当（A ）时线性方程组无解A12 B0 C1 D2 13 线性方程组AX0只有零解，则AXb b()0（ B ）.A . 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解14设线性方程组AX=b 中，若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（B） A有唯一解B无解 C有非零解D有无穷多解15设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组OAX（C）A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定16.以下结论或等式正确的是（ C ）A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,，则OAB17. 设线性方程组bXAnm有无穷

57、多解的充分必要条件是（ D ） AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(18. 设BA,均为 n阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）A . 若 AB = O，则 A = O 或 B = OB.222()2ABAABB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 41 页32 / 41 C. 秩)(BA秩)(A秩)(BD.()TTTABB A19. 线性方程组12323232326334xxxxxxx（ B ）A有唯一解B无解 C只有零解D有无穷多解二、 填空题1两个矩阵BA ,既可相加又可相乘的充分必要条件是

58、. 应该填写 ：A与B是同阶矩阵2计算矩阵乘积10211000321=应该填写 ：4 3若矩阵 A = 21，B = 132，则 ATB= 应该填写 ：2641324设A为mn矩阵，B为st矩阵，若AB与 BA 都可进行运算，则m n s t,有关系式应该填写 ：mt ns,5设13230201aA，当a时，A是对称矩阵 . 应该填写 ：0 6当a时，矩阵aA131可逆 . 应该填写 ：37设BA,为两个已知矩阵，且BI可逆，则方程XBXA的解X应该填写 ：ABI1)(8设A为n阶可逆矩阵，则r(A)=应该填写 ：n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

59、 - - -第 32 页，共 41 页33 / 41 9若矩阵 A =330204212，则秩 r(A) = 应该填写 ：210若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b应该填写 ：无解11若线性方程组002121xxxx有非零解，则应该填写 ：- 1 12设齐次线性方程组01nnmXA，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于应该填写 ：n r13齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为. 应该填写 ：4243122xxxxx(其中43, xx是自由未知量) 14线性方程组AXb的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后

60、为110000012401021dA则当d时，方程组AXb有无穷多解 . 应该填写 ：115若线性方程组AXb b()0有唯一解，则AX0.应该填写 ：只有零解16设矩阵3421A，I 为单位矩阵，则T)(AI应该填写 ：224017.设BA,均为n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是. 应该填写 ：BA,是可交换矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 41 页34 / 41 18.已知齐次线性方程组OAX中A为53矩阵，且该方程组有非0 解，则)(Ar应该填写： 3 19设线性方程组bAX，且010

61、023106111tA，则_t时，方程组有唯一解. 应该填写 ：120. 设1312A，则2IA=_. 应该填写162521. 若n阶矩阵A满足 _，则A为对称矩阵。应该填写TAA22. 已知n元线性方程组bAX有解，且()r An，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为_。应该填写n()r A23. 当=_时，方程组121211xxxx有无穷多解 . 应该填写： 124. 设齐次线性方程组01nnmXA，且则该方程组有非零解，则()r A=_。应该填写()r An25. 线性方程组OAX的系数矩阵A化成阶梯形矩阵后为A121041001d，则当d=_时，方程组OAX有非零解。应该填写：1三、

62、计算题 1设矩阵113421201A，303112B，求BAI)2(T精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 41 页35 / 41 解 因为T2AI= 1000100012T113421201 =200020002142120311=142100311所以BAI)2(T=142100311303112=11030512设矩阵021201A，200010212B，242216C，计算CBAT解：CBAT=200010212022011242216 =042006242216 =200210 3设矩阵A =1121243613，

63、求1A解因为 (AI )=10011201012400136131001122101007014111302710210100701411172010210100141011210100172010031001210100172010031001所以 A-1 =210172031精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 41 页36 / 41 4设矩阵A =012411210，求逆矩阵1A解 因为 (AI ) =12000101083021041110001000101241121012312411220001000112300

64、101120021020121123124112100010001所以 A-1=211231241125设矩阵 A =021201，B =142136，计算 (AB)-1解因为 AB =021201142136=1412(ABI ) =1210011210140112121021210112101102所以 (AB)-1=1221216设矩阵 A =022011，B =210321，计算 (BA)-1解 因为BA=210321022011=2435精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 41 页37 / 41 (BAI )=1

65、024111110240135542011112521023101所以(BA)-1=252231 7解矩阵方程214332X解 因为10430132104311112310111123103401即233443321所以， X =212334=128解矩阵方程02115321X. 解：因为105301211310012113102501即132553211所以， X =153210211=13250211= 410389设线性方程组baxxxxxxxx321321312022讨论当 a，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

66、总结 - - - - - - -第 37 页，共 41 页38 / 41 解 因为4210222021011201212101baba310011102101ba所以当1a且3b时，方程组无解；当1a时，方程组有唯一解；当1a且3b时，方程组有无穷多解. 10设线性方程组052231232132131xxxxxxxx，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 解 因为211011101201051223111201A300011101201所以 r(A) = 2，r(A) = 3.又因为 r(A) r(A)，所以方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解：0352023024321432

67、1431xxxxxxxxxxx解 因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 41 页39 / 41 12求下列线性方程组的一般解：126142323252321321321xxxxxxxxx解 因为增广矩阵1881809490312112614231213252A00001941019101所以一般解为1941913231xxxx（其中3x是自由未知量） 13设齐次线性方程组0

68、830352023321321321xxxxxxxxx问 取何值时方程组有非零解，并求一般解. 解 因为系数矩阵A =61011023183352231500110101所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为3231xxxx（其中3x是自由未知量） 14当取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解. 解 因为增广矩阵26102610111115014121111A00026101501所以当=0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 41 页

69、40 / 41 26153231xxxx(x3是自由未知量15已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为300000331013611A问取何值时，方程组bAX有解？当方程组有解时，求方程组bAX的一般解 . 解：当=3 时，2)()(ArAr，方程组有解 . 当=3 时，000000331010301000000331013611A一般解为432313331xxxxx， 其中3x,4x为自由未知量 . 四、证明题1试证：设A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则AB =BA证 因为 AT = A，BT = B，(AB)T = AB所以AB = (AB)T = BT AT = BA2试证：设

70、A是 n 阶矩阵，若3A= 0，则21)(AAIAI证 因为)(2AAIAI =322AAAAAI =3AI= I所以21)(AAIAI3已知矩阵)(21IBA，且AA2，试证B是可逆矩阵，并求1B. 证因为)2(41)(41222IBBIBA，且AA2，即)(21)2(412IBIBB，得IB2，所以B是可逆矩阵，且BB1.4. 设n阶矩阵A满足AI2，TAAI，证明A是对称矩阵 . 证因为AIA=TTIAAAA=TA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 41 页41 / 41 所以A是对称矩阵 .5设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则ABBA 也是对称矩阵证 因为BBAATT，且TTT)()()(BAABBAABTTTTBAABABBABAAB所以 ABBA是对称矩阵6. 设A是 n 阶可逆对称矩阵，试证1A为对称矩阵。证明：由题意可知TAA, 1A存在，且111()()TTAAA所以1A为对称矩阵。7. 设n阶矩阵A满足()()0AIAI,则A为可逆矩阵。证明：因为2()()0AIAIAI,即2AI，所以A为可逆矩阵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 41 页