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1、1 / 41 经济数学基础12 期末模拟试卷1 (一)填空题1._sinlim0xxxx.答案: 0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf,在0x处连续,则_k.答案: 1 3.曲线xy在)1 ,1 (的切线方程是.答案:2121xy4.设函数52) 1(2xxxf,则_)(xf.答案:x25.设xxxfsin)(,则_)2(f.答案:26.若cxxxfx22d)(,则_)(xf.答案:22ln2x7.xx d)sin(_.答案:cxsin8.若cxFxxf)(d)(,则xxxfd)1(2.答案:cxF)1(2129.设函数_d)1ln(dde12xxx.答案: 0 10.若ttxPxd11)
2、(02,则_)(xP.答案:211x11.函数xxxf1)(在区间_内是单调减少的.答案:)1 ,0()0, 1(12.函数2) 1(3 xy的驻点是_,极值点是,它是极值点.答案:1, 1 xx,小13.设某商品的需求函数为2e10)(ppq,则需求弹性pE.答案:p214.行列式_111111111D.答案: 4 15.设线性方程组bAX,且010023106111tA,则_t时,方程组有唯一解.答案:1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页2 / 41 16.设矩阵161223235401A,则A的元素_23a.
3、答案: 3 17.设BA,均为 3 阶矩阵,且3BA,则TAB2=_. 答案:7218. 设BA,均 为n阶 矩 阵 , 则 等 式2222)(BABABA成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 .答 案 :BAAB19.设BA,均为n阶矩阵,)(BI可逆,则矩阵XBXA的解_X. 答案:ABI1)(20.设矩阵300020001A,则_1A.答案:31000210001A(二)单项选择题1.函数212xxxy的连续区间是()答案: D A),1 ()1 ,( B),2()2,(C), 1() 1 ,2()2,( D),2()2,(或), 1()1 ,(2.下列极限计算正确的是()答案: B
4、A.1lim0xxx B.1lim0xxxC.11sinlim0xxx D.1sinlimxxx3.设yxlg2,则dy()答案: B A12dxxB1dxxln10Cln10xxdD1dxx4.若函数 f (x)在点 x0处可导,则 ( )是错误的答案:B A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0,但)(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微5.当0x时,下列变量是无穷小量的是().答案: C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页3 / 41 Ax2B
5、xxsinC)1ln(xDxcos6.下列函数中,()是xsinx2的原函数A21cosx2B 2cosx2C- 2cosx2D-21cosx2答案: D 7.下列等式成立的是() A)d(cosdsinxxxB)1d(dlnxxxC)d(22ln1d2xxx Dxxxdd1答案: C 8.下列不定积分中,常用分部积分法计算的是()Axxc1)dos(2,Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd12答案: C 9.下列定积分计算正确的是()A2d211xxB15d161xC0)d(32xxxD0dsinxx答案: D 10.下列无穷积分中收敛的是()A1d1xx B12d1xx C0dexx
6、 D1dsinxx答案: B 11.以下结论或等式正确的是()A若BA,均为零矩阵,则有BAB若ACAB,且OA,则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,,则OAB答案 C12.设A为43矩阵,B为25矩阵,且乘积矩阵TACB有意义,则TC为()矩阵 A42B24C53 D35答案 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 41 页4 / 41 13.设BA,均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是() A111)(BABA, B111)(BABACBAABDBAAB答案 C14.下列矩阵可逆的是()A300320321B3211
7、01101C0011D2211答案 A15.矩阵444333222A的秩是()A0 B1 C2 D 3 答案 B16.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是()AsinxBe xCx 2 D3 x 答案: B 17.已知需求函数ppq4.02100)(,当10p时,需求弹性为()A2ln244 p B2ln4 C2ln4- D2ln24-4 p答案: C 18.下列积分计算正确的是()A110d2eexxxB110d2eexxxC0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-答案: A 19.设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是()AmArAr)()( BnAr)( Cnm D
8、nArAr)()(答案: D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 41 页5 / 41 20.设线性方程组33212321212axxxaxxaxx,则方程组有解的充分必要条件是()A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa答案: C (三)解答题1计算极限(1)21123lim221xxxx( 2)218665lim222xxxxx(3)2111lim0xxx(4)3142353lim22xxxxx(5)535sin3sinlim0xxx( 6)4)2sin(4lim22xxx2设函数0sin0,0
9、,1sin)(xxxxaxbxxxf,问:( 1)当ba,为何值时,)(xf在0x处有极限存在?(2)当ba,为何值时,)(xf在0x处连续 . 答案:( 1)当1b,a任意时,)(xf在0x处有极限存在;(2)当1ba时,)(xf在0x处连续。3计算下列函数的导数或微分:(1)2222log2xxyx,求y答案:2ln12ln22xxyx(2)dcxbaxy,求y答案:2)(dcxcbady精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 41 页6 / 41 (3)531xy,求y答案:3)53(23xy(4)xxxye,求y答案:x
10、xxye)1(21(5)bxyaxsine,求yd答案:dxbxbbxadyax)cossin(e(6)xxyx1e,求yd答案:ydxxxxd)e121(12(7)2ecosxxy,求yd答案:ydxxxxxd)2sine2(2(8)nxxynsinsin,求y答案:)coscos(sin1nxxxnyn(9))1ln(2xxy,求y答案:211xy(10)xxxyx212321cot,求y答案:652321cot61211sin2ln2xxxxyx4.下列各方程中y是x的隐函数,试求y或yd(1)1322xxyyx,求yd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
11、- - - - - -第 6 页,共 41 页7 / 41 答案:xxyxyyd223d(2)xeyxxy4)sin(,求y答案:)cos(e)cos(e4yxxyxyyxyxy5求下列函数的二阶导数:(1))1ln(2xy,求y答案:222)1(22xxy(2)xxy1,求y及)1 (y答案:23254143xxy,1)1(y6计算不定积分(1)xxxde3答案:cxxe3lne3(2)xxxd)1 (2答案:cxxx252352342(3)xxxd242答案:cxx2212(4)xxd211答案:cx21ln21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
12、 - - -第 7 页,共 41 页8 / 41 (5)xxxd22答案:cx232)2(31(6)xxxdsin答案:cxcos2(7)xxxd2sin答案:cxxx2sin42cos2(8)xx1)dln(答案:cxxx)1ln() 1(7.计算下列定积分(1)xxd121答案:25(2)xxxde2121答案:ee(3)xxxdln113e1答案: 2 (4)xxxd2cos20答案:21(5)xxxdlne1答案:)1e(412(6)xxxd )e1 (40答案:4e55精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 41 页9
13、 / 41 8矩阵计算(1)01103512=5321(2)001130200000(3)21034521=0(4)计算723016542132341421231221321解72301654274001277197723016542132341421231221321 =142301112155(5)设矩阵110211321B110111132,A,求AB。解 因为BAAB22122)1()1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB(6)设矩阵01112421A,确定的值,使)(Ar最小。答案:精选学习资料 - - - - -
14、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 41 页10 / 41 当49时,2)(Ar达到最小值。9求矩阵32114024713458512352A的秩。答案:2)(Ar。10求下列矩阵的逆矩阵:(1)111103231A答案9437323111A(2)A =1121243613答案 A-1 =21017203111设矩阵3221,5321BA,求解矩阵方程BXA答案: X = 110112求解下列可分离变量的微分方程:(1) yxye答案:cxyee(2)23eddyxxyx答案:cxyxxee313. 求解下列一阶线性微分方程:精选学习资料 - - - -
15、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 41 页11 / 41 (1)3)1(12xyxy答案:)21()1(22cxxxy(2)xxxyy2sin2答案:)2cos(cxxy14.求解下列微分方程的初值问题:(1)yxy2e,0)0(y答案:21e21exy(2)0exyyx,0)1(y答案:e)e(1xxy15.求解下列线性方程组的一般解:(1)03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案:4324312xxxxxx(其中21,xx是自由未知量)000011101201111011101201351223111201A所以,方程的
16、一般解为4324312xxxxxx(其中21, xx是自由未知量)(2)5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx答案:535753545651432431xxxxxx(其中21, xx是自由未知量)16.当为何值时,线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页12 / 41 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解,并求一般解。答案:3913157432431xxxxxx(其中21, xx是自由未知量)17ba,为何值时,方程
17、组baxxxxxxxxx3213213213221答案:当3a且3b时,方程组无解;当3a时,方程组有唯一解;当3a且3b时,方程组无穷多解。四、证明题1试证:若21,BB都与A可交换,则21BB,21BB也与A可交换。提示:证明)()(2121BBAABB,2121BABABB2试证:对于任意方阵A,TAA,AAAATT,是对称矩阵。提示:证明TTT)(AAAA,AAAAAAAATTTTTT)( ,)(3设BA,均为n阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是:BAAB。提示:充分性:证明ABABT)(必要性:证明BAAB4设A为n阶对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,且TBB1,证明ABB1是对称矩阵
18、。提示:证明T1)(ABB=ABB16求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品q个单位时的成本函数为:qqqC625. 0100)(2(万元) , 求:当10q时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时,平均成本最小?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 41 页13 / 41 答案:185)10(C(万元)5 .18)10(C(万元 /单位)11)10(C(万元 /单位)当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低。(2) .某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201. 0420)(qqqC(元),单位销售价格为qp
19、01.014(元 /件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少答案:当产量为250 个单位时可使利润达到最大,且最大利润为1230)250(L(元)。(3)投产某产品的固定成本为36(万元 ),且边际成本为402)(qqC(万元 /百台 )试求产量由4百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低解:当产量由4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为答案:C100(万元)当6x(百台)时可使平均成本达到最低. (4)已知某产品的边际成本)(qC=2(元 /件),固定成本为0,边际收益qqR02.012)(,求:产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产5
20、0 件,利润将会发生什么变化?答案:当产量为500 件时,利润最大. L- 25 (元)即利润将减少25元 . 经济数学基础12 期末模拟试卷2 一、 单项选择题1函数1lg xxy的定义域是( D ) A1xB0xC0xD1x且0x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 41 页14 / 41 2若函数)(xf的定义域是 0,1,则函数)2(xf的定义域是 ( C )A1,0 B) 1,( C0,( D)0,(3下列各函数对中,(D )中的两个函数相等 A2)()(xxf,xxg)( B11)(2xxxf,xxg)(+ 1
21、C2ln xy,xxgln2)( Dxxxf22cossin)(,1)(xg4设11)(xxf,则)(xff=(A ) A11xx B xx1 C111x Dx115下列函数中为奇函数的是(C ) Axxy2 Bxxyee C11lnxxy Dxxysin6下列函数中,(C )不是基本初等函数 A102y Bxy)21( C) 1ln(xy D31xy7下列结论中,(C )是正确的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称 C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数8. 当x0时,下列变量中(B )是无穷大量A .001.0x B.xx21C.x D.x2 9.
22、已知1tan)(xxxf,当(A )时,)(xf为无穷小量 . A .x0 B.1xC.x D.x10函数sin,0( ),0xxf xxkx在 x = 0 处连续,则k = ( C )A- 2 B - 1 C1 D2 11. 函数0, 10, 1)(xxxf在 x = 0 处(B )A .左连续 B. 右连续 C. 连续 D. 左右皆不连续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 41 页15 / 41 12曲线11xy在点( 0, 1)处的切线斜率为( A )A21B21C3)1(21xD3) 1(21x13. 曲线xysi
23、n在点 (0, 0)处的切线方程为(A )A .y = x B. y = 2xC. y = 21x D. y = - x 14若函数xxf)1(,则)(xf=( B ) A21x B -21x Cx1 D-x1 15若xxxfcos)(,则)(xf( D )AxxxsincosBxxxsincosCxxxcossin2Dxxxcossin2 16下列函数在指定区间(,)上单调增加的是( B ) Asinx Be x Cx 2 D 3 - x 17下列结论正确的有( A )Ax0是 f (x)的极值点,且f(x0)存在,则必有f(x0) = 0Bx0是 f (x)的极值点,则x0必是 f (x)
24、的驻点C若f(x0) = 0,则 x0必是 f (x)的极值点D使)(xf不存在的点x0,一定是f (x)的极值点 18. 设需求量q 对价格 p 的函数为ppq23)(,则需求弹性为Ep=( B )App32Bpp32C32ppD32pp二、 填空题1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是 -5 ,2 2函数xxxf21)5ln()(的定义域是 (- 5, 2 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 41 页16 / 41 3若函数52)1(2xxxf,则)(xf62x4设函数1)(2uuf,xxu1)(,则
25、)2(uf435设21010)(xxxf,则函数的图形关于y 轴对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q,则当产量q = 50 时,该产品的平均成本为3.6 7已知某商品的需求函数为q = 180 4p,其中 p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 28.xxxxsinlim1.9已知xxxfsin1)(,当0x时,)(xf为无穷小量10. 已知1111)(2xaxxxxf,若f x( )在),(内连续,则a2.11. 函数1( )1exf x的间断点是0x.12函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是)1,(,)2,1(,),2(13曲
26、线yx在点)1, 1(处的切线斜率是(1)0.5y14函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为(0, +) 15已知xxf2ln)(,则 )2( f= 016函数yx312()的驻点是x1.17需求量q 对价格p的函数为2e100)(ppq,则需求弹性为Ep2p 18已知需求函数为pq32320,其中 p 为价格,则需求弹性Ep =10pp.三、计算题1解423lim222xxxx=)2)(2()1)(2(lim2xxxxx = )2(1lim2xxx = 41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 41 页17 / 4
27、1 2解:231lim21xxxx=) 1)(2)(1(1lim1xxxxx =21) 1)(2(1lim1xxx3解0sin 2lim11xxx=0(11)sin2lim(1 1)(1 1)xxxxx =xxxxx2sinlim)11(lim00=22 = 4 4解2343limsin(3)xxxx=3(3)(1)limsin(3)xxxx = 333limlim(1)sin(3)xxxxx= 2 5解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121xxxxxxxx1)1tan(lim21lim11xxxxx311316解)32)(1()23()21(lim625xxxxxx=)32
28、)(11()213()21(lim625xxxxxx =2323)2(657已知yxxxcos2,求)(xy解:y( x)=)cos2(xxx=2cossin2ln2xxxxx =2cossin2ln2xxxxx8已知)(xfxxxlnsin2,求)(xf解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(9已知xycos25,求)2(y;解因为5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 41 页18 / 41 所以5ln25ln52sin2)2(2cos2y1
29、0已知 y =32lnx,求yd解 因为)(ln)(ln3231xxy331ln32)(ln32xxxx所以xxxydln32d311设xyx5sincose,求yd解因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin12设xxy2tan3,求yd解因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd)2ln2cos3(d32213已知2sin2cosxyx,求)(xy解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx14已知xxy53
30、eln,求)(xy解:)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 41 页19 / 41 15由方程2ee)1ln(xyxy确定y是x的隐函数,求)(xy解 在方程等号两边对x 求导,得)e()e( )1ln(2xyxy0)(e1)1ln(yxyxyxyxyxyxyyxyyxxe1e)1ln(故e)1)ln(1 (e)1(xyxyxxxyxyy16由方程0esinyxy确定y是x的隐函数,求)(xy. 解对方程两边同时求导,得0eecosyxyyyyyyyxye)e(c
31、os)(xy=yyxyecose.17设函数)(xyy由方程yxye1确定,求0ddxxy解:方程两边对x 求导,得yxyyyeeyyxye1e当0x时,1y所以,0ddxxyee01e1118由方程xyxye)cos(确定y是x的隐函数,求yd解 在方程等号两边对x 求导,得)()e( )cos(xyxy1e1)sin(yyyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 41 页20 / 41 )sin(1)sin(eyxyyxy)sin(e)sin(1yxyxyy故xyxyxyyd)sin(e)sin(1d四、应用题 1设生
32、产某种产品x个单位时的成本函数为:xxxC625. 0100)(2(万元) , 求:( 1)当10x时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当产量x为多少时,平均成本最小?解( 1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:xxxC625.0100)(2625.0100)(xxxC,65.0)(xxC所以,1851061025.0100)10(2C5.1861025.010100)10(C,116105 .0)10(C(2)令025.0100)(2xxC,得20x(20x舍去)因为20x是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当x20 时,平均成本最小. 2某厂生产一批产品,其固定成本为
33、2000 元,每生产一吨产品的成本为60 元,对这种产品的市场需求规律为qp100010(q为需求量,p为价格)试求:(1)成本函数,收入函数;(2)产量为多少吨时利润最大?解(1)成本函数C q( )= 60q+2000因为qp100010,即pq100110,所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq(2)因为利润函数Lq() =R q( )- C q( ) =1001102qq-( 60q+2000) = 40q-1102q-2000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 41 页21 /
34、 41 且Lq() =(40q-1102q- 2000)=40- 0.2q令 Lq() = 0,即 40- 0.2q= 0,得q= 200,它是 Lq() 在其定义域内的唯一驻点所以,q= 200 是利润函数L q() 的最大值点,即当产量为200 吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000 元,每生产一个单位产品,成本增加100 元又已知需求函数pq42000,其中p为价格,q为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少?解( 1)C(p) = 50000+100 q = 50000+100(2000 - 4p) =250000- 40
35、0pR(p) =pq = p(2000- 4p)= 2000p- 4p 2利润函数L( p) = R(p) - C(p) =2400p- 4p 2 -250000,且令)(pL=2400 8p = 0得 p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300 元时,利润最大.(2)最大利润1100025000030043002400)300(2L(元)4某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q(元 /件),试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少?解( 1)由已知201.014)0
36、1.014(qqqqqpR利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL则qL04.010,令004.010qL,解出唯一驻点250q.因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,(2)最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2L(元)5某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365 .0)(2qqqC(元) . 为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?解因为C q( )=C qq( )=0 5369800. qq(q0)C q( )=(.)0 5369800qq=0 59800
37、2.q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 41 页22 / 41 令C q( )=0,即0 598002.q=0,得q1=140,q2= - 140(舍去) . q1=140 是C q( )在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值. 所以q1=140 是平均成本函数C q( )的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140 件. 此时的平均成本为C()140=0 5140369800140.=176 (元 /件) 6已知某厂生产q件产品的成本为C qqq( )25020102(万元)问:要使平均成本最少,应生产多
38、少件产品?解 (1) 因为C q( )=C qq( )=2502010qqC q( )=()2502010qq=2501102q令C q( )=0,即25011002q,得q1=50,q2=- 50(舍去),q1=50 是C q( )在其定义域内的唯一驻点所以,q1=50 是C q( )的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50 件产品经济数学基础12 期末模拟试卷3 一、 单项选择题1在切线斜率为2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( A)Ay = x2 + 3By = x2 + 4Cy = 2 x + 2Dy = 4 x2. 若10d)2(xkx= 2,则 k =( A )A1
39、B- 1 C0D213下列等式不成立的是(D ) A)d(edexxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 41 页23 / 41 4若cxxfx2ed)(,则)(xf=( D ). A .2ex B.2e21xC.2e41xD.2e41x 5.)d(exx( B )Acxxe Bcxxxee Ccxxe Dcxxxee6. 若cxxfxx11ede)(,则 f (x) =( C )Ax1B-x1C21xD-21x7. 若)(xF是)(xf的一个原函数,则下
40、列等式成立的是( B )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba 8下列定积分中积分值为0的是( A)Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd)sin(2 9下列无穷积分中收敛的是( C )A1dlnxx B0dexx C12d1xx D13d1xx10设R(q)=100- 4q,若销售量由10 单位减少到5 单位,则收入R 的改变量是( B)A-550 B-350C350 D以上都不对A . 4 B.3 C. 2 D. 1 11. 下列不定积分中,常用分部积分法计算的是()
41、Axxc1)dos(2Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd12正确答案: C12.下列定积分计算正确的是()A2d211xxB15d161x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 41 页24 / 41 C0dsin22xxD0dsinxx正确答案: D13.无穷限积分13d1xx=()A0 B21 C21 D. 正确答案: C二、 填空题1xxded2xxde2 2函数xxf2sin)(的原函数是 -21cos2x + c ( c是任意常数 ) 3若cxxxf2)1(d)(,则)(xf)1(2 x. 4若cxFxxf)
42、(d)(,则xfxx)de(e=cFx)e(.5e12dx)1ln(ddxx0. 61122d)1(xxx07无穷积分02d)1(1xx是收敛的(判别其敛散性)8设边际收入函数为R(q) = 2 + 3 q,且 R (0) = 0,则平均收入函数为 2 + q239. 积分1122d)1(xxx2应该填写: 010若)(xf存在且连续,则 )(dxfcxy33应该填写:)(xf三、计算题 解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 41 页25 / 41 2解cxxxxxx22l
43、n2)(d22d23解cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin4解xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122 =cxxxxx4)ln2(21225解xxxd)e1 (e3ln02=3ln02)ed(1)e1 (xx= 3ln03)e1(31x=3566解)(lnd2ln2)2(dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxxe1e14e2d2e2xxxe24d2e2e1xx7解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=)13(28解xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120=202cos41x=219解法一
44、xxxxxxxd1)1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 解法二令1xu,则uuuuuuuxxd1lndlnd )1ln(e1e1e11e0=11eeee1u10求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解解 因为xxP1)(,1)(2xxQ用公式d1)e(ed12d1cxxyxxxxd1)e(eln2lncxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 41 页26 / 41 xcxxcxxx24241324由4712141)1(3cy, 得1c所以
45、,特解为xxxy124311求微分方程0e32yyxy满足初始条件3) 1(y的特解解 将方程分离变量:xyyxydede32等式两端积分得cxy3e31e212将初始条件3) 1(y代入,得c33e31e21,c =3e61所以,特解为:33ee2e32xy12求微分方程xxyyln满足11xy的特解 . 解:方程两端乘以x1,得xxxyxyln2即xxxyln)(两边求积分,得cxxxxxxxy2ln)(lndlndln2通解为:cxxxy2ln2由11xy,得1c所以,满足初始条件的特解为:xxxy2ln213求微分方程yyxylntan的通解精选学习资料 - - - - - - - -
46、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 41 页27 / 41 解 将原方程分离变量xxyyydcotlnd两端积分得 lnlny = lnC sinx通解为y = eC sinx14求微分方程xxyyxln的通解 . 解将原方程化为:xyxyln11,它是一阶线性微分方程,xxP1)(,xxQln1)(用公式( )d()de( )edP xxP xxyQ xxcdeln1ed1d1cxxxxxxdeln1elnlncxxxxdln1cxxxx)ln(lncxx15求微分方程yxy2的通解解 在微分方程yxy2中,xxQxP2)(,1)(由通解公式)de2(e)de2(
47、eddcxxcxxyxxxx)e2e2(e)de2e2(ecxcxxxxxxxx)e22(xcx16求微分方程xxyyxsin的通解解:因为xxP1)(,xxQsin)(,由通解公式得)desin(ed1d1cxxyxxxx =)desin(elnlncxxxx =)dsin(1cxxxx =)sincos(1cxxxx17xxxd242解xxxd242=(2)dxx=2122xxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 41 页28 / 41 18计算xxxde2121解xxxde2121=21211211eee)1(dex
48、xx四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元 ),且边际成本为)(xC=2x + 40(万元 /百台 ).试求产量由4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低. 解 当产量由4百台增至6 百台时,总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100(万元)又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC, 解得6x.x = 6 是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小 . 2已知某产品的边际成本C(x)=2(元 /件),固定成本为0,边际收益R(x
49、)=12- 0.02x,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50 件,利润将会发生什么变化?解 因为边际利润)()()(xCxRxL=12- 0.02x 2 = 10- 0.02x令)(xL= 0,得 x = 500 x = 500 是惟一驻点,而该问题确实存在最大值. 所以,当产量为500件时,利润最大. 当产量由500 件增加至 550 件时,利润改变量为5505002550500)01.010(d)02. 010(xxxxL =500 - 525 = - 25 (元)即利润将减少25元 . 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元 /百台 ),边际收入为R(x)=10
50、0- 2x(万元 /百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2 百台,利润有什么变化?解L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10x令L(x)=0, 得 x = 10(百台)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 41 页29 / 41 又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x = 10 是 L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大.又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利
51、润最大时的产量再生产2 百台,利润将减少20 万元 . 4已知某产品的边际成本为34)(xxC(万元 /百台 ),x 为产量 (百台 ),固定成本为18(万元 ),求最低平均成本. 解:因为总成本函数为xxxCd)34()(=cxx322当 x= 0 时, C(0)= 18,得 c =18 即C(x)=18322xx又平均成本函数为xxxxCxA1832)()(令0182)(2xxA, 解得 x = 3(百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时,平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(A(万元 /百台 ) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元 ),
52、其中 x为产量,单位:百吨销售x 百吨时的边际收入为xxR215)((万元 /百吨),求:(1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨,利润会发生什么变化?解: (1) 因为边际成本为1)(xC,边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL,得 x= 7 由该题实际意义可知,x= 7 为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7 百吨时利润最大 .(2) 当产量由7 百吨增加至8百吨时,利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 (万元)即利润将减少1 万元 .精选学习资料 -
53、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 41 页30 / 41 经济数学基础12 期末模拟试卷4 一、 单项选择题1设 A 为23矩阵, B为32矩阵,则下列运算中( A )可以进行 . AAB BABT CA+B DBAT2设BA,为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( B )A . TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T)()(BAAB3设BA,为同阶可逆方阵,则下列说法正确的是(D)A . 若 AB = I,则必有A = I 或 B = IB.TTT)(BAABC. 秩)(BA秩)(A秩)(B
54、D.111)(ABAB4设BA,均为 n阶方阵,在下列情况下能推出A是单位矩阵的是( D )ABAB BBAAB CIAA DIA15设A是可逆矩阵,且AABI,则A1(C ).A .BB.1BC.IBD.()IAB16设)21(A,) 31(B,I是单位矩阵,则IBAT( D )A6231 B6321 C5322 D52327设下面矩阵A, B, C 能进行乘法运算,那么( B )成立 .AAB = AC,A 0,则 B = C BAB = AC,A 可逆,则B = C CA 可逆,则AB = BA DAB = 0,则有 A = 0,或 B = 0 8设A是n阶可逆矩阵,k是不为 0 的常数
55、,则()kA1( C)A .kA1 B.11kAn C. kA1D. 11kA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 41 页31 / 41 9设314231003021A,则 r(A) =(D) A4 B3C2D1 10设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为(A) A1B2C3D411线性方程组012121xxxx解的情况是( A )A . 无解B. 只有 0 解C. 有唯一解D. 有无穷多解12若线性方程组的增广矩阵为01221A,
56、则当(A )时线性方程组无解A12 B0 C1 D2 13 线性方程组AX0只有零解,则AXb b()0( B ).A . 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解14设线性方程组AX=b 中,若 r(A, b) = 4,r(A) = 3,则该线性方程组(B) A有唯一解B无解 C有非零解D有无穷多解15设线性方程组bAX有唯一解,则相应的齐次方程组OAX(C)A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定16.以下结论或等式正确的是( C )A若BA,均为零矩阵,则有BAB若ACAB,且OA,则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,,则OAB17. 设线性方程组bXAnm有无穷
57、多解的充分必要条件是( D ) AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(18. 设BA,均为 n阶方阵,则下列命题正确的是( D )A . 若 AB = O,则 A = O 或 B = OB.222()2ABAABB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 41 页32 / 41 C. 秩)(BA秩)(A秩)(BD.()TTTABB A19. 线性方程组12323232326334xxxxxxx( B )A有唯一解B无解 C只有零解D有无穷多解二、 填空题1两个矩阵BA ,既可相加又可相乘的充分必要条件是
58、. 应该填写 :A与B是同阶矩阵2计算矩阵乘积10211000321=应该填写 :4 3若矩阵 A = 21,B = 132,则 ATB= 应该填写 :2641324设A为mn矩阵,B为st矩阵,若AB与 BA 都可进行运算,则m n s t,有关系式应该填写 :mt ns,5设13230201aA,当a时,A是对称矩阵 . 应该填写 :0 6当a时,矩阵aA131可逆 . 应该填写 :37设BA,为两个已知矩阵,且BI可逆,则方程XBXA的解X应该填写 :ABI1)(8设A为n阶可逆矩阵,则r(A)=应该填写 :n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
59、 - - -第 32 页,共 41 页33 / 41 9若矩阵 A =330204212,则秩 r(A) = 应该填写 :210若 r(A, b) = 4,r(A) = 3,则线性方程组AX = b应该填写 :无解11若线性方程组002121xxxx有非零解,则应该填写 :- 1 12设齐次线性方程组01nnmXA,且秩 (A) = r n,则其一般解中的自由未知量的个数等于应该填写 :n r13齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为. 应该填写 :4243122xxxxx(其中43, xx是自由未知量) 14线性方程组AXb的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后
60、为110000012401021dA则当d时,方程组AXb有无穷多解 . 应该填写 :115若线性方程组AXb b()0有唯一解,则AX0.应该填写 :只有零解16设矩阵3421A,I 为单位矩阵,则T)(AI应该填写 :224017.设BA,均为n阶矩阵,则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是. 应该填写 :BA,是可交换矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 41 页34 / 41 18.已知齐次线性方程组OAX中A为53矩阵,且该方程组有非0 解,则)(Ar应该填写: 3 19设线性方程组bAX,且010
61、023106111tA,则_t时,方程组有唯一解. 应该填写 :120. 设1312A,则2IA=_. 应该填写162521. 若n阶矩阵A满足 _,则A为对称矩阵。应该填写TAA22. 已知n元线性方程组bAX有解,且()r An,则该方程组的一般解中自由未知量的个数为_。应该填写n()r A23. 当=_时,方程组121211xxxx有无穷多解 . 应该填写: 124. 设齐次线性方程组01nnmXA,且则该方程组有非零解,则()r A=_。应该填写()r An25. 线性方程组OAX的系数矩阵A化成阶梯形矩阵后为A121041001d,则当d=_时,方程组OAX有非零解。应该填写:1三、
62、计算题 1设矩阵113421201A,303112B,求BAI)2(T精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 41 页35 / 41 解 因为T2AI= 1000100012T113421201 =200020002142120311=142100311所以BAI)2(T=142100311303112=11030512设矩阵021201A,200010212B,242216C,计算CBAT解:CBAT=200010212022011242216 =042006242216 =200210 3设矩阵A =1121243613,
63、求1A解因为 (AI )=10011201012400136131001122101007014111302710210100701411172010210100141011210100172010031001210100172010031001所以 A-1 =210172031精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 41 页36 / 41 4设矩阵A =012411210,求逆矩阵1A解 因为 (AI ) =12000101083021041110001000101241121012312411220001000112300
64、101120021020121123124112100010001所以 A-1=211231241125设矩阵 A =021201,B =142136,计算 (AB)-1解因为 AB =021201142136=1412(ABI ) =1210011210140112121021210112101102所以 (AB)-1=1221216设矩阵 A =022011,B =210321,计算 (BA)-1解 因为BA=210321022011=2435精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 41 页37 / 41 (BAI )=1
65、024111110240135542011112521023101所以(BA)-1=252231 7解矩阵方程214332X解 因为10430132104311112310111123103401即233443321所以, X =212334=128解矩阵方程02115321X. 解:因为105301211310012113102501即132553211所以, X =153210211=13250211= 410389设线性方程组baxxxxxxxx321321312022讨论当 a,b 为何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
66、总结 - - - - - - -第 37 页,共 41 页38 / 41 解 因为4210222021011201212101baba310011102101ba所以当1a且3b时,方程组无解;当1a时,方程组有唯一解;当1a且3b时,方程组有无穷多解. 10设线性方程组052231232132131xxxxxxxx,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况. 解 因为211011101201051223111201A300011101201所以 r(A) = 2,r(A) = 3.又因为 r(A) r(A),所以方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解:0352023024321432
67、1431xxxxxxxxxxx解 因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx(其中3x,4x是自由未知量)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页,共 41 页39 / 41 12求下列线性方程组的一般解:126142323252321321321xxxxxxxxx解 因为增广矩阵1881809490312112614231213252A00001941019101所以一般解为1941913231xxxx(其中3x是自由未知量) 13设齐次线性方程组0
68、830352023321321321xxxxxxxxx问 取何值时方程组有非零解,并求一般解. 解 因为系数矩阵A =61011023183352231500110101所以当 = 5 时,方程组有非零解. 且一般解为3231xxxx(其中3x是自由未知量) 14当取何值时,线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解?并求一般解. 解 因为增广矩阵26102610111115014121111A00026101501所以当=0 时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页,共 41 页
69、40 / 41 26153231xxxx(x3是自由未知量15已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为300000331013611A问取何值时,方程组bAX有解?当方程组有解时,求方程组bAX的一般解 . 解:当=3 时,2)()(ArAr,方程组有解 . 当=3 时,000000331010301000000331013611A一般解为432313331xxxxx, 其中3x,4x为自由未知量 . 四、证明题1试证:设A,B,AB 均为 n 阶对称矩阵,则AB =BA证 因为 AT = A,BT = B,(AB)T = AB所以AB = (AB)T = BT AT = BA2试证:设
70、A是 n 阶矩阵,若3A= 0,则21)(AAIAI证 因为)(2AAIAI =322AAAAAI =3AI= I所以21)(AAIAI3已知矩阵)(21IBA,且AA2,试证B是可逆矩阵,并求1B. 证因为)2(41)(41222IBBIBA,且AA2,即)(21)2(412IBIBB,得IB2,所以B是可逆矩阵,且BB1.4. 设n阶矩阵A满足AI2,TAAI,证明A是对称矩阵 . 证因为AIA=TTIAAAA=TA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页,共 41 页41 / 41 所以A是对称矩阵 .5设 A,B 均为 n 阶对称矩阵,则ABBA 也是对称矩阵证 因为BBAATT,且TTT)()()(BAABBAABTTTTBAABABBABAAB所以 ABBA是对称矩阵6. 设A是 n 阶可逆对称矩阵,试证1A为对称矩阵。证明:由题意可知TAA, 1A存在,且111()()TTAAA所以1A为对称矩阵。7. 设n阶矩阵A满足()()0AIAI,则A为可逆矩阵。证明:因为2()()0AIAIAI,即2AI,所以A为可逆矩阵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页,共 41 页