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1、名师总结优秀知识点圆知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念: 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充 ) 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线) ; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是
2、:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离(图 1)无交点dRr;外切(图 2)有一个交点dRr;相交(图 3)有两个交点RrdRr;内切(图 4)有一个交点dRr;内含(图 5)无交点dRr;图1rRd五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的
3、两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理:此定理中共5 个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3 个结论,即:AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O中,ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相图3rRdrddCBAO图2rRd图 4rRd图5rRdOEDCBAOCDABFEDCBAO精选学习资料 - - - - - - -
4、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页名师总结优秀知识点等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等,则可以推出其它的3 个结论,即:AOBDOE;ABDE;OCOF;弧BA弧BD七、圆周角定理1、 圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在O中,C、D都是所对的圆周角CD推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角
5、所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在O中,AB是直径或90C90CAB是直径推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在ABC中,OCOAOBABC是直角三角形或90C注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在O中,四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:MNOA且MN过半径O
6、A外端MN是O的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理(1) 相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在O中,弦AB、CD相交于点P,PA PBPC PD(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它
7、分直径所成的两条线段的比例中项。即:在O中,直径ABCD,2CEAE BE(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割CBAODCBAOCBAOCBAOEDCBANMAOPBAOPODCBAOEDCBADECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页名师总结优秀知识点线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在O中,PA是切线,PB是割线2PAPC PB(4)割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即:在O中,PB、PE是割线PC PBPD PE十
8、二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:12O O垂直平分AB。即:1O、2O相交于A、B两点12O O垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1) 公切线长:12Rt O O C 中,22221122ABCOOOCO;(2)外公切线长:2CO是半径之差;内公切线长:2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算(1)正三角形在O中ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD中进行::1:3 :2ODBD OB;(2)正四边形同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在R tO A E中 进 行 ,:1 : 1 :2O EA EO A:(3
9、)正六边形同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB中 进 行 ,:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:180n Rl;(2)扇形面积公式:213602n RSlRn:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr(2)圆柱的体积:2Vr h(2)圆锥侧面展开图(1)SSS侧表底=2Rrr(2)圆锥的体积:213Vr h十六、圆中常见的辅助线1)作半径,利用同圆或等圆的半径相等2)作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算,或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行
10、证明3)作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算BAO1O2CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页名师总结优秀知识点4)作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角7)遇到切线,作过切点的半径,构造直角8)欲证直线为圆的切线时,分两种情况:(1) 若知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2) 不知道直线和圆有公共
11、点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10) 遇到三角形的内心,常作:(1) 内心到三边的垂线;(2) 连结内心和三角形的顶点11) 遇相交两圆,常作:(1) 公共弦; (2) 连心线12) 遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线13) 求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角边十七、圆中较特殊的辅助线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完整3)作辅助圆例 1 如图 23-11 ,CA为 O的切线,切点为A,点 B在 O上,如果 CAB 55,那么 AOB等于 ( ) A 35B90
12、C 110D120例 2 如果圆柱的底面半径为4cm ,母线长为5cm,那么侧面积等于( ) A B C D例 3 如图 23-12 ,在半径为4 的 O中, AB 、CD是两条直径,M为 OB的中点,延长CM交 O于 E ,且 EMMC,连结 OE 、DE ,求: EM的长例 4 如图 23-13,AB是 O的直径, PB切 O于点 B,PA交 O于点 C,PF分别交 AB 、BC于 E、D,交 O于 F、G ,且 BE 、BD恰好是关于 x 的方程( 其中 m为实数 )的两根(1) 求证: BE BD ;(2) 若,求 A的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页