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1、学习必备精品知识点第三章直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义: x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此,倾斜角的取值范围是01802. 直线的斜率定义:倾斜角不是90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0 , k = tan0 = 0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在 . 当90,0时,0k;当180,90时,0k;当90时,k不存在。例.如右图,直线
2、l1的倾斜角= 30,直线l1 l2,求直线l1和 l2的斜率 . 解: k1=tan30=33l1 l2 k1k2=1 k2=3例: 直线053yx的倾斜角是 ( ) A.120B.150C.60D.30过两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) 的直线的斜率公式:)(211212xxxxyyk注意下面四点:(1)当21xx时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90 ;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线l1经过点 A( m, 1)、B(3,4),直线l2经过
3、点 C(1,m)、 D(1,m+1),当(1) l1/ / l2(2)l1l1时分别求出m 的值三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等,那么这三点共线。3. 直线方程点斜式:)(11xxkyy直线斜率 k,且过点11,yx注意: 当直线的斜率为0 时,k= 0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式: y= kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为bx y o 12l1l2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
4、- -第 1 页,共 4 页学习必备精品知识点两点式:112121yyxxyyxx(1212,xxyy)直线两点P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) 截矩式:1xyab其中直线l与x轴交于点 (a,0),与 y 轴交于点 (0,b),即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为a、b。注意: 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况两个截距都不为0 或都为0 ;但不可能一个为0,另一个不为0. 其方程可设为:1xyab或 y= kx. 一般式: Ax+By+C=0 (A,B 不全为 0)注意: (1)在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围(3)特殊式
5、的方程如:平行于 x 轴的直线:by(b 为常数);平行于 y 轴的直线:ax(a 为常数);例题: 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:(1)斜率是12,经过点A(8 ,2);. (2)经过点 B(4,2) ,平行于 x 轴;. (3)在x轴和y轴上的截距分别是3, 32;. (4)经过两点P1(3,2)、 P2(5,4);. 例 1:直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则()AC= 0,B0 BC= 0,B0,A0 CC= 0, AB0 4. 两直线平行与垂直当111:bxkyl,222:bxkyl时,212121,/bbkkll;12121kkl
6、l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,(A1与 B1及 A2与 B2都不同时为零 ) 若两直线相交,则它们的交点坐标是方程组0CBA0CBA222111yxyx的一组解。若方程组无解21/ ll;若方程组有无数解1l与2l重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点 P 坐标 P(xo,yo) 直线 l方程 Ax+B y+C=0 点 P(xo,yo)在直线 l 上坐标),(00yx满足方程: A x+B y+C= 0 点 P(xo,yo)是 l1、l2的交点坐标 (xo, yo)满
7、足方程组0CBA0CBA222111yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备精品知识点7. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10 方程组有唯一解两直线相交,0CBCB0BABA12211221或 A1C2A2C1 0 无解两直线平行0CBCB0BABA12211221或 A1C2A2C1 = 0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件:当A1、B1、A2、B2满足时l1l2。答: A1A2+B1B2=0经典例题;例 1.已知两直线l1: x+(1+ m) y =2m 和 l2:2mx+4y+16
8、= 0,m 为何值时l1与 l2相交平行解:例 2. 已知两直线l1:(3a+2) x+(1 4a) y + 8=0 和 l2:(5a2)x+(a+4)y 7= 0 垂直,求a 值解:例 3.求两条垂直直线l1:2x+ y +2=0 和 l2: mx+4y2=0 的交点坐标解:例 4. 已知直线l 的方程为121xy,(1)求过点( 2, 3)且垂直于l 的直线方程;(2)求过点( 2,3)且平行于l 的直线方程。8. 两点间距离公式:设 A(x1, y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,则|AB|=212212)()(yyxx9. 点到直线距离公式:一点 P(xo,yo)到直线
9、 l:A x+By+C= 0 的距离22ooBACBAd|yx|10. 两平行直线距离公式例:已知两条平行线直线l1和 l2的一般式方程为l1:A x+By+C1=0,l2:A x+B y+C2=0,则 l1与 l2的距离为2221BACCd例 1:求平行线l1:3x+ 4y 12=0 与 l2: ax+8y+11= 0 之间的距离。例 2:已知平行线l1:3x+2y 6=0 与 l2: 6x+4y3= 0,求与它们距离相等的平行线方程。12. 中点坐标公式:已知两点P1 (x1,y1)、P1(x1,y1),则线段的中点M 坐标为 (221xx,221yy) 精选学习资料 - - - - -
10、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备精品知识点例. 已知点 A(7, 4)、B(5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。13. 对称点与对称直线的求法例 1:已知直线l:2x3y+1=0 和点 P( 1, 2). (1) 分别求:点P(1, 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点Q 坐标(2) 分别求:直线l:2x3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线y=x、原点 O 的对称的直线方程. (3) 求直线 l 关于点 P(1, 2)对称的直线方程。(4) 求 P(1, 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2:点 P(1, 2)关于直线l: x+y 2=0 的对称点的坐标为。例 3:已知圆 C1:(x+1)2+(y1)2= 1 与圆 C2关于直线 xy1=0 对称,则圆C2的方程为:。A. (x+ 2)2+ (y2)2= 1 B. (x2)2+(y+2)2=1C. (x+2)2+ (y+2)2= 1 D. (x2)2+(y2)2=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页