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1、27.2.1 相似三角形的判定（第4课时） 1.1.掌握掌握“两角对应相等，两个三角形相似两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法的判定方法. .（重（重点）点）2.2.掌握掌握“斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似”. .（重点）（重点）3.3.灵活运用三角形相似的判定方法，并能运用三角形相似的条灵活运用三角形相似的判定方法，并能运用三角形相似的条件解决简单的问题件解决简单的问题. .（重点、难点）（重点、难点）一、三角形相似的条件一、三角形相似的条件1.1.操作探究：作操作探究：作ABCABC和和DEFDEF，使，使A=DA=D，B=
2、EB=E：(1)C(1)C与与F F的大小关系是：的大小关系是：_._.(2)(2)分别度量这两个三角形的边长，计算分别度量这两个三角形的边长，计算 的值，的值，可以发现，它们的值可以发现，它们的值_._.（3 3）根据你的计算，猜想这两个三角形的关系是）根据你的计算，猜想这两个三角形的关系是_._.相等相等相等相等相似相似2.2.证明猜想：如图：证明猜想：如图：ABCABC和和DEFDEF，A=DA=D，B=E.B=E.求证：求证：ABCDEF.ABCDEF.请将证明过程补充完整：在线段请将证明过程补充完整：在线段DEDE上截取上截取DM=ABDM=AB，过点，过点M M作作MNEFMNEF
3、，交，交DFDF于点于点N.N.DMN_DMN_，DMN=EDMN=E，又又B=EB=E，B=DMNB=DMN，又又A=DA=D，AB=DMAB=DM，ABC_.ABC_.ABCDEF.ABCDEF.【总结总结】_对应相等，两个三角形相似对应相等，两个三角形相似. .DEFDEFDMNDMN两角两角二、直角三角形相似的判定二、直角三角形相似的判定1.1.有有_对应相等的两个直角三角形相似对应相等的两个直角三角形相似. .2.2.两组两组_对应相等的两个直角三角形相似对应相等的两个直角三角形相似. .3._3._等于等于_的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似. .一个锐角一个锐角直角边的比直
4、角边的比斜边的比斜边的比一组直角边的比一组直角边的比 （打（打“”“”或或“”）（1 1）等腰直角三角形都相似）等腰直角三角形都相似. .（ ）（2 2）有一组角对应相等的两个等腰三角形相似）有一组角对应相等的两个等腰三角形相似. .（ ）（3 3）有一组角对应相等的两个直角三角形相似）有一组角对应相等的两个直角三角形相似. .（ ）(4)(4)直角三角形与该三角形中被斜边上的高分成的两个较小的直角三角形与该三角形中被斜边上的高分成的两个较小的直角三角形彼此相似直角三角形彼此相似. . （ ）知识点知识点 1 1 应用两角相等判定三角形的相似应用两角相等判定三角形的相似【例例1 1】如图，在如
5、图，在ABCABC和和ADEADE中，中，BAD=CAEBAD=CAE，ABC=ADEABC=ADE(1)(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）. .(2)(2)请分别说明（请分别说明（1 1）中两对三角形相似的理由）中两对三角形相似的理由. . 【思路点拨思路点拨】BAD=CAEBAC=DAEABCADEBAD=CAEBAC=DAEABCADE对应边的比相等对应边的比相等ABDACE.ABDACE.【自主解答自主解答】 (1) ABCADE, ABDACE. (1) ABCADE, ABDACE.(2)(2)证证ABCADEABCADEBAD=
6、CAEBAD=CAE，BAD+DAC=CAE+DACBAD+DAC=CAE+DAC，即即BAC=DAE.BAC=DAE.又又ABC=ADEABC=ADE，ABCADE.ABCADE.证证ABDACEABDACEABCADEABCADE， 则则 又又BAD=CAE,ABDACE.BAD=CAE,ABDACE.【总结提升总结提升】相似三角形的三类构图相似三角形的三类构图1.1.类型为平行线型（如图）类型为平行线型（如图）. .2.2.类型为相交线型（如图）类型为相交线型（如图）. .3.3.类型为旋转型（如图）类型为旋转型（如图）. .知识点知识点 2 2 直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定
7、【例例2 2】已知：已知：RtABCRtABC和和RtABCRtABC中，中，ACB=ACB=90ACB=ACB=90，CDCD，CDCD分别是两个三角形斜边分别是两个三角形斜边上的高，且上的高，且CDCD=ACAC.CDCD=ACAC.证明：证明：ABCABCABCABC【解题探究解题探究】1.1.要证要证ABCABCABCABC，需要证明什么？，需要证明什么？提示提示: :需要证：需要证：A=AA=A或或B=B.B=B.2.2.要证明要证明1 1中的条件，需证明什么？条件是否具备？中的条件，需证明什么？条件是否具备？提示提示: :需证明：需证明：RtADCRtADCRtADCRtADC，这
8、两个直角三角形，这两个直角三角形相似的条件已经具备：相似的条件已经具备：CDCD=ACAC.CDCD=ACAC.3.3.根据根据1 1，2 2的解题思路完成证明过程的解题思路完成证明过程. .提示提示: :证明如下：证明如下：CDCD，CDCD分别是两个三角形斜边上的高，分别是两个三角形斜边上的高，ADC=ADC=90ADC=ADC=90，又又CDCD=ACACCDCD=ACAC，RtADCRtADCRtADCRtADC，A=A.A=A.又又ACB=ACB=90ACB=ACB=90，ABCABC.ABCABC.【互动探究互动探究】DBCDBC与与DBCDBC相似吗？为什么？相似吗？为什么？提示
9、提示: :相似，由题中的结论可知相似，由题中的结论可知B=BB=B，所以，所以DBCDBC.DBCDBC.【总结提升总结提升】判定直角三角形相似的两个思路判定直角三角形相似的两个思路1.1.找角：找直角三角形的一个锐角对应相等找角：找直角三角形的一个锐角对应相等. .2.2.找边：（找边：（1 1）找两组直角边的比相等）找两组直角边的比相等. .（2 2）找斜边的比和一）找斜边的比和一直角边的比对应相等直角边的比对应相等. .题组一一: :应用两角相等判定三角形的相似用两角相等判定三角形的相似1.(20131.(2013淄博中考淄博中考) )如如图, ,直角梯形直角梯形ABCDABCD中中,A
10、BCD,C=90,BDA=90,AB=a,ABCD,C=90,BDA=90,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=eBD=b,CD=c,BC=d,AD=e则下列等式成立的下列等式成立的是是( () )A.bA.b2 2=ac=ac B.b B.b2 2=ce=ceC.be=acC.be=ac D.bd=ae D.bd=ae【解析解析】选选A.ABCDA.ABCD，CDB=DBACDB=DBA，又，又C=BDAC=BDA，CDBDBACDBDBA， ，即，即 ，根据比，根据比例的基本性质，得例的基本性质，得bd=cebd=ce，b b2 2=ac=ac，be=ad.be=ad.2.2.如
11、图，如图，1=21=2，添加一个条件使得，添加一个条件使得ADEACBADEACB：_._.【解析解析】1=21=2，1+BAE=2+BAE1+BAE=2+BAE，即，即DAE=CAB.DAE=CAB.要使三角形相似，如根据两角对应相等，两三角要使三角形相似，如根据两角对应相等，两三角形相似，则可加形相似，则可加B=EB=E或或D=CD=C；若根据两边对应成比例，；若根据两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似，则可添加夹角相等的两三角形相似，则可添加答案答案: :B=EB=E或或D=CD=C或或 3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=4AC=4，点，点D D在边在
12、边ABAB上，上，ACD=BACD=B，则则ADAD的长为的长为_._.【解析解析】因为因为A=AA=A，ACD=BACD=B，所以，所以ABCACDABCACD，所，所以以 ，所以，所以 ，即，即AD= AD= 答案答案: :4.4.如图，如图，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，CECE是外角平分线，点是外角平分线，点D D在在ACAC上，上，连接连接BDBD并延长与并延长与CECE交于点交于点E E求证：求证：ABDCEDABDCED【证明证明】ABCABC是等边三角形，是等边三角形，BACBACACBACB6060，ACFACF120120CECE是外角平分线，是外角平分线，ACE
13、ACE6060BACBACACEACE又又ADBADBCDECDE，ABDCEDABDCED5.5.如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，ADAD是是ABCABC的边的边BCBC上的高，上的高，AEAE是是O O的直径，连接的直径，连接BEBE，ABEABE与与ADCADC相似吗？请证明你的结论相似吗？请证明你的结论. .【解析解析】ABE ABE 与与ADCADC相似理由如下：相似理由如下：在在ABEABE与与ADCADC中，中，AEAE是是O O的直径，的直径，ABE=90.ABE=90.ADAD是是ABCABC的边的边BCBC上的高，上的高，ADC=90ADC=90，ABE=ADC
14、ABE=ADC又又同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等， BEA=DCABEA=DCAABEADCABEADC题组二题组二: :直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定1.1.如图，如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C在圆上，在圆上，CDCDABAB，DEBC,DEBC,则图中与则图中与ABCABC相似的三角形的相似的三角形的个数有（个数有（ ）A A4 4个个 B B3 3个个C C2 2个个 D D1 1个个【解析解析】选选A.A.因为因为ABAB是直径，所以是直径，所以ACB = 90ACB = 90，CDABCDAB，DEACDEAC，所以有，所以有B=EDA=EC
15、DB=EDA=ECD，由此分析可知，由此分析可知CDECDE，CDACDA，AEDAED，BCDBCD都与都与ABCABC相似相似2.2.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，E E为为ABAB的中点，的中点，AFDEAFDE于点于点O O， 则则 等于等于( )( )A. B. C. D.A. B. C. D.【解析解析】选选D.AFDED.AFDE，四边形，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，DAB=AOD=90.DAB=AOD=90.又又ADO=EDAADO=EDA，DAODEADAODEA， 又又E E为为ABAB的中点，的中点， 即即3.3.如图，在如图，在ABCAB
16、C中，中，C=90C=90，D D是是ACAC上一点，上一点，DEABDEAB于点于点E E，若，若AC=8AC=8，BC=6BC=6，DE=3DE=3，则，则ADAD的长为（的长为（ ）A A3 B3 B4 4C C5 D5 D6 6【解析解析】选选C.DEABC.DEAB，AED=90AED=90，又又A=AA=A，AEDACBAEDACB， 在在RtABCRtABC中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得AB=10AB=10，AD= AB=5.AD= AB=5.4.4.如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=4AC=4，BC=3.BC=3.半径为半径为1 1的圆的圆的圆的圆心
17、心P P以以1 1个单位个单位/s/s的速度由点的速度由点A A沿沿ACAC方向在方向在ACAC上移动，设移动时上移动，设移动时间为间为t t（单位：（单位：s s）. .当当t=_st=_s时，时，P P与与ABAB相切相切. .【解析解析】当当P P在移动中与在移动中与ABAB相切时，设切点为相切时，设切点为M M，连接，连接PMPM，则，则AMP=90.AMP=90.APMABC APMABC ，AP=t,AB= =5,AP=t,AB= =5, ，t= .t= .答案答案: :5.5.如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，ABC=90ABC=90，BDACBDAC于点于点D D求证
18、：求证：ABAB2 2ADAC.ADAC.【证明证明】BDACBDAC，ABC=90ABC=90，ADB=ABC.ADB=ABC.又又A=AA=A，ADBABCADBABC， ，ABAB2 2=AD=ADAC.AC.【归纳整合归纳整合】证明等积式的思路证明等积式的思路1.1.先把等积式转化成比例式先把等积式转化成比例式. .2.2.应用三点定形法确定所需证明相似的三角形：应用三点定形法确定所需证明相似的三角形：（1 1）横向定形：观察比例式的分子和分母，根据各自两条线）横向定形：观察比例式的分子和分母，根据各自两条线段中不同的三个字母确定要证的三角形段中不同的三个字母确定要证的三角形. .（2
19、 2）纵向定形：等号左右两边的分子、分母所包含的不同的）纵向定形：等号左右两边的分子、分母所包含的不同的三个字母进行定形三个字母进行定形. .（3 3）若出现四个字母或三个字母所表示的点在同一条直线上，）若出现四个字母或三个字母所表示的点在同一条直线上，则考虑通过相等的线段进行转化则考虑通过相等的线段进行转化. .3.3.证明所确定的三角形相似证明所确定的三角形相似. .6.6.（20122012铁岭中考）已知：在直角梯形铁岭中考）已知：在直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，C=90C=90，AB=AD=25AB=AD=25，BC=32.BC=32.连接连接BDBD，AEBDAE
20、BD，垂足为，垂足为E.E.（1 1）求证：）求证：ABEDBC.ABEDBC.（2 2）求线段）求线段AEAE的长的长. .【解析解析】（1 1）AB=ADAB=AD，ABD=ADBABD=ADB，ADBCADBC，ADB=DBCADB=DBC，ABD=DBC.ABD=DBC.AEBDAEBD，AEB=C=90AEB=C=90，ABEDBC.ABEDBC.（2 2）AB=ADAB=AD，又，又AEBDAEBD，BE=DEBE=DE，BD=2BE.BD=2BE.由由ABEDBCABEDBC，得，得AB=AD=25AB=AD=25，BC=32BC=32， ，BE=20.BE=20.AE= =15.AE= =15.【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，如图，D D，E E分别是分别是ABCABC的的边边ABAB，ACAC上的点，上的点，AD=3AD=3，BD=4BD=4，DE=3DE=3，AC=5AC=5，若若B=AEDB=AED，求，求BCBC的长的长. .提示提示: :注意相似三角形的边之间的对应关系注意相似三角形的边之间的对应关系. .
