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1、数学中“ 单位 ” 的巧用笔者在几年小学毕业班数学教学实践中，深刻认识到：分数、百分数、工程问题， 是小学生最难理解和难于掌握的内容，而这三种内容的应用题又是小学生更难的， 而又必须掌握的知识之一。 而单位 “1”好比是解答这难题的一把金钥匙，利用得当可帮助学生理解题意、掌握解题思路、发展思维，提高学生解题能力和技巧，可起到事半功倍的作用。因此，教师在教学中引导学生掌握单位“1”的运用方法很有必要。首先要让学生认清单位“1”，它不同于自然数中的 “1”，它可表示数字“1”，更重要的是它在分数、百分数、比类,工程问题应用题中表示“ 一个单位、一个整体 ” ，这在教学中就叫单位 “1”或“ 整体
2、1” 。故单位“1”可表示 “ 一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件” 等。所有单位 “1”的量叫标准量， 与它相比的叫比较量，在解答应用题时，如单位 “1”的量已知，就用单位 “1”的量乘以所求量对应的分率；如求单位“1”的量，就用已知量除以已知量的对应分率。由于用单位“1”计算方法固定，故只要选好单位“1”，就可知计算方法，这就解决了学生不知用什么方法计算这一难题。而选择单位“1”一般以“ 总量、不变量、两者相比的后项、 几分之几的对象 ” 为单位 “1”。下面谈谈单位 “1”的运用。一、单位 “1”在分数应用题中的运用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
3、 - - - - - - -第 1 页，共 13 页这类应用题一般把总量看作单位“1”。例（1）：一堆煤有 50 吨，用去 3/5 后，还剩多少吨？分析：本题应把总量一堆煤看作单位“1”，用去的单位 “1”的 3/5，剩下的占单位 “1”的（1-3/5）（剩下量对应分率），由于单位“1”量已知而用乘法，求剩下量列式为：50 （1-3/5）。例（2）：一堆煤，第一次运走总吨数的1/3，第二次运走总吨数的 1/4，还剩 65 吨没运，求这堆煤有多少吨？分析：本题与例（1）一样把总量看作单位 “1”，剩下的占单位 “1”的（1-1/3-1/4），但这题求单位 “1”的量而用除法，列式为：65 （1-
4、1/3-1/4）156吨。由上两例可知：当总量变化时，单位“1”在解题过程中起了关键作用。但当总量不变， 总量里的几种部分量都变化时又怎样解呢？例（3）：甲乙两粮仓，甲仓存量吨数是乙仓的5 倍，如从甲仓运出 628吨粮存入乙仓，则乙仓存粮是甲的 5倍， 甲仓原有存粮多少吨？分析：这题应把两仓总存粮数看作单位“1”，由于甲乙两仓存粮数前后发生变化，原来甲占两仓总量的5/(15)，后来甲占两仓总量的1/(15)，则原甲比后甲多的628 吨的对应分率是（ 5/6-1/6）。故总量是 628 （5/6-1/6），而原甲仓存粮为628 （5/6-1/6） 5/6。因此，当总量不变，而分量都变化，还是用单
5、位“1”，解题可起简便思路的作用。如总量变，分量里有种变、有种不变的题呢？同样可用单位“1”法求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页例（4）：甲乙两人共储蓄人民币315元，甲储蓄的钱数占两人总数的 7/8，甲取出一部分存款支援“ 希望工程 ” 后，这时甲占两人总储量的 5/11，这时甲乙两人储蓄总量是多少元？分析：本题与上题比，仍把总量看作单位“1”，但原来和现在 “1”表示的量是不同的，而乙在总量变化时自身不变，故应以乙占前后单位“1”的差，求出后来两人总量。原来甲占7/8，乙占（ 1-7/8），乙有钱 315
6、 （1-7/8）；后来甲占 5/11，乙占（ 1-5/11），即后来两人储蓄总量的（1-5/11），是 315 （1-7/8） （1-5/11）。于是可见，总量变化，同样可用单位 “1”来求解，同样单位 “1”起了解题中的桥梁作用。二、单位 “1”在“ 比类” 应用题中的运用这类应用题，一般先弄清是“ 谁比谁 ” ，把“ 后者” 看作单位 “1”的量。1、“ 份数比 ” 类应用题例（1）：某工厂四月份烧煤120吨，比原计划节约了1/9，四月份原计划烧煤多少吨？分析：本题是实际烧煤量与计划量相比，故应把计划烧煤量看作单位 “1”，则实际烧煤量相当于计划量的（11/9），求计划量可列式为 120
7、（11/9）135（吨），因此，单位 “1”在份数比类应用题中起关键作用。2、“ 差比” 类应用题也可用单位 “1”求解例（1）：甲数是 40，乙数是 80。求甲比乙多几分之几？求乙比甲比少几分之几？这类应用题可用公式 “ 相差量 标准量 ” ，但上题、问的标准量发生变化，而计算结果不同。（8040）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页 801/2；（8040） 401。由上可知，单位 “1”在“ 差比” 类分数应用题解答中起了关键性的作用。3、“ 倍比” 类分数应用题同样可用单位“1”求解例（1）：某校 54 人参
8、加奥林匹克学校数学班学习，非录取学生人数比录取学生数的5/2 倍还多 12 人，问这所学校有几个被录取？分析：本题应把被录取人数看作单位“1”，如非录取学生人数减少 12 人，则非录取人数刚好是录取人数的5/2 倍，则总人数少 12 人后的人数对应的分率是15/2，求录取学生人数列式为： （54-12） （15/2）。这类应用题关键是把 “ 比类” 转换成 “ 一量是另一量的倍数 ” ，再利用单位 “1”求解。因此，单位 “1”在“ 倍比” 类应用题解答中起了简便思路和计算过程的关键作用。三、单位 “1”在百分数应用题中的运用单位“1”在百分数就用题与分数应用题中方法一样。因为把百分数转换成分
9、数，就成了分数应用题。四、单位 “1”在“ 工程问题 ” 中的运用分数工程应用题同整数工程问题一样，都可以工作总量作单位“1”。工作总量可以是 “ 一段路，一件工程，一块地，一批物件” 等。例（1）：一段公路，甲队单独修要12 天，乙队单独修要 15 天。甲队先单独修 3 天后，再两队合修要几天？分析：本题应把这段路工作总看作单位 “1”，甲队每天完成单位 “1”的 1/12，乙每天完成单位“1”的 1/15。甲先修 3 天，则已修 1/12 3，这时剩下这段路的1-1/12 3。两队合修一天可完成这段路的（1/121/15），合修天数为：（1精选学习资料 - - - - - - - - -
10、名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页-1/12 3） （1/121/15）5（天），解这题时，把这段路看作单位“1”起了关键作用。 如用整数工程问题求解， 由于不知工作总量而不能求解。例（2）：有大小两只木船，大船可以载重6.3 吨，小船的载重量是大船的 2/7，大船 8 次运完的货物，小船几次才能运完？本题用整数、小数应用题方法解可列式为：6.3 8 （6.3 2/7）28（次）。如用单位 “1”法求解，则把大船 8 次运的货物看作单位 “1”，大船每次运单位 “1”的 1/8，小船每次运单位 “1”的 1/8 2/7，故小船运完这批货的次数为： 1 （1/8 2
11、/7）28（次）。当以大船每次载重量看作单位 “1”时，则这批货物总量有8 个单位“1”。小船每次载重量是单位 “1”的 2/7，求小船运的次数就是8 里面有多少个 2/7，列式为：8 2/728（次）。由上可知，用单位“1”的方法求解比整数、小数法简便些。由上面的论证可知，单位 “1”在小学分数、百分数、工程问题的应用题解答过程中，起了既简便运算方法、过程，又便于学生掌握解题思路的关键作用。因此，教学时，教会学生熟练利用单位“1”，对加强学生解题能力和技巧，提高教学质量，可起事半功倍的作用。分数、百分数应用题解题公式分数（百分数）应用题是小学数学应用题的主要内容之一，它是整、小数倍数关系应用
12、题的继续和深化， 是研究数量之间份数关系的典型应用题。分数应用题涉及的知识面广，题目变化的形式多，解题的思路宽，既有独特的思维模式，又有基本的解题思路。小学即将毕业阶段，如何通过分数（百分数）应用题方法的复习，让孩子们掌握一些基本解题方法，感悟数学的基本思想， 从而达到培养初步的逻辑思维能力和运用所学知识解决实际问题能力之目的，笔者根据长期的教学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页实践和体会，总结出以下一些典型方法，以飨读者。一、数形结合思想数形结合是研究数学问题的重要思想，画线段图能将题目中抽象的数量关系，直观形象
13、地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。画线段图常常与其它解题方法结合使用，可以说，它是学生弄清分数（百分数）应用题题意、分析其数量关系的基本方法。【例 1】一桶油第一次用去51，第二次比第一次多用去20 千克，还剩下 22千克。原来这桶油有多少千克？分析与解 从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数（15151）=20+22 则这桶油的千克数为： （20+22）（ 15151）=70（千克）【例 2】一堆煤，第一次用去这堆煤的20% ，第二次用去 290 千克，这时剩下的煤比原来这堆煤的一半还多10 千克，求原来这堆煤共有多少千克？分析与解 显然，这堆煤的千克数（120%50%）=2
14、90+10 则这堆煤的千克数为： （290+10）（ 120%50%）=1000（千克）二、对应思想量率对应是解答分数应用题的根本思想，量率对应是通过题中具体数量与抽象分率之间的对应关系来分析问题和解决问题的思想。（量率对应常常和画线段图结合使用，效果极佳。 ）【例 3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的207，比男职工少144 人，缝纫精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页机厂共有职工多少人？分析与解 解题的关键是找到与具体数量144 人的相对应的分率。从线段图上可以清楚地看出女职工占207，男职工占 1207=2013
15、，女职工比男职工少占全厂职工人数的2013207=103，也就是144 人与全厂人数的103相对应。全厂的人数为：144（1207207）=480（人）【例 4】菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的31，第二天卖出余下的52，这时还剩下 240 千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？分析与解 从线段图上可以清楚地看出240 千克的对应分率是第一天卖出31后余下的（152） 。则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：240（152）=400（千克）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页同理 400 千克的对应分率
16、为这批大白菜的（131） ，则这批大白菜的千克数为：400（131）=600（千克）三、转化思想转化是解决数学问题的重要手段，可以这样说， 任何一个解题过程都离不开转化。它是把某一个数学问题， 通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思考、求解，从而实现从繁到简、由难到易的转化。复杂的分数应用题，常常含有几个不同的单位“ 1” ，根据题目的具体情况，将不同的单位“1”转化成统一的单位“ 1” ，使隐蔽的数量关系明朗化。1、从分数的意义出发，把分数变成份数进行“率”的转化【例 5】男生人数是女生人数的54，男生人数是学生总人数的几分之几？分析与解 男生人数是女生的54，是将女生人数看作单位“1”
17、 ，平均分成 5 份，男生是这样的 4 份，学生总人数为这样的（4+5）份，求男生人数是学生总人数的几分之几？就是求 4 份是（4+5）份的几分之几？4（4+5）= 94【例 6】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的54，若弟给兄 4元，则弟的钱数是兄的32，求兄弟两人原来各有多少元？分析与解 兄弟两人的总钱数是不变量， 把它看作单位 “1” ，原来弟的钱数占两人总钱数的544，后来弟的钱数占两人总钱数的322，则两人的总钱数为：4（544322）=90（元）弟原来的钱数为： 90544=40（元）兄原来的钱数为： 9040=50（元）2、直接运用分率计算进行“率”的转化【例 7】甲是
18、乙的32，乙是丙的54，甲是丙的的几分之几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页分析与解 甲是乙的32，乙是丙的54，求甲是丙的的几分之几？就是求54的32是多少？5432=158【例 8】某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产了计划的53，下半月比上半月多生产了51，这样全月实际生产了1980 个零件，一月份计划生产多少个？分析与解 51是以上半月的产量为“1” ，下半月比上半月多生产51，即下半月生产了计划的53（1+51）=2518。则计划的（53+2518）为 1980 个，计划生产个
19、数为：198053+53（1+51）=1500（个）3、通过恒等变形，进行“率”的转化【例 9】甲的54等于乙的73，甲是乙的几分之几？分析与解 由条件可得等式：甲54=乙73方法 1：等式两边同除以54得：甲54=乙7354甲=乙2518方法 2：根据比例的基本性质得：甲乙=7354化简得：甲乙 =15：28 即甲是乙的2518。【例 10】五（2）班有学生 54 人，男生人数的 75%和女生人数的 80%都参加了课外兴趣小组，而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、女生各有多少人？分析与解 由条件可得等式：男生人数（ 175%）= 女生人数（ 180%）精选学习资料 - -
20、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页男生人数女生人数 =4：5 就是男生人数是女生人数的54。女生人数： 54（1+54）=30（人）男生人数： 5430=24（人）四、变中求定的解题思想分数 （百分数）应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化，往往引起另一个数量的变化， 但总存在着不变量。 解题时要善于抓住不变量为单位“1” ，问题就会迎刃而解。1、部分量不变【例 11】有两种糖放在一起，其中软糖占209，再放入 16块硬糖以后，软糖占两种糖总数的41，求软糖有多少块？分析与解 根据题意，硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化，
21、但软糖块数不变，可以确定软糖块数为单位 “1” ， 则原来硬糖块数是软糖块数的 （1209） 209=911倍。加入 16 块硬糖以后，后来硬糖块数是软糖块数的（141）41=3 倍，这样 16块硬糖相当于软糖的3911=916倍，从而求出软糖的块数。16（141）41（1209）209=9（块）2、和不变【例 12】小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的81，后来他又读了 20 页，这时已读的页数是剩下页数的61，这本课外读物共有多少页？分析与解 根据题意，已读页数和未读页数都发生了变化，但这本书的总页数不变，可把总页数看作单位“ 1” ，原来已读页数占总页数的811，又读了
22、 20 页后，这时已读页数占总页数的611，这 20 页占这本书总页数的（611811） ，则这本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页课外读物的页数为：20（611811）=630（页）【例 13】兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的21，老二出的钱是其他两人出钱总数的31，老三比老二多出400 元。问这台彩电多少钱？分析与解 从字面上看21和31的单位“ 1”都是其他两人出钱的总数，但含义是不同的，21是以老二和老三出钱的总数为单位“1” ，31是以老大和老三出钱的总数为单位“1” 。但三人出钱的
23、总数（彩电价格）是不变的，把它确定为单位“1” ，老大出的钱数相当于彩电价格的211，老二出的钱相当于彩电价格的311，老三出的钱数相当于彩电价格的1211311=125，400 元相当于彩电价格的125311=61。这台彩电的价格为：400（1211311311）=2400（元）五、假设思想假设思想是一种重要的数学思想，常用有推测性假设法和冲突式假设法。1、推测性假设法推测性假设法是通过假定，再按照题的条件进行推理，然后调整设定内容，从而得到正确答案。【例 14】一条公路修了1000 米后，剩下部分比全长的53少 200 米，这条公路全长多少米？分析与解 由题意知，假设少修200 米，也就是
24、修 1000200=800（米） ，那么剩下部分正好是全长的53，因此已修的 800 米占全长的（ 153） ，所以这条公路全长为：（1000200）（ 153）=2000（米）2、冲突式假设法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页冲突式假设法是解应用题中常用的一种思维方法。通过对某种量的大胆假设，再依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾冲突，进行比较，作适当调整，从而找到正确答案的方法。【例 15】甲、乙两班共有96 人，选出甲班人数的41和乙班人数的51，组成22 人的数学兴趣小组，问甲、乙两班原来各有多少人
25、？分析与解 假设两班都选出41，则选出 9641=24（人） ，假设比实际多选出2422=2（人） 。调整：这是因为把选出乙班人数的51假设为选出41，多算了4151=201，由此可先算出乙班原来的人数。（964122）（4151）=40（人）甲班原来的人数：9640=56（人）【例 16】某书店出售一种挂历，每售出1 本可得 18 元利润。售出一部分后每本减价 10 元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的32。书店售完这种挂历共获利润2870 元。书店共售出这种挂历多少本？分析与解 根据减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的32， 我们假设减价前出售的挂历为 3 本
26、，减价出售的挂历为2 本，则售出这 2+3=5（本）挂历所获的利润为：183+（1810）2=70（元）这与实际共获利润2870 元相矛盾，这是什么原因造成的呢？调整：这是因为把出售的挂历假设为5 本，根据实际共获利润是假设所获利润的 287070=41 倍，实际共售出挂历的本数也应该是假设5 本的 41 倍。即 541=205（本）六、用方程解应用题思想在用算术方法解应用题时，数量关系比较复杂，特别是逆向思考的应用题，往往棘手，而这些的应用题用列方程解答则简单易行。列方程解应用题一开始就精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共
27、 13 页用字母表示未知量，使它与已知量处于同等地位，同时运算，组成等式，然后解答出未知数的值。列方程解应用题的关键是根据题中已知条件找出的等量关系，再根据等量关系列出方程。【例 17】某工厂第一车间人数比第二车间的54多 16 人，如果从第二车间调40 人到第一车间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？分析与解 根据题意，有如下数量关系：第一车间人数 +40人=第二车间人数 40 人解：设第二车间有X人。54X+16+40=X 40 解得：X=480 第一车间人数为：54X+16=54480+16=400（人）【例 18】老师买来一些本子和铅笔作奖品，已知本子本数与铅笔支数的比是43，每位竞赛获奖的同学奖8本本子和 5 支铅笔，奖了 7 位同学后， 剩下的本子本数与铅笔支数的比是34，老师买来本子、铅笔各多少？分析与解 根据题意，有如下数量关系：（本子本数 87）（铅笔支数 57）=34 解：设老师买来本子4X本，铅笔 3X支。（4X87）（ 3X57）=34 解得：X = 17 本子数： 4X=417=68（本）铅笔数： 3X=317=51（本）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
