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1、1.1.1 变化率问题数学111变化率与导数新人教A版选修1.1.变化率变化率 一个变量相对于另一个变量的变化一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度而变化的快慢程度叫做叫做变化率变化率数学111变化率与导数新人教A版选修 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发可以发现现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增气球的半径增加越来加越来越慢越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?数学111变化率与导数新人教A版选修 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 气球的体积气球的体积
2、V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm) 之间的函数关系是之间的函数关系是 如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数, 那么那么数学111变化率与导数新人教A版选修当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为 显然显然0.620.16分析一下分析一下: :数学111变化率与导数新人教A版选修思考? 当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均膨胀气球的平均膨胀率是多少率是多少?数学111变化率与导数新人教A版选修 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的高运动员相对
3、于水面的高度度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒（单位：秒) )存存在函数关系在函数关系 h(t)=-4.9t h(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.hto问题问题2 高台跳水高台跳水 如果用运动员在某段如果用运动员在某段时间内的平均速度粗略地时间内的平均速度粗略地描述其运动状态描述其运动状态, ,那么那么数学111变化率与导数新人教A版选修htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10分析一下分析一下: :当t从0增加到0.5时,平均速度为当t从1增加到2时,平均速度为数学111变化率与导数新人教A版选修思考? 当时间从当时间从t
4、1增加到增加到t2时时,运动员的平均平运动员的平均平均速度是多少均速度是多少?h(t)=-4.9t2+6.5t+10数学111变化率与导数新人教A版选修若设若设x=x2x1, y=f(x2)f(x1)l 上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示我们称之为函数我们称之为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率2.2.平均变化率的定义平均变化率的定义这里这里x是是x1的一个的一个“增量增量” ：x2x1+x ; y是是(x1)的一个的一个“增量增量” : f(x2)=f(x1) +y .则则平均变化率平均变化率为为数学111变化率与导数新人教A版选修 观察函数观察
5、函数f(x)的图象，平均变化率的图象，平均变化率 表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1= xf(x2)-f(x1)= y割线割线ABAB的斜率的斜率思考思考? ?3.3.平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义数学111变化率与导数新人教A版选修 例、例、 设函数设函数f(x)=2x, 当从当从2变到变到1.9时时,求求 x和和 y.解解 x1.9-0.1 yf(1.9)f(2)0.2数学111变化率与导数新人教A版选修数学111变化率与导数新人教A版选修例例、求、求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率.数学111变化率与导数新人教A版
6、选修 1、 过过y=x3上两点上两点P（1，1)、Q(1+x,1+y)作作割线，当割线，当x=2x=2时时, , 求求 (1) (1) 点点Q Q的坐标的坐标; ; (2) y (2) y的值的值; ; (3) (3) 割线割线PQPQ的斜率的斜率. .解 (1) Q(3, 27)，练习练习数学111变化率与导数新人教A版选修 2 2、在高台跳水运动中、在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的运动员相对于水面的高度高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒（单位：秒) )存在函数关系存在函数关系 h(t)=-4.9t h(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.练习练习当当t t从从2 2 变到变到2+t 2+t 时时, ,求运动的平均速度求运动的平均速度. .=4.9 t13.1数学111变化率与导数新人教A版选修 作 业 P10 1, P11 2 补充题、求补充题、求y=1/x在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率.数学数学111111变化率与导数新人教变化率与导数新人教A A版选修版选修
