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1、第二节一、一、 偏导数的定义及其计算偏导数的定义及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数 第九章第九章 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法复习一元函数复习一元函数 的导数概念的导数概念 接下来研究多元函数的关于其中一个自变量接下来研究多元函数的关于其中一个自变量的变化率的变化率.以元函数以元函数 为例来定义为例来定义.定义定义1.在点在点存在存在, ,x的偏导数的偏导数. .的某邻域内的某邻域内则称此极限为则称此极限为极限极限设函数设函数即即:同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数若若z = f ( x, y ) 在定义域在定义域D 内每一点内每一点(x, y)处
2、处则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数. .简称为简称为 偏导数偏导数 ,记为记为对对x或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,偏导函数偏导函数: :例如例如, 三元函数三元函数 u = f (x, y, z) 在点在点 (x, y ,z) 处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)例例2 . 求求解法解法1 1:在点在点(1 , 2) 处的偏导数处的偏导数. .解法解法2 2:例例1 1:例例4. 求求的偏导数的偏导数.解解:例例3. 设设证证:求证求证:例例5. 已知理想气体的状态方程已知
3、理想气体的状态方程求证求证:证证:(R 为常数为常数) , 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存在, ,显然显然例如例如, ,注意：注意：但在该点但在该点不一定连续不一定连续. .在上节已证在上节已证f (x, y) 在点在点(0 , 0)并不连续并不连续!二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z= f (x, y)在在D内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数
4、仍存在偏导数， 则称它们是则称它们是z = f (x,y ) 的的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导数数:类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如例如,z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 阶偏导数为阶偏导数为则则定理定理.(证明略) 例例7. 解解 :作业作业P69：1 (1)、(2)；2 第九章第九章 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 第三节复习：一元函数复习：一元函数 的微分的微分本节内容本节内容:一、
5、全微分的定义、全微分的定义 全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 内点内点( x, y )可表示成可表示成称为称为在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作记作则称函数则称函数 f ( x, y )在在( x, y)可微可微，处全增量处全增量函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可微可微由微分定义由微分定义 :函数在该点连续函数在该点连续即即定理定理1 1( (必要条件必要条件) )若函数若函数 z = f (x,y) 在点在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数则该函
6、数在该点偏导数必存在必存在, ,且有且有同样可证同样可证证证: 由全增量公式由全增量公式得到对得到对 x 的偏增量的偏增量反例反例: 函数函数易知易知因此因此,函数在点函数在点 (0,0) 不可微不可微 .定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立 .偏导数存在不一定可微偏导数存在不一定可微 .即即:定理定理2 (充分条件充分条件)若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点则函数在该点可微分可微分.推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如, 三元函数三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为的全微分为于是于是例例2.求求 在在(2,1)点的全微分点的全微分例例3.求求 的全微分的全微分作业作业P76：1 (1)、(3)、(4)；3
