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1、学习必备欢迎下载二 次 根 式知识点一:二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式。知识点二:取值范围1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式。所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当 a0 时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性()表示 a 的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。0()这个性质和绝对值
2、、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若, 则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,b=0 。知识点四:二次根式()的性质()即:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五:二次根式的性质知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而表示一个实数a 的平方的算术平方根;在中,而中 a 可以是正实数, 0,负实数。因而它的运算的结果是有差别的,而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页学习必备欢迎下载2、相同点:都是非负数,即,。当被开
3、方数都是非负数,即时,=。知识点七:二次根式的运算( 1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术平方根代替,从而移到根号外面;如果被开方数是代数式和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘 (除) ,将被开方数相乘 (除),所得的积 (商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab=ab( a0 ,b0 );bbaa(b0 ,a0)(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换
4、律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算本节中还要记住一些常见根式的约等数,常见的有21.41431.73252.236 72.646;【主要题型 】二次根式有意义的条件:例:求下列各式有意义的所有x 的取值范围。;)(;)( ;)(213122313xxxx练习:1.当 x 是多少时,下列程式在实数范围内有意义?31x、23x+11x、23xx+x2、212xx2. 使式子2(5)x有意义的未知数x 有()个A0 B1 C2 D无数3已知 y=2x+2x+5,求xy的值4若3x+3x有意义,则2x=_5. 若11mm有意义,则m的取值范围是。精选学习资料 -
5、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页学习必备欢迎下载最简二次根式例:把下列各根式化为最简二次根式:( ),( )( ),19600224750325121003234a b aba bcab分析: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。同类二次根式:例:判断下列各组根式是否是同类根式:438532161531751;)(分析: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式,所以判断几个二次根式是否为同类二次根式,首先要将其化为最简二次根式。分母
6、有理化:例:把下列各式的分母有理化:;);()(2325223211分析: 把分母中的根号化去,叫做分母有理化,两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说,这两个代数式互为有理化因式,如2与2,5353与均为有理化因式。化简与求值:例 1:计算:312115233231214181)()(分析: 迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容,必须掌握, 要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律,寻求合理的运算步骤,得到正确的运算结果。例 2:化简:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页学习
7、必备欢迎下载babababa44241)(分析:应注意(1)式ab00,所以aabb22,ab4可看作ab224可利用乘法公式来进行化简,使运算变得简单。例 3:化简233626201)()(sst例 4:已知:223223ba,求:aba b33的值。分析:如果把a,b 的值直接代入计算ab33,的计算都较为繁琐,应另辟蹊径,考虑到3232与互 为 有 理 化 因 子 可 计 算abab, , 然 后 将 求 值 式 子 化 为abab与 的形式。在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径,提高运算能力。 类似的解法在许多问题中有广泛的应用,应有意识的总结和积累。比较大小(1)根式变形法当0
8、,0ab时,如果ab,则ab;如果ab,则ab。例:比较3 5与5 3的大小。(2)平方法当0,0ab时,如果22ab,则ab;如果22ab,则ab。例:比较3 2与2 3的大小。(3)分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。例:比较231与121的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页学习必备欢迎下载(4)分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。例:比较1514与1413的大小。(5)倒数法例 5:比较76与65的大小。(6)作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:0abab ;0a
9、bab例:比较2131与23的大小。(7)求商比较法它运用如下性质:当a0,b0 时,则:1aabb;1aabb例:比较53与23的大小。规律性问题例 1. 观察下列各式及其验证过程:, 验证:;验证 :. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4415的变形结果,并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n2 ,且 n 是整数 )表示的等式,并给出验证过程 . 例 2. 已知, 则 a_ 发展: 已知, 则 a_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页学习必备欢迎下载例 4、 已知 ab0, a
10、+b=6ab, 则abab的值为() A22B 2 C2D12例 5、甲、乙两个同学化简时,分别作了如下变形:甲:=;乙:=。 其中,()。A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确在实数范围内因式分解:(1)2x24 (2)x42x23综合应用:如图所示的RtABC 中, B=90,点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 /秒的速度向点 A 移动;同时,点Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 /秒的速度向点C 移动问:几秒后PBQ 的面积为35 平方厘米? PQ 的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示)【基础训练】1化简:( 1)72_ _;
11、 (2)222524_ _; (3)61218_ _;(4)3275(0,0)x yxy_ _;( 5)_420。2.(安徽 )化简24=_。3.计算4的结果是.2 2 -2 4 4. 化简:(1)9的结果是;( 2)( 08,南京)123的结果是;BACQP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页学习必备欢迎下载(3)825)= ;( 4)( 08,黄冈) 5x-2x=_ _;5计算28的结果是A、6 B、6C、 2 D、263的倒数是。7. 下列计算正确的是ABCD8.下列运算正确的是A、4.06 .1B、5.15
12、.12C、39D、32949已知等边三角形ABC 的边长为33,则 ABC 的周长是 _;10. 比较大小:10。11使2x有意义的x的取值范围是12.若式子5x在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是A.x-5 B.x-5 C.x-5 D.x-5 13. 函数中,自变量的取值范围是14.下列二次根式中,x的取值范围是x2 的是A、2x B、x+2 C、x2 D、1x215.下列根式中属最简二次根式的是A.21aB.12C.8D.2716下列根式中不是最简二次根式的是A10B8C6D217下列各式中与是同类二次根式的是A2BCD18下列各组二次根式中是同类二次根式的是A2112与B2718与C
13、313与D5445与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页学习必备欢迎下载19.已知二次根式与是同类二次根式,则的值可以是A、5 B、6 C、7 D、8 20.若baybax,,则 xy 的值为Aa2Bb2CbaDba21若230ab,则2ab22.计算:(1)(2)(3)(4)23.先将22xx322xxx化简,然后自选一个合适的x 值,代入化简后的式子求值。24.如图,实数a、b在数轴上的位置,化简 :222()abab【拓展训练】一、 分式,平方根,绝对值;1.22)( aa成立的条件是_ 2 当 a_时,12a
14、a;当 a_时,12aa。3 若aa2,则a_;若aa2,则a_。4 把111xx根号外的因式移入根号内,结果为_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页学习必备欢迎下载5 把-33a根号外的因式移到根号内,结果为_。6 xy,那么化简2)(yxxy为_10.若a+b4b 与3ab 是同类二次根式,则a=_,b=_。11.求使a12为实数的实数a的值为 _。二、根式,绝对值的和为0;1.若22)32()5(ba=0,则2ab=_。2.如果aabba22230求ba2的算术平方根。6. 在 ABC中, a,b,c 为三角
15、形的三边,则baccba2)(2=_。7. 已知的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy8. 如果,则=_。三、分式的有理化1、已知 x= 2 +12 1,y= 3 13 +1,求 x2y2的值。5.已知2323,2323yx,求下列各式的值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页学习必备欢迎下载yxyxyx22322;33yx;; 四、整数部分与小数部分1.的整数部分是_,小数部分是 _。4.已知321x,x的整数部分为a,小数部分为b,求abab2的值。五、 根式,分式的倒数;1.已知 x1x=4,求
16、 x1x的值。3.若的值;六、转换完全平方公式;1.已知abab224250,求abba32的值3.已知 x,y 是实数,若 axy-3x=y ,求 a 的值;5、已知 0 x 1,化简:4)1(2xx4)1(2xx6、化简:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页学习必备欢迎下载1、52 522;2、74 3;七、技巧性运算1.9814313212112、计算11313515712121nn的结果是 _4 、 已 知ab23,bc23, 那 么abcabbcac222的 值 是_5、已知xyxy9 529 25,那么xy的值是 _6、已知xyxy512,求xxyy22的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页