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1、学习必备欢迎下载二 次 根 式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式。所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。0（）这个性质和绝对值
2、、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若， 则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（）的性质（）即：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。因而它的运算的结果是有差别的，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载2、相同点：都是非负数，即，。当被开
3、方数都是非负数，即时，=。知识点七：二次根式的运算（ 1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替，从而移到根号外面；如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘 （除） ，将被开方数相乘 （除），所得的积 （商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab=ab（ a0 ，b0 ）；bbaa（b0 ，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换
4、律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有21.41431.73252.236 72.646；【主要题型 】二次根式有意义的条件：例：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。；）（；）（ ；）（213122313xxxx练习：1.当 x 是多少时，下列程式在实数范围内有意义？31x、23x+11x、23xx+x2、212xx2. 使式子2(5)x有意义的未知数x 有（）个A0 B1 C2 D无数3已知 y=2x+2x+5，求xy的值4若3x+3x有意义，则2x=_5. 若11mm有意义，则m的取值范围是。精选学习资料 -
5、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载最简二次根式例：把下列各根式化为最简二次根式：（ ），（ ）（ ），19600224750325121003234a b aba bcab分析： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。同类二次根式：例：判断下列各组根式是否是同类根式：438532161531751；）（分析： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。分母
6、有理化：例：把下列各式的分母有理化：；）；（）（2325223211分析： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因式，如2与2，5353与均为有理化因式。化简与求值：例 1：计算：312115233231214181）（）（分析： 迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握， 要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。例 2：化简：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习
7、必备欢迎下载babababa44241）（分析：应注意（1）式ab00，所以aabb22，ab4可看作ab224可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。例 3：化简233626201）（）（sst例 4：已知：223223ba，求：aba b33的值。分析：如果把a，b 的值直接代入计算ab33，的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到3232与互 为 有 理 化 因 子 可 计 算abab， ， 然 后 将 求 值 式 子 化 为abab与 的形式。在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。 类似的解法在许多问题中有广泛的应用，应有意识的总结和积累。比较大小（1）根式变形法当0
8、,0ab时，如果ab，则ab；如果ab，则ab。例：比较3 5与5 3的大小。（2）平方法当0,0ab时，如果22ab，则ab；如果22ab，则ab。例：比较3 2与2 3的大小。（3）分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。例：比较231与121的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（4）分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例：比较1514与1413的大小。（5）倒数法例 5：比较76与65的大小。（6）作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：0abab ；0a
9、bab例：比较2131与23的大小。（7）求商比较法它运用如下性质：当a0，b0 时，则：1aabb；1aabb例：比较53与23的大小。规律性问题例 1. 观察下列各式及其验证过程：， 验证：；验证 :. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n2 ，且 n 是整数 )表示的等式，并给出验证过程 . 例 2. 已知， 则 a_ 发展： 已知， 则 a_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 4、 已知 ab0， a
10、+b=6ab， 则abab的值为（） A22B 2 C2D12例 5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：=；乙：=。 其中，（）。A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确在实数范围内因式分解：（1）2x24 （2）x42x23综合应用：如图所示的RtABC 中， B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 /秒的速度向点 A 移动；同时，点Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 /秒的速度向点C 移动问：几秒后PBQ 的面积为35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【基础训练】1化简：（ 1）72_ _；
11、 （2）222524_ _； （3）61218_ _；（4）3275(0,0)x yxy_ _；（ 5）_420。2.(安徽 )化简24=_。3.计算4的结果是.2 2 -2 4 4. 化简：（1）9的结果是；（ 2）（ 08，南京）123的结果是；BACQP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载（3）825)= ；（ 4）（ 08，黄冈） 5x-2x=_ _；5计算28的结果是A、6 B、6C、 2 D、263的倒数是。7. 下列计算正确的是ABCD8.下列运算正确的是A、4.06 .1B、5.15
12、.12C、39D、32949已知等边三角形ABC 的边长为33，则 ABC 的周长是 _；10. 比较大小：10。11使2x有意义的x的取值范围是12.若式子5x在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是A.x-5 B.x-5 C.x-5 D.x-5 13. 函数中，自变量的取值范围是14.下列二次根式中，x的取值范围是x2 的是A、2x B、x+2 C、x2 D、1x215.下列根式中属最简二次根式的是A.21aB.12C.8D.2716下列根式中不是最简二次根式的是A10B8C6D217下列各式中与是同类二次根式的是A2BCD18下列各组二次根式中是同类二次根式的是A2112与B2718与C
13、313与D5445与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载19.已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是A、5 B、6 C、7 D、8 20.若baybax,，则 xy 的值为Aa2Bb2CbaDba21若230ab，则2ab22.计算：（1）（2）（3）（4）23.先将22xx322xxx化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。24.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：222()abab【拓展训练】一、 分式，平方根，绝对值；1.22)( aa成立的条件是_ 2 当 a_时，12a
14、a；当 a_时，12aa。3 若aa2，则a_；若aa2，则a_。4 把111xx根号外的因式移入根号内，结果为_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载5 把-33a根号外的因式移到根号内，结果为_。6 xy，那么化简2)(yxxy为_10.若a+b4b 与3ab 是同类二次根式，则a=_，b=_。11.求使a12为实数的实数a的值为 _。二、根式，绝对值的和为0；1.若22)32()5(ba=0，则2ab=_。2.如果aabba22230求ba2的算术平方根。6. 在 ABC中， a，b，c 为三角
15、形的三边，则baccba2)(2=_。7. 已知的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy8. 如果，则=_。三、分式的有理化1、已知 x= 2 +12 1,y= 3 13 +1，求 x2y2的值。5.已知2323,2323yx，求下列各式的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载yxyxyx22322；33yx；; 四、整数部分与小数部分1.的整数部分是_，小数部分是 _。4.已知321x，x的整数部分为a，小数部分为b，求abab2的值。五、 根式，分式的倒数；1.已知 x1x=4,求
16、 x1x的值。3.若的值；六、转换完全平方公式；1.已知abab224250，求abba32的值3.已知 x，y 是实数，若 axy-3x=y ，求 a 的值；5、已知 0 x 1，化简：4)1(2xx4)1(2xx6、化简：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载1、52 522；2、74 3；七、技巧性运算1.9814313212112、计算11313515712121nn的结果是 _4 、 已 知ab23，bc23， 那 么abcabbcac222的 值 是_5、已知xyxy9 529 25，那么xy的值是 _6、已知xyxy512，求xxyy22的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
