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1、学习必备欢迎下载数列不等式是高考的一个考点, 这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起,形成了证明不等式,求不等式中的参数范围,求数列中的最大项,最小项,比较数列中的项的大小关系,研究数列的单调性等不同解题方向的问题,而数列的条件的给出是多种多样的,可以是已知的等差数列,等比数列,也可以是一个递推公式,或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决,要调动证明不等式的各种手段,如比较法,放缩法,函数法,反证法,均值不等式法,数学归纳法,分析法等等,因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息中,可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的,并且对于考查逻辑推理,演绎证明,运算求解,归纳抽
2、象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法,如当证明AB 成立不容易,而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小,以达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有:(1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为不等量;(3)同分子 (分母)异分母 (分子)的两个分式大小的比较。 常用的放缩技巧有: 舍掉(或加进 )一些项;在分式中放大或缩小分子或分母;应用均值不等式进行放缩。常用数列不等式证明中的裂项形式: (1)(1111nnn(n+1)11 11()1knkn(n+k); (2) 211111()1211kkk2k(3)211111
3、111(1)(1)1kkkkkkkkk(4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn; (5)111 !1 !nnnn(6)212212(1)11nnnnnnnnn11(1)2n nn) (7)012310112.2(1)2121nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 na 的 前n项 和 满 足1nS, 且*),2)(1(6NnaaSnnn(1)求na 的通项公式;(2)设数列 nb 满足
4、1) 12(nbna,并记nT 为nb 的前 n 项和,求证:*2),3(log13NnaTnn()解:由)2)(1(611111aaSa,解得 a11 或 a12,由假设 a1S11,因此 a12。又由 an+1Sn+1- Sn)2)(1(61)2)(1(6111nnnnaaaa,得 an+1- an-30 或 an+1-an 因 an0,故 an+1-an不成立,舍去。因此 an+1- an-30。从而 an是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故 an的通项为 an3n-2。()证法一:由1) 12(bna可解得133log11lognnabznzz;从而1335623log21nnbb
5、bTznn。因此23n21335623log)3(log133nnaTznzn。令23n21335623)(3nnxf,则233)23)(53()33(23n33n5323)()1(nnnnnnfnf。因079)23)(53()33(22nnnn,故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载)()1(nfnf. 特别的12027) 1()(fnf。从而0)(log)3log(13nfaTnn,即)3(log132nnaT。证法二:同证法一求得bn及 Tn。由二项式定理知当c0 时,不等式cc31)1(3成立。
6、由此不等式有333213115112112log13nTn13315312312log2n)3(log)23(log132348252log222nannn。证法三:同证法一求得bn及 Tn。令 Annn335623,Bnnn3136743,Cn13237845nn。因1323313133nnnnnn,因此2233nCBAAnnnn。从而32322l o g13356322l o g13xnAnnT)3(log)23(log2log222nnnnanCBA在数列na中,12a,1431nnaan,n*N()证明数列nan是等比数列;()求数列na的前n项和nS;()证明不等式14nnSS,对任
7、意n*N皆成立()证明:由题设1431nnaan,得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载1(1)4()nnanan ,n*N又111a,所以数列nan是首项为1,且公比为4的等比数列()解:由()可知14nnan,于是数列na的通项公式为14nnan所以数列na的前n项和41(1)32nnn nS()证明:对任意的n*N,1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnn nSS21(34)02nn所以不等式14nnSS,对任意n*N皆成立已知函数 f(x)=x24,设曲线 yf(x)在点( xn
8、,f(xn) )处的切线与x 轴的交点为( xn+1,u) (u,N +) ,其中为正实数 . ()用 xx表示 xn+1;()若 a1=4,记 an=lg22nnxx,证明数列 a1成等比数列,并求数列xn的通项公式;()若 x14,bnxn2,Tn是数列 bn的前 n 项和,证明 Tn3. 解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力()由题可得( )2fxx所以曲线( )yf x在点 (,()nnxf x处的切线方程是:()()()nnnyf xfxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
9、 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载即2(4)2()nnnyxxxx令0y,得21(4)2()nnnnxxxx即2142nnnxx x显然0nx,122nnnxxx()由122nnnxxx,知21(2)22222nnnnnxxxxx,同理21(2)22nnnxxx故21122()22nnnnxxxx从而1122lg2lg22nnnnxxxx,即12nnaa 所以,数列 na成等比数列故111111222lg2lg32nnnnxaax即12lg2lg32nnnxx从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx()由()知11222(31)31nnnx,1242031nnnbx1111
10、 12122223111113313133nnnnnnbb当1n时,显然1123Tb当1n时,21121111( )( )333nnnnbbbb12nnTbbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载111111( )33nbbb111( ) 3113nb133 ( )33n综上,3nT(*)nN已知实数列是na等比数列 ,其中5547, 14, 1aaa且成等差数列 . ()求数列na的通项公式 ; ()数列na的前 n项和记为,nS证明: ,nS 128,3 ,2, 1(n). 解: ()设等比数列na
11、的公比为()q qR,由6711aa q,得61aq,从而3341aa qq,4251aa qq,5161aa qq因为4561aaa,成等差数列,所以4652(1)aaa,即3122(1)qqq,122(1)2(1)qqq所以12q故116111642nnnnaaqqq()1164 12(1)1128 112811212nnnnaqSq设数列 na的首项113(0 1)2 3 42nnaaan,(1)求na的通项公式;(2)设32nnnbaa ,证明1nnbb,其中 n 为正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学
12、习必备欢迎下载解: (1)由132 3 42nnaan, ,整理得111(1)2nnaa又110a,所以 1na是首项为11a ,公比为12的等比数列,得1111(1)2nnaa(2)方法一:由(1)可知302na,故0nb那么,221nnbb2211222(32)(32)3332(32)229(1) .4nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa又由( 1)知0na且1na,故2210nnbb,因此1nnbbn,为正整数方法二:由(1)可知3012nnaa,因为132nnaa,所以111(3)322nnnnnaabaa由1na可得33(32)2nnnaaa,即223(32)2nnnnaaaa两
13、边开平方得3322nnnnaaaa即1nnbbn, 为正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载已知数列na中12a,1( 21)(2)nnaa,1 2 3n, , ()求na的通项公式;()若数列nb中12b,13423nnnbbb,1 2 3n, , ,证明:432nnba,1 2 3n, 解: ()由题设:1( 21)(2)nnaa(21)(2)( 21)(22)na(21)(2)2na,12( 21)(2)nnaa所以,数列2na是首项为 22 ,公比为21的等比数列,22(21)nna,即na
14、 的通项公式为2 (21)1nna,1 2 3n, , ()用数学归纳法证明()当1n时,因22,112ba,所以112ba,结论成立()假设当nk时,结论成立,即432kkba,也即43023kkba当1nk时,1342223kkkbbb(32 2)(43 2)23kkbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载(32 2)(2)023kkbb,又1132 2232 23kb,所以1( 322 ) (2 )223kkkbbb2(32 2) (2)kb443( 21) (2)ka412ka也就是说,当1nk时,结论成立根据()和()知432nnba,1 2 3n, , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页