《2022年关于运用放缩法的数列不等式证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年关于运用放缩法的数列不等式证明（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载数列不等式是高考的一个考点， 这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽
2、象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明AB 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，以达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为不等量；(3)同分子 (分母)异分母 (分子)的两个分式大小的比较。 常用的放缩技巧有： 舍掉(或加进 )一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用均值不等式进行放缩。常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）(1111nnn(n+1)11 11()1knkn(n+k); (2) 211111()1211kkk2k(3)211111
3、111(1)(1)1kkkkkkkkk(4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn; (5)111 !1 !nnnn(6)212212(1)11nnnnnnnnn11(1)2n nn) (7)012310112.2(1)2121nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 na 的 前n项 和 满 足1nS， 且*),2)(1(6NnaaSnnn（1）求na 的通项公式；（2）设数列 nb 满足
4、1) 12(nbna，并记nT 为nb 的前 n 项和，求证：*2),3(log13NnaTnn（）解：由)2)(1(611111aaSa，解得 a11 或 a12，由假设 a1S11，因此 a12。又由 an+1Sn+1- Sn)2)(1(61)2)(1(6111nnnnaaaa，得 an+1- an-30 或 an+1-an 因 an0，故 an+1-an不成立，舍去。因此 an+1- an-30。从而 an是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故 an的通项为 an3n-2。（）证法一：由1) 12(bna可解得133log11lognnabznzz；从而1335623log21nnbb
5、bTznn。因此23n21335623log)3(log133nnaTznzn。令23n21335623)(3nnxf,则233)23)(53()33(23n33n5323)()1(nnnnnnfnf。因079)23)(53()33(22nnnn，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载)()1(nfnf. 特别的12027) 1()(fnf。从而0)(log)3log(13nfaTnn，即)3(log132nnaT。证法二：同证法一求得bn及 Tn。由二项式定理知当c0 时，不等式cc31)1(3成立。
6、由此不等式有333213115112112log13nTn13315312312log2n)3(log)23(log132348252log222nannn。证法三：同证法一求得bn及 Tn。令 Annn335623，Bnnn3136743，Cn13237845nn。因1323313133nnnnnn，因此2233nCBAAnnnn。从而32322l o g13356322l o g13xnAnnT)3(log)23(log2log222nnnnanCBA在数列na中，12a，1431nnaan，n*N（）证明数列nan是等比数列；（）求数列na的前n项和nS；（）证明不等式14nnSS，对任
7、意n*N皆成立（）证明：由题设1431nnaan，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载1(1)4()nnanan ，n*N又111a，所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列（）解：由（）可知14nnan，于是数列na的通项公式为14nnan所以数列na的前n项和41(1)32nnn nS（）证明：对任意的n*N，1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnn nSS21(34)02nn所以不等式14nnSS，对任意n*N皆成立已知函数 f（x）=x24，设曲线 yf（x）在点（ xn
8、，f（xn） ）处的切线与x 轴的交点为（ xn+1,u） （u,N +） ，其中为正实数 . （）用 xx表示 xn+1；（）若 a1=4，记 an=lg22nnxx，证明数列 a1成等比数列，并求数列xn的通项公式；（）若 x14，bnxn2，Tn是数列 bn的前 n 项和，证明 Tn3. 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力（）由题可得( )2fxx所以曲线( )yf x在点 (,()nnxf x处的切线方程是：()()()nnnyf xfxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
9、 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载即2(4)2()nnnyxxxx令0y，得21(4)2()nnnnxxxx即2142nnnxx x显然0nx，122nnnxxx（）由122nnnxxx，知21(2)22222nnnnnxxxxx，同理21(2)22nnnxxx故21122()22nnnnxxxx从而1122lg2lg22nnnnxxxx，即12nnaa 所以，数列 na成等比数列故111111222lg2lg32nnnnxaax即12lg2lg32nnnxx从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx（）由（）知11222(31)31nnnx，1242031nnnbx1111
10、 12122223111113313133nnnnnnbb当1n时，显然1123Tb当1n时，21121111( )( )333nnnnbbbb12nnTbbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载111111( )33nbbb111( ) 3113nb133 ( )33n综上，3nT(*)nN已知实数列是na等比数列 ,其中5547, 14, 1aaa且成等差数列 . ()求数列na的通项公式 ; ()数列na的前 n项和记为,nS证明: ,nS 128,3 ,2, 1(n). 解： （）设等比数列na
11、的公比为()q qR，由6711aa q，得61aq，从而3341aa qq，4251aa qq，5161aa qq因为4561aaa，成等差数列，所以4652(1)aaa，即3122(1)qqq，122(1)2(1)qqq所以12q故116111642nnnnaaqqq（）1164 12(1)1128 112811212nnnnaqSq设数列 na的首项113(0 1)2 3 42nnaaan，（1）求na的通项公式；（2）设32nnnbaa ，证明1nnbb，其中 n 为正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学
12、习必备欢迎下载解： （1）由132 3 42nnaan， ，整理得111(1)2nnaa又110a，所以 1na是首项为11a ，公比为12的等比数列，得1111(1)2nnaa（2）方法一：由（1）可知302na，故0nb那么，221nnbb2211222(32)(32)3332(32)229(1) .4nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa又由（ 1）知0na且1na，故2210nnbb，因此1nnbbn，为正整数方法二：由（1）可知3012nnaa，因为132nnaa，所以111(3)322nnnnnaabaa由1na可得33(32)2nnnaaa，即223(32)2nnnnaaaa两
13、边开平方得3322nnnnaaaa即1nnbbn， 为正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载已知数列na中12a，1( 21)(2)nnaa，1 2 3n， ， （）求na的通项公式；（）若数列nb中12b，13423nnnbbb，1 2 3n， ， ，证明：432nnba，1 2 3n， 解： （）由题设：1( 21)(2)nnaa(21)(2)( 21)(22)na(21)(2)2na，12( 21)(2)nnaa所以，数列2na是首项为 22 ，公比为21的等比数列，22(21)nna，即na
14、 的通项公式为2 (21)1nna，1 2 3n， ， （）用数学归纳法证明（）当1n时，因22，112ba，所以112ba，结论成立（）假设当nk时，结论成立，即432kkba，也即43023kkba当1nk时，1342223kkkbbb(32 2)(43 2)23kkbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载(32 2)(2)023kkbb，又1132 2232 23kb，所以1( 322 ) (2 )223kkkbbb2(32 2) (2)kb443( 21) (2)ka412ka也就是说，当1nk时，结论成立根据（）和（）知432nnba，1 2 3n， ， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
