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1、学习必备欢迎下载二次函数的三种表达形式:一般式:y=ax2+bx+c(a0,a、b、c 为常数 ),顶点坐标为, 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c 的值。顶点式:y=a(x-h)2+k(a 0,a、h、k 为常数 ),顶点坐标为对称轴为直线x=h ,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h 时,y 最值=k 。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例:已知二次函数y 的顶点 (1,2) 和另一任意点 (3,10) ,求 y 的解析式。解:设 y=a(x-1)2+2,把(3,10) 代入上式,解得 y=2(x-1)2+2。注意:与
2、点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h0时,h 越大,图像的对称轴离y 轴越远,且在 x 轴正方向上,不能因h 前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况:当 h0 时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到;当 h0,k0时,将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位,再向上移动k 个单位,就可以得到 y=a(x-h)2+k的图象;当 h0,k0时,将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位,再向下移动 |k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象;当 h0时,将抛物线 y=ax2 向左平行移动 |h|个单位,
3、再向上移动k 个单精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载位可得到 y=a(x-h)2+k的图象;当 h0,k0 时,开口方向向上;a0 ,那么当时,y 有最小值且 y最小=;如果 a0 ,那么,当时,y 有最大值,且 y最大=。告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。例:已知二次函数当x4 时有最小值 3,且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6,求这个二次函数的解析式。点拨:析解二次函数当 x4 时有最小值 3,顶点坐标为( 4,-3),对称轴为直线 x4,抛物线开口向上。由
4、于图象与 x 轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是( 1,0)和( 7,0)。抛物线的顶点为( 4,-3)且过点( 1,0)。故可设函数解析式为ya(x4)23。将(1,0)代入得 0a(14)23, 解得 a13 y13(x 4)2-3,即 y13x283x 73。典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。例如:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习必备欢迎下载(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和 B(1,0),且对称轴是直线 x3求这
5、个二次函数的解析式. (2) 已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1 , 图象交 y 轴于点 (0, 2) ,且过点( -1,0),求这个二次函数的解析式. (3)已知抛物线的对称轴为直线x=2 ,且通过点( 1,4)和点( 5,0),求此抛物线的解析式 . (4)二次函数的图象的对称轴x=-4 ,且过原点,它的顶点到x 轴的距离为 4,求此函数的解析式典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。例:把抛物线 y=ax2+bx+c的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2 个单位 , 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为 _ 。点拨:解先将 y=x2-3x+5化为 y=(x-32)2+5-94, 即 y=(x-32)2+114。它是由抛物线的图像向右平移3 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的,原抛物线的解析式是 y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页