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1、2-7 对数与对数函数 讲义高考要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)的关系知识总结1对数的概念：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N；以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.2对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga10，logaa1，N(a0，且a1，N0)(2)对数的运算性质：如果a0
2、，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(3)对数换底公式：logab(a0，且a1；b0；c0，且c1)3对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0增函数减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论1logablogba1(a0，且a1，b0，且b1)，logab(a0，且a1，b0)2.如图，给出4个对数函数的图象则ba1dc0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大课
3、前自测1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若MN，则logaMlogaN.()(2)函数yloga2x(a0，且a1)是对数函数()(3)对数函数ylogax(a0，且a1)是增函数()(4)函数ylog2x与ylog12x的图象关于x轴对称()2(2023雅安模拟)已知xlog321，则4x等于()A9 B3 C. D.答案：A；解析：xlog321，即xlog23，所以4x3函数f(x)loga|x|1(a1)的图象大致为() 答案：A；解析：f(x)loga|x|1的定义域为x|x0，因为f(x)loga|x|1loga|x|1f(x)，所以f(x)是偶函数，当x(0，
4、)时，f(x)logax1(a1)单调递增结合选项可知选A.4已知函数yloga(x1)4的图象恒过定点P，则点P的坐标是_答案：(2,4)；解析：对于函数yloga(x1)4，令x11，解得x2，则y4，所以函数yloga(x1)4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).考点题型考点一对数式的运算例1(1)(2024全国甲卷理真题T15)已知，1log8a1loga4=52，则_答案：64；解析：由题，整理得或，又，所以，故；故答案为：64.(2)(2024北京卷卷真题T7)生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大
5、，水质越好如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）A. B. C. D. 答案：D；解析：，则，即，所以.故选：D.(3)(2024洛阳模拟)已知3a5bm，且1，则实数m的值为_答案：45；解析：由3a5bm，可知m0，显然m1.则alog3m，blog5m，所以，由1，可得logm451，所以m45.(4)计算：log535log5log514_.答案：2；解析：原式log535log5log514log5log51251log5531312.思维升华 解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的
6、和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用对点训练1(1)若a0，a23=49，则log23a等于()A2 B3 C4 D5答案：B；解析：由a23=49，得a2(23)6，而a0，解得a(23)3，所以log23a=3(2)计算：lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.答案：2；解析：原式2lg 5lg 2(1lg 5)(lg 2)22lg 5lg 2lg 2lg 5(lg 2)21lg 5lg 2(lg 5lg 2)1lg 5lg 21lg 102.考点二对数函数的图象及应用例2(1)(多选)yloga(xc)(a，c为常
7、数，其中a0，且a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a1 B.0c1 C.0a1 D.c1答案：BC；解析：由图象可知0a1，令y0得loga(xc)0，xc1，x1c，由图象知01c1，0c1.(2)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0且a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1 B0ba11 C0b1a1 D0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上，0a1b1.(3)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A10,12 B(10,12 C(10
8、,12) D10,12)答案：C；解析：不妨设abc，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知0a1b10c12，由f(a)f(b)，得|lg a|lg b|，即lg alg b，lg ab0，则ab1，abcc，又10c0且a1)在同一坐标系中的大致图象是() 答案：C；解析：对于A，a1，则01，即函数g(x)在(0，)上单调递减，故A错误；对于B，0a1，即函数g(x)在(0，)上单调递增，故B错误；对于C，a1，则01a1，则01a0且a1，函数yax的图象如图，则f(x)loga(x1)的部分图象大致为() 答案：D；解析：由函数yax的图象可得a1.当a1时，ylogax经过定
9、点(1,0)，为增函数因为ylogax与yloga(x)的图象关于y轴对称，所以yloga(x)经过定点(1,0)，为减函数而f(x)loga(x1)可以看作yloga(x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)loga(x1)的图象经过定点(0,0)，为减函数结合选项可知选D.考点三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3-11.(2024天津卷T5)若，则的大小关系为（ ）A B. C. D. 答案：B；解析：因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B2.已知alog20.3，bln 3，clog32，则a，b，c的大小关系为()Aabc
10、Bbca Cbac Dcab答案：B；解析：alog20.3ln e1，0log31log32log331，即0cca.命题点2解对数方程、不等式例3-2(2023衡阳模拟)若loga122，则a的取值范围是()A.(22,1)(1，) B.(0,22) C.(22,1) D.(0,22)(1，)答案：D；解析：因为loga122，所以loga12logaa2.当0aa2，可得0a1时，对数函数为增函数，所以1，综上所述，a的取值范围为(0,22)(1，)命题点3对数函数的性质及应用例3-3(2023郑州模拟)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在(12,+
11、)上单调递增 B是奇函数，且在(12,12)上单调递减C是偶函数，且在(,12)上单调递增 D是奇函数，且在(,12)上单调递减答案：D；解析：由f(x)ln|2x1|ln|2x1|，得f(x)的定义域为xx12，关于坐标原点对称，又f(x)ln|12x|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；当x(12,12)时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，yln(2x1)在(12,12)上单调递增，yln(12x)在(12,12)上单调递减，f(x)在(12,12)上单调递增，故排除B；当x(,12)时，f(x)ln(2x1)ln(12x)lnln(1+22x1)，u1在(,12)上单调递减，f(u)ln u在(0，)上单调递增，根据复合函数单调性可知f(x)在(,12)上单调递减，故D正确思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成对点训练3(1)(2023宜宾模拟)已知函数f(x)log2(x22x)在(a，)上单调递增，
